Apêndice
1
Variáveis aleatórias
Valor esperado
A variável aleatória Y assume os valores Y1, Y2,...,Yk com probabilidades
dadas pela função de probabilidade:
f (Ys )  P(Y  Ys )
s  1,...,k
O valor esperado de Y, denotado por E(Y), é definida por:
k
E (Y )  Ys f (Ys )
s 1
Propriedades:
E (a  cY )  a  cE (Y )
(1)
E (a  Y )  a  E (Y )
(2)
2
Variância
 2 (Y )  E[(Y  E (Y )) 2 ]
 2 (Y )  E (Y 2 )  [ E (Y )]2
(3)
A variância de uma função linear de Y:
 2 (a  cY )  c2 2 (Y )
(4)
com a e c constantes.
3
 2 (a  Y )   2 (Y )
(5)
Covariância
A covariância de Y e Z é representada por (Y,Z) e definida por:
 (Y , Z )  E[(Y  E (Y ))( Z  E ( Z ))]
 (Y , Z )  E (YZ )  E (Y ) E ( Z )
(6)
Funções de variáveis aleatórias
Seja Y1, Y2,...,Yn n variáveis aleatórias. Considere a função
 aiYi
Onde ai são constantes. Para n=2 temos:
 2 (a1Y1  a2Y2 )  a12 2 (Y1)  a22 2 (Y2 )  2a1a2 (Y1,Y2 )
(7)
4
Se as variáveis aleatórias Yi são independentes, nós temos:
2
n

   aiYi    ai2 2 (Yi )
 i 1
 i 1
n
(8)
Caso especial:
 2 (Y1  Y2 )   2 (Y1)   2 (Y2 )
(9)
Quando os Yi são variáveis aleatórias independentes, a covariância de duas funções
lineares,
 aiYi e  ciYi
é dada por:
n
n
n


   aiYi ,  ciYi    ai ci 2 (Yi )
 i 1
 i 1
i 1
(10)
5
Distribuição normal de probabilidade e outras
relacionadas
Distribuição normal de probabilidades
A função densidade para a variável aleatória Y é:
f (Y ) 
 1  Y   2 
1
exp  
 
2

2 

 



- Y  
(11)
Onde  e  são os dois parâmetros da distribuição normal e exp(a)=ea. A média e
a variância de uma variável aleatória normal Y é:
E (Y )  
 2 (Y )   2
Função linear de variável aleatória normal: propriedade:
Se Y é uma variável aleatória normal, a variável transformada Y’=a+cY (a e c
constantes) tem distribuição normal, com média a+cE(Y) e variância c22(Y).
6
Combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes. Seja
Y1,...,Yn n variáveis aleatórias normais independentes. Temos:
Quando Y1,...,Yn são variáveis aleatórias normais independentes, a combinação
linear a1Y1+a2Y2+...+anYn é normalmente distribuída com média
 ai E (Yi )
e variância
2 2
a
 i  (Yi )
Distribuição 2 (Qui-Quadrado)
Seja z1, z2,...,zv, v variáveis aleatórias normais padrão. Definimos a variável
aleatória qui-quadrado como:
 2 (v)  z12  z22  ...  zv2
A distribuição de qui-quadrado tem 1 parâmetro, v, o qual é chamado de graus de
liberdade. A média da distribuição de 2 com v graus de liberdade é:
E(  2 (v))  v
(12)
7
Distribuição t (Student)
Seja z e 2(v) variáveis aleatórias independentes (normal padrão e qui-quadrado,
respectivamente). Definimos a variável aleatória t como segue:
t (v ) 
z
1/ 2
  (v ) 
 v 


2
(13)
A distribuição t tem apenas um parâmetro, os graus de liberdade v. A média da
distribuição t com v graus de liberdade é:
E (t (v))  0
Distribuição F
Sejam 2(v1) e 2(v2) duas variáveis aleatórias 2 independentes. Definimos uma
variável aleatória F como:
8
F (v1, v2 ) 
 2 (v1 )
v1

 2 (v2 )
v2
(14)
A distribuição F tem dois parâmetros, os graus de liberdade do numerador (v1) e
os graus de liberdade do denominador (v2).
Existe a relação entre as variáveis aleatórias t e F
(t (v))2  F (1, v)
(15)
9
Estimação
Propriedades dos estimadores
1) Um estimador ˆ do parâmetro  é não tendencioso se:
E(ˆ)  
2) Um estimador
ˆ
do parâmetro  é um estimador consistente se:
lim P(| ˆ   |  )  0
n 
para qualquer  0
3) um estimador ˆ é um estimador suficiente de  se a função de
probabilidade conjunta condicional das observações amostrais, dado ˆ, não
depende do parâmetro 
10
Um estimador ˆ é um estimador de variância mínima de  se para qualquer
outro estimador ˆ*:
2 ˆ*
ˆ
 ( )   ( )
2
*
ˆ
para todo
11