Instituto Tecnológico do Sudoeste Paulista
Faculdade de Engenharia Elétrica – FEE
Bacharelado em Engenharia Elétrica
Aula 8
Movimento em 2 e 3 Dimensões:
Vetores Posição, Velocidade e Aceleração
Física Geral e Experimental I
Prof. Ms. Alysson Cristiano Beneti
IPAUSSU-SP
2012
Posição r e Deslocamento r
A localização de uma partícula ou de um objeto que se
comporte como partícula pode ser especificada através do vetor
posição , um vetor que liga um ponto de referência à partícula.
r



r  x i  y j z k
Exemplo:



r  (3m) i  (2m) j  (5m) k
Posição r e Deslocamento r
Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de
uma posição r para
. O vetor deslocamento r da partícula é
r
1
2
dado por:
r  rfinal  rinicial
Exemplos
1) O vetor posição de uma partícula é inicialmente
r1  (3m) i  (2m) j  (5m) k e depois passa a ser



r2  (9m) i  (2m) j  (8m) k . Qual é o deslocamento
da partícula r de r1 para r2 ?
 r  r2  r1






 r  [(9m) i  (2m) j  (8m) k ]  [(3m) i  (2m) j  (5m) k ]



 r  [9  (3)] i  [2  2] j  [8  5] k


 r  (12m) i  (3m) k
Velocidade Média vméd e Velocidade Instantânea
v
Se uma partícula sofre um deslocamento r em um intervalo
de tempo t , a velocidade média é dada por:
vméd
r

t

vméd


x i  y j z k

t
Se uma partícula sofre um deslocamento r em um intervalo
de tempo t muito pequeno, tendendo a zero (t  0) a
velocidade recebe o nome de instantânea, e representa a
velocidade do móvel naquele exato instante:
dr
v
dt
Como ler: a velocidade instantânea é a
função derivada da posição em relação ao
tempo.
Introdução ao Cálculo Diferencial
Para estudar os movimentos é necessário conhecer a derivação,
que é um instrumento de cálculo. Não vamos nos preocupar agora
em entender plenamente o que significa derivar, pois a disciplina
Cálculo proporcionará isto. Vamos entender um pouco da técnica de
derivação de polinômios.
A função horária das posições de um MUV é dada por:
1 2
x  xo  vo .t  .a.t
2
A função horária da velocidade é derivada da posição em relação
ao tempo:
dx
v
 vo  a.t
dt
A função horária da aceleração é derivada da velocidade (ou
derivada segunda da posição):
dv d 2 x
a
 2  constante
dt dt
1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
x  20  5.t  4.t
2
(SI)
Resolvendo para a velocidade:
x  20.t  5.t  4.t
0
1
2
O expoente da variável t
é multiplicado pelo
termo do polinômio
dx
0 1
11
2 1
v
 0.20.t  1.5.t  2.4.t
dt
1
0
1
v  0  5.t  8.t
Subtrai-se 1 do expoente
v  5  8.t (SI)
da variável t
Exemplos
1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
x  20  5.t  4.t
2
(SI)
Resolvendo para a aceleração:
v  5.t  8.t
0
1
O expoente da variável t
é multiplicado pelo
termo do polinômio
dv
0 1
11
a
 0.5.t  1.8.t
dt
1
0
a  0  8.t
a  8 (SI)
Subtrai-se 1 do expoente
da variável t
Problema proposto
1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
x  35 10.t  9.t
2
(SI)
Resolvendo para a velocidade:
x  35.t  10.t  9.t
0
1
2
dx
01
11
2 1
v
 0.35.t  1.10.t  2.9.t
dt
1
0
1
v  0  10.t  18.t
v  10  18.t (SI)
Problema proposto
1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
x  35 10.t  9.t
2
Resolvendo para a aceleração:
v  10.t  18.t
0
1
dv
0 1
11
a
 0.10.t  1.18.t
dt
1
0
a  0  18.t
a  18 (SI)
(SI)
Velocidade Instantânea
v
Agora que sabemos calcular algumas derivadas, voltamos à
velocidade
dr
v
dt
Como ler: a velocidade instantânea é a
função derivada da posição em relação ao
tempo.
Velocidade Instantânea
dr
v
dt
Graficamente, a
velocidade instantânea
é a tangente do ângulo
entre a reta tangente à
curva do gráfico da
posição em função do
tempo e o eixo
horizontal.
v
Aceleração Média améd e Aceleração Instantânea
a
Se uma partícula sofre uma variação de velocidade v em
um intervalo de tempo t , a aceleração média é dada por:
améd
v

t

améd


v i  v j v k

t
Se uma partícula sofre uma variação de velocidade v em um
intervalo de tempo t muito pequeno, tendendo a zero (t  0)a
aceleração recebe o nome de instantânea, e representa a
aceleração do móvel naquele exato instante:
2
dv d x
a
 2
dt dt
Como ler: a aceleração instantânea é a função
derivada da velocidade em relação ao tempo ou
função derivada segunda da posição em relação
ao tempo.
Exemplo
1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de
eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em
metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
x  0,31.t 2  7,2.t  28
y  0,22.t 2  9,1.t  30
Cálculo do vetor posição r
No instante t=15s, qual é o vetor posição, o vetor
velocidade e o vetor aceleração? Represente os
vetores graficamente.
Cálculo do vetor velocidade v
v y  0,44.t  9,1
x  0,31.152  7,2.15  28
dx
v y  0,44.15  9,1
vx 
dt
x  69,75  108 28
v y  2,5m / s
2 1
11
0 1
v x  2.(0,31).t  1.7,2.t  0.28.t
x  66,25m
y  0,22.15  9,1.15  30
y  49,5  136,5  30
y  57m
2


v x  0,62.t  7,2


r  (66,25m) i  (57m) j

v x  0,62.15  7,2
v  vx i  v y j
v x  2,1m / s
v  ( 2,1m / s ) i  ( 2,5m / s ) j
dy
dt
v y  2.(0,22).t 21  1.9,1.t 11  0.30.t 01
vy 
r  x i y j



Exemplo
1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de
eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em
metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
x  0,31.t 2  7,2.t  28 No instante t=15s, qual é o vetor posição,
o vetor velocidade e o vetor aceleração?
2
y  0,22.t  9,1.t  30
Represente os vetores graficamente.
Cálculo do vetor aceleração a
dvx
ax 
dt
v x  0,62.t 1  7,2.t 0
a x  1.(0,62).t 11  0.7,2.t 01
a x  0,62m / s
2
ay 
dvy
dt
v y  0,44.t 1  9,1.t 0
a y  1.(0,44).t 11  0.9,1.t 01
a y  0,44m / s 2


a  ax i  a y j


a  (0,62m / s ) i  (0,44m / s ) j
2
2
Exemplo
Representações gráficas:


r  (66,25m) i  (57m) j


v  (2,1m / s) i  (2,5m / s) j


a  (0,62m / s ) i  (0,44m / s ) j
2
2
Problemas Propostos



1) (Halliday, p.84) Um pósitron sofre um deslocamento  r  2 i  3 j  6 k


e termina com o vetor posição r  3 j  4 k em metros. Qual era o
vetor posição inicial do pósitron?



2) (Halliday, p.84) O vetor posição de um íon é inicialmente r  5 i  6 j  2 k



e 10s depois passa a ser r  2 i  8 j  2 k , com todos os valores em
metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média
durante os 10s?
3) (Halliday, p.85) Uma partícula se move de tal forma que sua posição
(em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por



r  i  4t j  t k
2
a) Escreva a expressão para sua velocidade em função do tempo;
b) Escreva a expressão para sua aceleração em função do tempo;
Problemas Propostos



4) A velocidade inicial de um próton é v  4 i  2 j  3 k
; após 4s,



passa a ser v  2 i  2 j  5 k
(em m/s). Para esses 4s, determine
quais são:
a) a aceleração média do próton na notação de vetores unitários;
b) o módulo do vetor aceleração média;
c) o ângulo entre o vetor aceleração média e o semi-eixo x positivo.