Questão 85
CURSO E COLÉGIO
Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um
ponto P0, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura
mostra a trajetória da partícula, até o ponto P3, em r. Na figura, O, O1 e O2 são os centros das três
primeiras semicircunferências traçadas e R, R/2 e 4/R seus respectivos raios.
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento
n
indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por On e Rn = R/2 ,
respectivamente, até o ponto Pn, também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita
pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a
(A) 2² · π · R.
(B) 2³ · π · R.
n
(C) 2 · π · R.
(D) (7/4) . π. R
(E) 2 · π · R
Resposta: E
O comprimento
CURSO E COLÉGIO
, de uma circunferência de raio
comprimento de uma semicircunferência é
é dado por
.
Desta forma, temos que o comprimento da trajetória descrita pela partícula:

Até

Até

Até
, logo, o

Até
Logo, quando
tende ao infinito, temos que a soma da PG é:
Assim, o comprimento pedido é dado por
, ou seja,
.