Prof. Dr. Armando Cirilo de Souza
Curso : Fí
Física / UEMSUEMS-DF
Movimento em Duas e em
Três Dimensões
Curso Física – Prof. Dr. Armando Cirilo de Souza
Vetor deslocamento r
O movimento de uma partícula num plano xy é localizado pelo vetor
posição r.
O deslocamento da partícula do ponto A para o ponto B, é dado no
intervalo de tempo entre os dois pontos considerado.
4.1
t = t1 + t2
Vetor velocidade média
Nós definimos o vetor velocidade média da partícula
durante um intervalo t, como sendo a razão entre o
deslocamento e o intervalo de tempo.
Observamos que a velocidade média não depende da
trajetória da partícula, depende apenas do vetor posição
inicial e final.
Podemos verificar que o deslocamento é uma quantidade
vetorial e o intervalo de tempo é uma quantidade escalar,
logo concluímos que o vetor velocidade média está ao
longo da direção do vetor deslocamento.
4.2
Vetor velocidade instantânea
O vetor velocidade instantânea é definido
como sendo o limite da velocidade média,
quando o t tende a zero.
4.3
Módulo da velocidade
instantânea
Aceleração Escalar
A aceleração escalar de uma partícula que se move de um ponto
para outro, é definido como sendo a razão entre a variação do vetor
velocidade instantânea e o tempo de variação.
Podemos verificar que a velocidade é uma quantidade vetorial e o
intervalo de tempo é uma quantidade escalar, logo concluímos que
o vetor aceleração média está ao longo da direção do vetor
velocidade.
Aceleração Média
4.4
Aceleração Instantânea
4.5
Movimento em duas dimensões
aceleração constante
Considerando o movimento de uma partícula em duas dimensões, na
qual a aceleração permanecem constante em módulo, direção e
sentido.
O vetor posição da partícula movendo num plano xy, pode ser escrito
da seguinte forma:
4.6
Onde x,y e r move com o tempo, de acordo com o movimento da
partícula, na qual i e j permanecem constantes.
Conhecendo o vetor posição, a velocidade da partícula pode ser
obtida das equações 4.3 e 4.6, logo podemos escrever:
4.7
Portanto podemos aplicar as equações da cinemática
usando as componentes x e y, no vetor velocidade.
Substituindo:
e
na equação 4.7, para determinar o vetor velocidade
final num tempo t, nos temos:
4.8
Da mesma forma, considerando a aceleração constante,
podemos usar as equações abaixo:
Substituindo na eq. 4.6, temos:
4.9
Representação do vetor e suas componentes a) deslocamento; b) velocidade.
Logo podemos escrever as componentes
dos vetores r e v.
Movimento de Projéteis
Conhecendo o movimento do lançamento
de uma bola de beisebol, podemos
analisar duas condições:
Primeira  aceleração constante
direcionada para baixo = g
Segundo  o efeito da resistência do ar.
Mostrando que a trajetória de um projétil é uma parábola,
escolhemos a direção do eixo y positiva para cima.
Logo, as componentes da aceleração são: ay = -g e ax=0.
Considerando que em t=0 , o projétil parte de xi = yi = 0
com velocidade vi, conforme a figura.
O vetor v faz um ângulo i com a horizontal, onde i é o
ângulo que o projétil faz com a origem.
Logo , podemos escrever as definições de seno e
cosseno:
cos i = vxi / vi
e
sen i = vyi / vi
Portanto, podemos escrever as componente do vetor
velocidade como:
vxi = vi cos i
e
vi = vi sen i
Substituindo a componente x na equação 4.9a, com xi=0 e
ax=0 nós encontramos:
Repetindo o procedimento para a componente y, com yi=0
e ay=-g, nós encontramos:
Isolando t na eq.4.10 e substituindo na eq.4.11, temos:
Caminho parabólico de um projétil
Vetor posição r como função do tempo, com ri=0 e a=g.
Plotando a equação, temos o seguinte gráfico:
Grá
Gráfico:O vetor posiç
posição r de um projé
projétil cuja velocidade inicial à origem é vi. O vetor vit seria o
deslocamento do projé
projétil se gravidade estivesse ausente, e o vetor ½gt2 é seu deslocamento vertical
devido a sua aceleraç
aceleração gravitacional descendente.
Deslocamento Máximo Horizontal e
Vertical de um Projétil
Assumindo que o projétil é lançado na origem, quando ti
= 0, na qual a componente vyi é positiva conforme a figura
abaixo.
Dois pontos são interessante para uma análise: O ponto
A, com as coordenadas cartesianas (R/2, h) e o ponto B,
com as coordenadas (R, 0).
Podemos encontrar h e R em termos
de vi , i e g.
Determinando h, notando que vyA = 0.
Usando a equação 4.8a, podemos encontrar tA :
Substituindo tA na equação 4.9a, fazendo yf = yA
podemos encontrar h (altura máxima) em
termos do módulo e direção do vetor velocidade
v.
A distância horizontal R que o projétil
alcança.
Alcance R quando tB = 2tA.
Usando a variável x da equação 4.9a, observando que:
Considerando que R=xB e tB = 2tA, podemos encontrar:
Usando:
Temos:
Ângulo de maior alcance para
mesma velocidade