Estimação de Parâmetros de Funções
EE-240/2009
Estimação de Parâmetros
de Distribuição de Probabilidade
de Distribuições
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Estimação de Parâmetros de Funções
de Distribuição de Probabilidade
Estimação de Parâmetros
de Funções de
Distribuição de Probabilidade
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Estimação de Parâmetros de Funções
de Distribuição de Probabilidade
Informações de População
p (t)
T
t
0
t
TAC - 1
1
TAC - 2
2
...
TAC - n-1
n-1
TAC - n
n
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de Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Probabilidade
p (t)
T
Densidade de Probabilidade
t
FT (t)
1
Distribuição de Probabilidade
(Unreliability, Q(t) )
t
R(t) = 1 – FT (t)
1
Função de Confiabilidade
(Reliability)
t
0
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Função de Distribuição Acumulada (CDF)
F (t)
T
1
t
0
t
1
2
Instantes de Falha
Ordenados
...
n-1
n
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de Distribuição de Probabilidade
Median Rank
F (t)
T
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
t
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Median Rank
Aproximação de Benard
F (t)
T
MR (k ) 
k  0.3
N  0.4
1.00
0.87
0.69
0.50
0.31
0.13
t
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de Distribuição de Probabilidade
Exemplo
t
96h
257h
498h
763h
1.051h
1.744h
R(t )  e  t  logR(t )  t
log R(t)
t = 833 e  = 0.0012
MTTF
t
0
log 0.37
t
1
1
 R( t )   0.37

e
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Princípio da Máxima Verossimilhança

p (t)
T
3
2
1
4
t
Amostra de t
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Princípio da Máxima Verossimilhança

p (t)
T
3
2
1
4
t
Amostra de t
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de Distribuição de Probabilidade
Exemplo: Distribuição Exponencial
R(t )  e  t  p T (t )  e  t
n
L, t1, t 2 ,..., t n    p T t i 
i 1
t
96h
n

logL   log e  ti
257h
i 1
498h

763h
1.051h
1.744h

n

1
log L ˆ    t e  ti  t i e  ti
i

i 1 e
1

 ti 

i 1 
n


0
ˆ
0
ˆ
6
 (96  257  498  763  1.051  1.744)  0
ˆ
ˆ  0.00136 [ falhas / h]
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Exercício: Distribuição Exponencial
M
R
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Exercício: Distribuição Exponencial
M
R
tF
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de Distribuição de Probabilidade
Exemplo: Weibull
R( t )  e
t
16h
t
 


t
logR   
 
34h
53h
75h

t
log(  log R)   log 
 
93h
120h
log( logR)

log t
R = 0.37
1  R  0.63
log logR   0




logR  1  R  e 1  0.3679
1
t
 log   log logR   0



 
1

t  ˆ
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Exemplo: Weibull
t
16h
34h
R( t )  e
t
 


 p T (t) 
75h
93h
120h
e
t
 


t 
 1

 i 
t



log L(, , t 1, t 2 ,..., t n )   log  i  e   
   
i1

 d
log L ˆ ,ˆ  0

 d
 d

log L ˆ ,ˆ  0

d


n
53h
 t 
 
   
 1

6 6
ti 6  ti 
t
   log    log i  0
 i1   

  i1



6
t





i

  0

6







i1 







 ˆ  1.93

 ˆ  73.5
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Exemplo: Weibull
 < 1 sugere mortalidade infanti
 = 1 indica falhas aleatórias
 >1 e < 4 sugere early wear out
 >4 sugere rapid wear outl
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Distribuição de Weibull
R( t )  e
t
 


 2
 1
 T   1    1  
 
 
 1
MTTF   1 
 
2

 K  varˆ  

ˆ 
 , ˆ exp  K   var 
  ˆ exp 




ˆ
ˆ







 K  var ˆ
ˆ

   exp 


ˆ



 var ˆ

cov ˆ, ˆ
 
  2 log L

cov ˆ, ˆ  
 2



2
varˆ     log L
 

 
Cramér-Rao
Em Geral: 



ˆ
 , ˆ exp  K   var 


ˆ


 2 log L 


 
 2 log L 

2 




x    t 1e t dt

0

1

2

K
e

t2
2
dt
1
ˆ ,ˆ
Matriz de Informação
de Fisher
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de Distribuição de Probabilidade
Intervalo de Confiança baseado
na Razão de Verossimilhança
ˆ
Dados : 2,1 ou seja, , t i ,ˆ, 
Obter (, que satisfazem:
 2 log
L(, )
  2,1
L(ˆ, ˆ )
onde,
n
L(, )  
i1
  ti 
 
 
 1
e
t 
 i 


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Muito Obrigado!
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