
Efeito Compton

Outra fenômeno que a Física Clássica não conseguia explicar era
o efeito Compton.

Este efeito é a evidencia mais direta das propriedades
corpusculares da luz

Compton recebeu o Prêmio Nobel de 1927 pela descoberta.
1923 – Arthur Holly Compton
• Efeito
Compton
• Incidiu raios-X sobre um alvo de grafite
• Mediu a intensidade do raio-X espalhado em função do
comprimento de onda.
Efeito Compton – Resultados experimentais

O espalhamento Compton, também conhecido como
espalhamento incoerente, é uma das formas de interação da
radiação com a matéria.
(efeito fotoelétrico, produção de pares)

A probabilidade de ocorrência dessas interações é dependente da
energia do fóton incidente e o número atômico do material
absorvedor.

O espalhamento Compton ocorre principalmente com fótons de
média energia, entre 0,5 e 3,5 MeV, sendo que este intervalo
aumenta para amostras de baixo número atômico. Portanto,
fótons de raios-X e gama podem produzir esse tipo de interação.

O espalhamento Compton acontece quando um fóton incidente
choca-se inelasticamente com um elétron do átomo sendo
espalhado possuindo energia menor que a original. A energia
perdida é transferida para o elétron que é ejetado com ganho de
energia cinética.

Na análise quantitativa do efeito Compton, duas hipóteses são
consideradas:

1°) como a energia do fóton incidente é muito maior que as
energias cinéticas e potenciais de ligação do elétron no átomo,
pode-se considerá-lo livre e em repouso antes da interação (v =
0);

2°) a energia e o momento relativísticos são conservados durante
a colisão

A partir dessas duas hipóteses é possível
escrever as seguintes equações de conservação:
Energia:
h  m0c 2  hv'mc2
Momento em X:
h
h
 cos   mv cos 
 '
Momento em Y:
0
h
sen   mvsen 
'
Lembrando que em 1916 – Einstein propõe que um fóton possui
momento dado por:
h
p


Eliminado os termos com  das equações anteriores e
realizando algumas operações encontra-se a conhecida
equação de Compton para a variação do comprimento
de onda do fóton:
h
1  cos 
 
cm0
ou para a variação da energia do fóton espalhado:
E 
EE'
1  cos 
2
m0 c
onde: E e E são as energias do fóton antes e após a
colisão.

Em 1950 Cross e Ramsey detectaram o elétron de recuo.
Também verificaram o ângulo de espalhamento do elétron
concordando com seu valor teórico.

Em 1955, Z. Bay verificou experimentalmente que o elétron de
recuo e o fóton espalhado emergem ao mesmo tempo (com
precisão de 10-11 s)

Só então o tratamento do efeito Compton como uma colisão entre
duas partículas (fóton e elétron) ficou plenamente justificado.

Rutherford e a descoberta do núcleo

Ernest Rutherford (Nova Zelândia 1871 – 1937)
Foi o sucessor de J. J. Thomson no
Laboratório de Cavendish da Universidade
de Cambridge.


J. J. Thomson (inglês 1856 – 1940)

Descobriu o elétron.
Propôs o modelo atômico conhecido
como “pudim de passas”

Não explicava os
espectros de emissão
observados
experimentalmente

Em 1909, dois assistentes de Rutherford, Geiger e
Marsden, observaram o espalhamento de partículas a
por uma lâmina delgada de ouro:


Como a massa de uma a é ≈ 8000 vezes a do elétron, uma
colisão a – e- não desviaria sua trajetória.
Pelo modelo de Thomson a carga positiva estava uniformemente
distribuída e também não poderia produzir desvios significativos.

Há colisão das partículas a com o núcleo?
Para uma colisão frontal, aplicando conservação de energia temos:
1 2
1 qHe QAu
mv 
2
4 0 d
Onde qHe = 2e é a carga da partícula a e QAu = 79e é a carga do
núcleo de ouro.
dAu = 4,29 x 10-14 m

Este valor é bem menor que o tamanho de um átomo como
veremos mais adiante.
Modelo de Rutherford
Modelo nucleado
Problema: não explicava a estabilidade do átomo nuclear
Modelo de Bohr
Modelo de Rutherford + 4 postulados
Postulados de Bohr:
1) Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular em torno
do núcleo sob influência da atração eletrostática entre o elétron e o
núcleo.
2) Um elétron só pode se mover em uma órbita tal que
L  n
3) Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron em uma dessas
órbitas não emite radiação eletromagnética e, portanto, sua energia
permanece constante.
4) Ao mudar de uma órbita de energia Ei para uma outra de energia Ef
(Ef < Ei ) o elétron emite uma radiação de freqüência   Ef  Ei  / h

Para explicar o espectro de linhas do átomo de hidrogênio, Bohr
sugeriu mais uma hipótese:
“A teoria quântica deve concordar com a teoria clássica,
no limite dos grandes números quânticos”

Esta hipótese ficou conhecida como o “princípio da
correspondência”

Amparado nesse princípio Bohr usa a Física Clássica para
determinar os raios das órbitas e as energias dos estados
estacionários dos elétrons.

As energias associadas ao átomo de Bohr são:
2
1
1
q
E  K  V  me v 2 
2
4 0 r

Usando a 2º lei de Newton com a aceleração centrípeta temos:
v2
1 q2
Fe  me 
2
r 4 0 r

Portanto a energia é dada por:
1 q2
E
8 0 r

Usando o postulado de Bohr para o momento angular e o valor de
v2 podemos encontrar o raio da órbita n:
 0 h2 2
2
r
n

r
n
B
2
 me q
onde rB é o chamado raio de Bohr.
rB (n=1) = 5,29 x 10-10 m ≈ 0,5 Å
(fornece uma estimativa do tamanho do átomo de hidrogênio)

Usando o valor de r na expressão da energia, temos:
E1  13,6 eV
4
1 mq 1
E
8 0 h 2 n 2

E 2  3,40 eV
E 3  1,51 eV
Combinado o resultado acima com o quarto postulado:
4
1 mq
E
8 0 h 2
 1

1
  
 n2 n2 
f 
 i
Freqüência da radiação emitida em uma transição eletrônica no
átomo de H:

Ei  Ef
h
2
 1  me 4  1 1 

  
 2  2
3
 40  4  n f n i 
Reproduz as séries espectrais de Lyman (nf=1), Balmer (nf=2),
Paschen (nf=3), Brackett (nf=4) e Pfund (nf=5)
Para n muito grande
temos um contínuo
de energia estando
de acordo com o
“princípio da
correspondência”

Analisando o espectro podemos saber a
temperatura de uma estrela e sua constituição:
• Classificação em função decrescente da temperatura:
O
estrelas azuis, com Tef=20 000 a 35 000 K, apresentam linhas de HeII
(hélio uma vez ionizado) e ultravioleta forte. Exemplo: (Ori, uma das Três Marias).
B
estrelas branco-azuladas , com Tef=15 000 K, com linhas de HeI.
A
estrelas brancas, com Tef=9000 K, com linhas de HI forte. Exemplos: Sírius e
Vega
F
estrelas branco-amareladas, com Tef=7000 K, com linhas de metais observadas.
Exemplos: Canopus
G
estrelas amarelas, com Tef=5500 K, como o Sol, com fortes linhas de metais
e HI fraco. CaI (H e K) fortes.
K
estrelas alaranjadas, com Tef=4000 K, com linhas metálicas dominantes.
Contínuo azul fraco. Exemplos: Aldebarã e Arcturus
M
estrelas vermelhas, com Tef=3000 K, com bandas moleculares (TiO) muito
fortes. Exemplos: Betelgeuse e Antares.
Limitações do modelo de Bohr
- Mantém muitos aspectos da Física Clássica, como o determinismo
das órbitas do átomo de hidrogênio.
- É aplicável apenas a átomos de um elétron. Para os elementos
alcalinos (Li, Na, K, Rb, Cs) ela torna-se uma aproximação razoável,
mas falha clamorosamente para átomos com mais de um elétron.
- Para melhorar a concordância das energias calculadas com as obtidas
por meio de espectros, foi introduzido no modelo de Bohr o conceito
de orbitais elípticas.
Este modelo foi proposto por
Arnold Sommerfeld em 1915.


Sommerfeld, manteve invariável a primeira órbita de Bohr
(circular) mas adicionou uma elíptica à segunda circular; duas
órbitas elípticas à terceira, introduzindo o chamado número
quântico azimutal k , além do numero quântico principal n.

Descoberta e Produção de Raios-X
Em 1895 Wilhen Konrad von Röntgen
(pronúncia: rêntguen) investigando a
produção de ultravioleta descobriu uma
radiação nova.

Investigação posterior:
1) Campos elétricos e magnéticos para verificar desvio;
(não era raios catódicos)
2) Experiências de reflexão, refração, difração e interferência.
(comprimento de onda muito pequeno)


Porque outros cientistas mais renomados na época, que
trabalhavam com raios catódicos, não descobriram os raios-X?

Pura sorte de um pesquisador desconhecido?

Sir W. Crookes e seus “papeis fluorescentes” revelados.
Phillipp Lenard, conclusão: raios catódicos


Röntgen – pesquisador cauteloso (só a mulher dele sabia)
 Inúmeras experiências para verificar que se tratava de
algo realmente novo
 30 artigos científicos anteriores
 Primeiro cientista a receber o prêmio Nobel, recém
criado em 1901!

Produção de Raios-X
Foto recente do
laboratório de Röntgen
no Instituto de Física de
Würzburg. Hoje, é um
museu mas mostra como
era seu local de trabalho
quando da descoberta
dos raios-X.
A "ampola de Crookes" é feita de quartzo e
dentro dela se faz o vácuo. Ela contém duas
placas metálicas ligadas a uma fonte de tensão
elétrica. A placa ligada ao pólo negativo é
chamada de catodo e a outra, ligada ao pólo
positivo, é o anodo. Quando a tensão entre o
catodo e o anodo fica bem elevada surge um
feixe luminoso que sai do catodo e atravessa o
tubo. São os "raios catódicos".
Em uma de suas experiências,
colocou a mão de sua mulher, Bertha,
na frente do filme e obteve a primeira
radiografia da história, mostrando os
ossos de Dona Bertha e até seu anel
de casamento.

Radiografia tirada por Röntgen de seu rifle de caça. Observe
que há um pequeno defeito no cano. Com essa foto, Röntgen
antecipou o uso industrial dos raios-x como controle de
qualidade de peças.

Diferentemente do que acontece com muitas descobertas
científicas, que demoram anos ou décadas para serem aplicadas
tecnologicamente, a descoberta do raios-X teve imediata
aplicação na medicina. Uma semana após a apresentação da
descoberta, em todo o mundo foram obtidas inúmeras
radiografias de pacientes.

Em termos de repercussão imediata, a descoberta dos raios X
parece ser um caso único na história da ciência. A observação do
eclipse solar de 1919, que comprovou parte da teoria da
relatividade geral de Einstein, é um rival de respeito quando se
considera a repercussão na imprensa, mas não chega a competir,
nem de leve, quando se considera a repercussão no meio
científico

Em poucos meses, foram colocados a venda vários
tipos de equipamentos para se produzir raios-X

Thomas Edison construiu e comercializou seu próprio
equipamento (barato e simples)

Há até uma história, aparentemente folclórica, segunda
a qual uma sapataria de Nova York tinha como grande
apelo mercadológico o fato de que os sapatos sob
encomenda eram testados com o auxílio dos raios X!
Thomas Edison também foi um dos primeiros a observar os
efeitos nocivos da radiação:
“Eu comecei a fazer muito dessas lâmpadas, que emitem raios-X,
mas logo percebi que eles afetaram venenosamente o meu
assistente, Sr. Dally, de tal forma que seu cabelo caiu e sua carne
começou a ulcerar. Concluí, então, que não daria certo, e que
esse tipo de luz não seria muito popular, de modo que parei”


O Sr. Dally, (teimoso) continuou a trabalhar com produção de
raios-X, mas veio a falecer aos 39 anos, quando suas úlceras
transformaram-se em um câncer sofrendo várias cirurgias para
amputação de partes do corpo.

Um ano depois apareceram dezenas de casos semelhantes
levando a comunidade científica iniciar um grande programa de
aquisição de informações sobre como se proteger dos efeitos
nocivos dos raios-X a saúde.

Aplicações:

Pesquisa básica/aplicada
Caracterização de materiais
Controle de qualidade
Medicina
Esterilização





Nascimento da nova Teoria Quântica

Velha teoria quântica (até 1924)
Defeitos sérios
Mistura arbitrária de física clássica com novos postulados
contraditórios à mesma.
Falhava em átomos de mais de um elétron.
Era necessária uma nova mecânica onde as idéias quânticas
ocupassem um lugar de base, e não fossem acessoriamente




postuladas

Einstein: “Que estas bases incertas e contraditórias tenham
permitido a Bohr descobrir as leis que regem as linhas espectrais
e as camadas eletrônicas dos átomos, pareceu-me como um
milagre”

Dualidade onda-partícula

No século XVII havia uma grande controvérsia sobre a natureza
da luz:

Newton – Teoria corpuscular
Huygens – Teoria ondulatória





Descoberta da difração e interferência (1665)
Descoberta da polarização (1678)
Thomas Young (1803) com a experiência da fenda dupla (cavou
o buraco)
Maxwell (1873) provando que a luz era uma onda
eletromagnética (sepultou de vez)
Einstein (1905) – retoma o caráter corpuscular
(fótons e efeito fotoelétrico)

Compton (1923) – comprova descobrindo o efeito
Compton
(colisão de partículas)




Amparados nos resultados experimentais, os cientistas
começam a admitir o caráter dual do comportamento
da luz.
Onda – difração e interferência, etc.
Fóton (partícula) – efeito fotoelétrico, Compton, etc.

Ondas de Matéria?
Louis de Broglie (1924) preparando
sua tese de doutorado usa o conceito
de dualidade onda-partícula da luz
para corpos materiais.



Ele percebeu o fato de que as regras de quantização envolviam
números inteiros. Sabia-se, desde muito tempo, que os números
inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física onde
fenômenos ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica
e ótica.
Eles são necessários para explicar a existência de ondas
estacionárias.

Seria, portanto, permitido pensar que a interpretação das
condições de quantização conduziriam à introdução de um
aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos.

De Broglie: “A determinação do movimento estacionário dos
elétrons no átomo introduz números inteiros; ora, até aqui os
únicos fenômenos em que intervinham inteiros na física eram os
de interferência e modos normais de vibração. Esse fato me
sugeriu a idéia de que também os elétrons não deveriam ser
considerados somente como corpúsculos mas de que deveriam
estar associados com periodicidade”.

Atribuía-se ao elétron, e mais geralmente a todos os corpúsculos,
uma natureza dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de
um aspecto ondulatório e de um aspecto corpuscular interligados
pela constante de Planck.

Quando de Broglie formalizou suas idéias sobre a onda de
matéria e apresentou-as, em 1924, como tese de doutoramento,
intitulada Recherche sur la Théorie des Quanta, houve um certo
embaraço por parte dos professores que iriam julgá-la, uma vez
que essa tese fugia as cânones tradicionais da Física.

Ela foi encaminhada ao físico francês Paul Langevin para
julgamento. De imediato, ele enviou uma cópia ao seu amigo
Einstein que, por sua vez, pediu ao físico alemão Max Born uma
opinião séria sobre a mesma, escrevendo-lhe: “Leia isto! Embora
pareça ter sido escrito por um louco, está escrito corretamente”.

Quando Einstein devolveu a Tese de de Broglie a Langevin,
disse-lhe que podia aprová-la, já que a mesma continha muitas
descobertas importantes

Podendo a matéria ter características de uma onda, qual seria o
comprimento de onda equivalente?

Para chegar à sua relação fundamental, de Broglie considerou a
questão mais simples possível, isto é, um corpúsculo em
movimento retilíneo uniforme, com energia e momentum
conhecidos.
p

h

→
h

p
Para partículas não relativísticas, temos: p  mv
h

mv
Comprimento de onda de
de Broglie da partícula

Para partículas com velocidades próximas à da luz, só trocamos pelo
momento relativístico.
p

mv
v
1  
c
2
h
mv
v
1  
c
Comprimento de onda de
2
de Broglie da partícula no
regime relativístico










Comprimento de onda de alguns corpos no regime não relativístico:
Avião ( m ≈ 100 toneladas, v ≈ 3000 m/s) →  ≈ 2 x 10-42 m
Pessoa andando ( m ≈ 70 kg, v ≈ 12 m/s) →  ≈ 7 x 10-37 m
Bola de futebol ( m ≈ 0,4 kg, v ≈ 200 m/s) →  ≈ 8 x 10-36 m
Gota de chuva ( m ≈ 0,01 kg, v ≈ 1 m/s) →  ≈ 6 x 10-31 m
Próton ( m ≈ 10-27 kg, v ≈ 107 m/s)
→  ≈ 1 x 10-13 m
Elétron ( m ≈ 10-30 kg, v ≈ 107 m/s)
→  ≈ 1 x 10-10 m
Corpos macroscópicos → comprimentos de ondas imperceptíveis!!
Separação entre os átomos de uma rede cristalina → d ≈ 1 x 10-10 m
Isso faz os elétrons candidatos ideais para experiências de difração!

As experiências da dualidade
Clinton Davisson e L. Germer – Laboratórios AT&T Bell (1927)

Por difração de raios-X sabia-se que o espaçamento entre os átomos de
Ni era de 2,15 Å

Na experiência o pico de intensidade acontecia em  = 50º e V=54 V

Usando a equação de Bragg
 = d sen  = 2,15 Å sen 50º = 1,65 Å

Mas o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com energia
cinética 54 eV é:
h
h
 
 1,66A
p
2m eV
p2
E
2m

George Thomson (1927)
Cristal de grafite policristalino

Depois dessas suas experiências não havia mais duvidas
sobre o caráter ondulatório dos elétrons

De Broglie recebeu o prêmio Nobel de Física em 1929.

Davisson e G. Thomson receberam em 1937.

Curiosidade: G. Thomson é filho de J. J. Thomson que
ganhou o prêmio Nobel em 1906 pela descoberta do
elétron como partícula.

De Broglie interpretou as órbitas estacionárias ao redor do
núcleo do modelo de Bohr, como o elétron se comportando
com uma onda estacionária. O comprimento da órbita deve ter
um número inteiro de comprimento de onda de um elétron.
n inteiro
n não inteiro
• O comprimento da onda tem de se ajustar perfeitamente à circunferência
da órbita, caso contrário a onda iria sendo parcialmente anulada em órbitas
sucessivas e eventualmente a amplitude da onda seria reduzida a zero. Neste
caso a onda deixaria de existir.
• A relação existente entre o perímetro de uma órbita permitida e o
comprimento de onda (λ) do elétron é dada pela expressão:
2πr=nλ

Princípio da Incerteza de Heisenberg

Com a descoberta da natureza ondulatória dos elétrons, surgiu
um novo problema: Como é que a posição de uma onda pode
ser especificada?

Podemos falar de amplitude num certo ponto de uma onda, mas
não podemos definir a sua localização precisa, porque uma onda
se estende no espaço.

Vemos a Lua, enquanto percorre a sua órbita em torno da Terra,
devido à luz solar que ela reflete na nossa direção.

A luz transfere momento linear ao objeto pelo qual é refletida.
Em princípio, essa luz refletida perturbaria o movimento da Lua
em sua órbita, porém esse efeito é desprezível.

Em se tratando de elétrons, a situação é bastante diferente.
Também, nesse caso, se pode ver o elétron somente quando nele
se refletir luz.

Neste caso, o recuo que o elétron experimenta quando a luz
(fóton) o atinge, altera completamente seu movimento de um
modo que não pode ser evitado, ou mesmo corrigido.

A incapacidade intrínseca em se descrever de modo clássico os
movimentos do elétron é expressa pelo princípio da incerteza de
Heisenberg.

Se tentarmos usar luz para localizar um elétron, segundo as leis
da óptica não o conseguiremos localizar com uma precisão maior
de que ± λ, o comprimento de onda da luz utilizada.

Supondo que vamos determinar a posição de um elétron com a
ajuda de um fóton. Para isso deve haver a colisão entre os dois
certo?

Um fóton de comprimento de onda λ possui um momento p = h
/ λ, sendo que uma fração qualquer do momento do fóton vai
ser transferida para o elétron, quando da colisão

Logo, ao determinarmos a posição do elétron com uma precisão:
Δx ≈ ± λ
produzimos uma incerteza no seu momento equivalente a:
Δp ≈ h / λ

O produto destas incertezas é equacionado pela seguinte expressão:
Δp Δx ≈ (h / λ) λ = h
Este é o princípio da incerteza de Heisenberg,
determinado pelo físico alemão Werner Karl
Heisenberg, o qual estabelece um limite na
precisão com que a posição e o momento
são determinados.


A conseqüência imediata deste princípio é que, ao contrário do que
acontece com os objetos macroscópicos, só podemos descrever o
comportamento do elétron em termos de probabilidade.

Exemplo

Tentendo determinar a posição de um elétron com uma precisão
de 5 pm (1 pm = 10-12 m)
Δp = h / Δx = 6×10-34 Js / 5×10-12 m = 1,2 x 10-22 kg m/s
Δv = Δp / m ≈ 1,2 x 10-22 kg m/s / 9×10-31 kg ≈ 108 m/s

De acordo com este cálculo, a incerteza da velocidade do elétron
aproxima-se da velocidade da luz.

Conclusão: a velocidade do elétron é tão incerta que é impossível
determinar a sua trajetória.

Como ensinar?

Textos:


Tirinhas
Experimentação virtual

Software

Modellus
http://www.cbpf.br/~caruso/tirinhas/index.htm
http://phoenix.sce.fct.unl.pt/modellus/