ESTATÍSTICA APLICADA
Capítulo 4
Distribuições de Probabilidade
Variável Aleatória
1. Um resultado numérico de um experimento
2. Pode ser discreta ou contínua
3. Variável aleatória discreta


Número contável de valores
Exemplo: Número de peças defeituosas em um lote
4. Variável aleatória contínua


Número infinito de valores dentro de um intervalo
Exemplo: Diâmetro externo de uma peça
Variáveis Aleatórias Discretas
Variável Aleatória Discreta
1.
2.
3.
4.
Tipo de variável aleatória
Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.)
Obtido por contagem
Usualmente número finito de valores

A variável aleatória de Poisson é exceção ()
Exemplos de Variáveis Aleatórias
Discretas
Experimento
Fazer 100 contatos
Variável
Aleatória
Valores
Possíveis
No vendas 0, 1, 2, ..., 100
Inspecionar 70 peças No defeit.
0, 1, 2, ..., 70
Responder 33 perg.
No corretas 0, 1, 2, ..., 33
Contar carros no
pedágio
No carros
0, 1, 2, ..., 
Distribuição Discreta
de Probabilidade
1. Lista de todos os pares possíveis [x, p(x)]


x = Valor da variável aleatória (resultado)
p(x) = Probabilidade associada ao valor x
2. Mutuamente exclusivos (sem interseção)
3. Coletivamente exaustivos (nada esquecido)
4. 0  p(x)  1
5. S p(x) = 1
Exemplo de Distribuição Discreta
de Probabilidade
Exemplo: Jogar 2 moedas. Contar no caras.
Distribuição de Probabilidades
Valores, x Probabilidades, p(x)
© 1984-1994 T/Maker Co.
0
1/4 = 0,25
1
2/4 = 0,50
2
1/4 = 0,25
Visualizando Distribuições
Discretas de Probabilidade
Listagem
Tabela
No
f(x)
caras Cont.
0
1
2
{ (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) }
p(x)
0,50
0,25
0,00
Gráfico
x
1
0,25
0,50
0,25
Equação
p ( x) =
0
1
2
1
p(x)
2
n!
p x (1 - p) n - x
x !(n - x)!
Medidas
1. Valor esperado



Média da distribuição de probabilidades
Média ponderada de todos os valores possíveis
m = E(X) = Sx p(x)
2. Variância


Média ponderada dos desvios quadráticos em
relação à média
s2 = E[ (X - m)2 ] = S (x - m)2 p(x)
Tabela para Cálculo de Medidas
x
p(x)
Total
x p(x )
Sx p(x )
x-m
(x -m)
2
2
(x -m) p( x )
S(x -m) p( x )
2
Questão
Você joga 2 moedas.
Você está interessado no
número de caras. Qual é
o valor esperado e o
desvio padrão desta
variável aleatória,
número de caras?
© 1984-1994 T/Maker Co.
Solução do Valor Esperado e da
Variância
x
p(x)
x p(x )
x-m
(x -m)
2
2
(x -m) p( x )
0
0,25
0
-1,00
1,00
0,25
1
0,50
0,50
0
0
0
2
0,25
0,50
1,00
1,00
0,25
m = 1,0
s = 0,50
2
Função Distribuição de
Probabilidade Discreta
Função Distribuição de
Probabilidade Discreta
1.
Tipo de modelo

2.
Representação de algum
fenômeno
Fórmula matemática
3.
Representa variável
aleatória discreta
4.
Usada para obter
probabilidades exatas
P (X = x )
l e
x
x!
-l
=
Distribuição Binomial
Variável Aleatória Binomial
1. Número de ‘sucessos’ em n observações
(tentativas)
2. Exemplos

No caras em 15 jogadas de uma moeda
No itens defeituosos em lote de 20 itens

No corretas em prova com 33 questões

No clientes que compram entre 10
clientes contatados

Características da Distribuição
Binomial
1. Seqüência de n tentativas iguais
2. Cada tentativa tem apenas 2 resultados

‘Sucesso’ (resultado desejado) ou ‘fracasso’
3. Probabilidade de sucesso é constante em
cada tentativa
4. Tentativas são independentes
Função da Distribuição Binomial
n x
n!
n- x
x
n- x
p( x) =   p (1 - p) =
p (1 - p)
x! (n - x)!
 x
p(x) = Probabilidade de x ‘sucessos’
n = Número de tentativas
p = Probabilidade de ‘sucesso’
x = Número de ‘sucessos’
(x = 0, 1, 2, ..., n)
Características da Distribuição
Binomial
Média
m = E ( x ) = np
Desvio Padrão
s = np (1 - p)
Características da Distribuição
Binomial
Média
m = E ( x ) = np
P(X)
.6
.4
.2
.0
0
Desvio Padrão
s = np (1 - p)
P(X)
.6
.4
.2
.0
n = 5 p = 0.1
X
1
2
3
4
5
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
Exemplo da Distribuição Binomial
Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote
no caras. Qual é a probabilidade de 3 caras?
n!
p( x ) =
p x (1 - p ) n- x
x!( n - x )!
5!
p(3) =
0,53 (1 - 0,5)5-3
3!(5 - 3)!
= 0,3125
Questão
Você é um vendedor contatanto
clientes. Você efetuou 20
vendas nos últimos 100 contatos
(p = 0,20). Se você contatar 12
clientes hoje, qual é a
probabilidade de:
A.
B.
C.
D.
Nenhuma venda?
Exatamente 2 vendas?
No máximo 2 vendas?
No mínimo 2 vendas?
Solução da Distribuição Binomial
Usando a fórmula da Binomial:
A. p(0) = 0,0687
B. p(2) = 0,2835
C. p(no max 2) = p(0) + p(1) + p(2)
= 0,0687 + 0,2062 + 0,2835
= 0,5584
D. p(no min 2)
= p(2) + p(3)...+ p(12)
= 1 - [p(0) + p(1)]
= 1 - 0,0687 - 0,2062
= 0,7251