Posição relativa de duas Retas
Considerando as retas r e s dadas pelas
seguintes equações vetoriais:
r : P  A  tv , t  R
v   a1 , b1 , c1 

e
s : P  B  lw, l  R
w   a2 , b2 , c2 
Condição de paralelismo: As retas dadas são
paralelas se e somente se v  mw , isto é,
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
Posição relativa de duas Retas

Condição de Coplanariedade: As retas dadas
estão no mesmo plano se e somente se o
produto misto entre os vetores diretores da
reta e o vetor dados pelos respectivos pontos
A e B é nulo, isto é,
a1
v , w, AB   a2


x2  x1
b1
b2
y2  y1
c1
c2  0
z2  z1
Posição relativa de duas Retas

Condição de Ortogonalidade: As retas dadas
são ortogonais se e somente se seus vetores
diretores o são, isto é,
v . w  a1a2  b1b2  c1c2  0
Posição relativa de duas Retas
As retas dadas, no espaço, podem ser:
v , w, AB   0
 Coplanares:


 Concorrentes:
r  s  I 


r  s   ou r  s
 Coincidentes:
sr
 Não coincidentes: r  s  
Paralelas:
Reversas:
v , w, AB   0


rs 
Interseção de duas Retas
Para as retas r e s dadas,
r : P  A  tv , t  R
v   a1 , b1 , c1 
s : P  B  lw, l  R
w   a2 , b2 , c2 
Podemos escrever as seguintes equações:
b1

x

x

a
l
y

x

m

2
2

a1


r:
, x  R e s :  y  y2  b2l , l  R
 z  c1 x  n
z  z c l
2
2


a
1

Interseção de duas Retas
b1

y  a x  m
1

c1

z  a xn
r :
1
x x a t
2
2

 y  y2  b2t
 z  z c t
2
2

Assim eliminando o
parâmetro das três últimas
equações obteremos um
sistema linear com 4 (ou
menos) equações, e
portanto, escalonando o
sistema teremos a condição
de interseção desejada.
Exercícios
1) Determinar a posição relativa das
retas e caso seja possível sua
 x  t
interseção:

 y  3x  2
a) Retas r : 
e s :  y  1  2t , t  R
 z  2t
 z  3x  1

 x  2t

b) Retas s :  y  1  2t , t  R e
 z  3t

1 x
z
r:
 ; y2
3
2
Exercícios
2) Determinar as equações da reta r que
passa no ponto A(-2,1,3) e é ortogonal
simultaneamente às retas dadas:
 x  2t

r1 :  y  1  2t , t  R
 z  3t

1 x
z
r2 :
 ; y2
3
2
Ponto que divide um seguimento em
uma razão dada
Dados os pontos P1  x1 , y1 , z1  e P2  x2 , y2 , z2 
dizemos que o ponto P  x, y , z  divide o
seguimento de reta P1 P 2 na razão dada
se:
P1 P  r P2 P
Obs: Se a razão é
negativa significa que
o ponto P está entre
os dois pontos dados.
P1
P2
P
Exercícios
Determinar o ponto que divide os
seguimento dado por A(2,4,1) e B(3,0,5)
conforme indicado:
1
r
3

A)

B) Ao meio (razão –1)