Luiz Carlos Terra
Estimação de valores
Nesta aula, você conhecerá a parte mais importante da
estatística, que é conhecida como inferência estatística, ou
seja, você aprenderá como usar os dados de uma amostra
para estimar valores da população e também compreenderá a
importância de se fazer estimação por intervalo de confiança.
(Luiz Carlos Terra)
Estimação de valores
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Objetivo
Nesta aula, você conhecerá a parte mais importante da estatística, que é conhecida como
inferência estatística, ou seja, você aprenderá como usar os dados de uma amostra para
estimar valores da população e também compreenderá a importância de se fazer estimação
por intervalo de confiança.
Tópicos
1 – Estimação de valores
2 – Exemplos de estimação
3 – Estimação pontual
4 – Estimação por intervalo
5 – Risco de erro e nível de confiança
6 – Teorema do limite central
7 – Demonstração numérica para as premissas adotadas
8 – Bibliografia
1 – Estimação de valores
Uma das principais funções da Estatística é a estimação de valores da população.
Em função de limitação de tempo e também devido aos custos elevados de uma pesquisa,
envolvendo todos os elementos de uma população, seus parâmetros são frequentemente
estimados com base em estatísticas da amostra.
Estimação é, portanto, um processo que consiste em utilizar dados extraídos de uma
amostra aleatória para estimar os valores de uma população.
O estimador, calculado com base em dados amostrais, chama-se estimativa e o valor
calculado com os dados da população chama-se parâmetro.
Em mercadologia, a estimação é muito aplicada, por exemplo, quando se estima a proporção
de consumidores que poderão adquirir determinado produto ou quando se faz estimação
das quantidades de produtos que uma empresa poderá colocar no mercado.
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Estimação de valores
2 – Exemplos de estimação
Veja abaixo, as diferentes formas de estimação de valores:
•
Pontual: utilizada quando você estima para o parâmetro da população o
mesmo valor encontrado para a amostra.
•
Intervalar: utilizada quando você estabelece um intervalo de valores para
essa estimação.
Parâmetro populacional
estimativa pontual
estimativa intervalar
Média
o brasileiro bebe 47
litros de cerveja por ano
o brasileiro bebe de 43 a 51
litros de cerveja por ano
Proporção
40% dos brasileiros tem
carro
37% a 43% dos brasileiros
têm carro
3 – Estimação pontual
• Se você calcular para uma amostra, extraída aleatoriamente de uma população,
um valor para a média e considerar esse único valor como uma estimativa para
toda a população, você estará fazendo uma estimação pontual.
4 – Estimação por intervalo
•
Na estimação do parâmetro, por exemplo, média da população, quando você
calcula a média amostral, ela não é exatamente igual à média da população,
embora seus valores sejam próximos . Você poderá calcular as médias de várias
amostras e, em nenhum caso, a média amostral coincidirá com a média da
população.
• Dada essa variabilidade das médias, você deverá elaborar uma estimativa
intervalar, que seria um intervalo entre os valores possíveis de se encontrar a
verdadeira média da população. Esse intervalo é determinado com um certo grau
de confiança e por esse motivo ele é denominado intervalo de confiança. Quanto
maior o intervalo, maior é a segurança da estimativa. Explicando melhor essa
técnica de estimação, suponha que em uma amostra de preços de um determinado
produto, você obteve a média de R$ 20,00. Essa média é um dos valores que uma
amostra de dados pode gerar. Até que ponto a estimativa obtida para a amostra
está próxima da média da população?
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Sabe-se pelo TEOREMA DO LIMITE CENTRAL, adiante descrito, que quase sempre as
médias de várias amostras extraídas de uma mesma população distribuem-se
normalmente. Sendo assim, pode-se afirmar que o valor calculado da média de uma
amostra tem 68,3% de probabilidade de estar a mais ou menos um desvio padrão da
média da distribuição amostral.
Veja o exemplo numérico e certifique-se que a média da distribuição amostral é igual à
média da população). Por decorrência, 34,15% das médias amostrais estarão no intervalo
entre a média e um desvio padrão para mais e 34,15% entre a média e um desvio padrão
para menos.
Dessa forma, afirmar que R$ 20,00 está distante, para mais ou para menos de um desvio
padrão da média da população envolve um risco de aproximadamente 32%, pois a
verdadeira média pode ser muito maior ou menor do que a média da amostra somada a
um desvio padrão ou da média da amostra subtraído de um desvio padrão.
Como não se conhece a verdadeira média da população, o que vale é a definição de um
intervalo de valores, em que seu valor poderia ser encontrado. Se, como nesse exemplo, o
intervalo de confiança é de 68,3%, essa é a probabilidade de que a verdadeira média
esteja entre a média da amostra menos um desvio padrão e a média da amostra mais um
desvio padrão.
5 – Risco de erro e nível de confiança
No exemplo acima, existe um risco ao se afirmar que a média da população esteja naquele
intervalo, pois a verdadeira média pode estar acima ou abaixo dos valores definidos e isso
constitui o risco de erro, que é medido pela diferença entre 100% e o intervalo de confiança.
No caso, aproximadamente 68%, gerando um risco de erro de 32%, denominado α .
O nível de confiança no caso 68% é denominado da seguinte maneira: 1 - α
Você pode deduzir que quanto maior o intervalo de confiança, menor é o risco de erro. Para
um intervalo de confiança de 95%, por exemplo, o risco de erro é de 5% e para um intervalo
de confiança de 99%, o risco de erro é de apenas 1%. Você não deve confundir risco de erro
com margem de erro, que explicaremos mais adiante.
Resumindo: um intervalo de confiança para a média é um intervalo de valores, tendo ao
centro o valor da média amostral, em que se tem a probabilidade como risco determinado
de erro como parâmetro da população. Essa probabilidade é a área sob a curva normal,
sendo determinada pela variável Z, que expressa o número de desvios padrão em torno da
média amostral.
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6 – Teorema do limite central
É importante destacar que o desenvolvimento dessa forma de se definir o intervalo de
confiança está amparado no teorema do limite central, assim resumido:
1) Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das
médias amostrais também será normal para todos os tamanhos da amostra.
2) Para grandes amostras, independente da forma de distribuição da população,
a distribuição de médias amostrais será aproximadamente normal.
7 – Demonstração numérica das premissas adotadas
Você deve observar que todo o raciocínio de construção do intervalo de confiança está
desenvolvido sob as premissas abaixo:
•
a média das médias das amostras é igual à média da população; e
• o desvio padrão das médias das amostras é igual ao desvio padrão da população
dividido pela raiz quadrada do número de elementos da amostra.
Para que você entenda com mais clareza essas premissas, desenvolveremos um exemplo
numérico para confirmá-las. Vamos analisar, então, uma população composta pelos
números 2 3 e 4.
Extraindo todas as amostras possíveis, compostas por dois números e com reposição,
serão possíveis nove amostras:
Amostras
x (média de cada amostra)
2e2
2e3
2e4
3e2
3e3
3e4
4e2
4e3
4e4
2
2,5
3
2,5
3
3,5
3
3,5
4
média das médias das amostras = 2+2,5+3+2,5+3+3,5+3+3,5+4
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média das médias das amostras = 3
população dos dados : 2, 3 e 4 ....
média da população = 3
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Observe que o resultado das médias das amostras (3) é igual à média da população (3).
Variância da população
2, 3 e 4
2–3= -1
3–3=
0
4–3=
1
2
2/3 = variância da população
variância da média amostral
(2 – 3)2 + (2,5 – 3)2 + .............. = 3
3/9 = 1
3 = variância da média amostral
• pelos cálculos, você pode observar que a variância da média amostral é igual à
variância da população, dividida pelo número de elementos da amostra, ou seja,
2/3/2 = 2/3 x 1/2 = 1/3 (2£3 é a variância da população e 2 é o tamanho da
amostra), σ2 ≤ n
• conseqüentemente, o desvio padrão da distribuição amostral é igual ao desvio
padrão da população, dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra,
representado pela fórmula σ ≤ √n. Esse valor também é conhecido como erro
padrão da média. E, quando não se conhecer o desvio padrão da população, ele
deve ser calculado com base no desvio padrão da amostra (s), que é o estimador
de σ.
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Anotações:
bibliografia
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Básica
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Spiegel, Murray R.
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Estatística – Editora
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McGraw-Hill.
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_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Lopes, Paulo Afonso.
Estatística e
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Probabilidade.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Reichmann e Affonso
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Editores.
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_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Complementar
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_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Kasmier, Leonard J.
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Estatística aplicada à
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economia e
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administração. Editora
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Makron Books.
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