Pequena introdução à
obra de
Iannis Xenakis
Henrique Iwao
graduação em música modalidade
composição IA Unicamp
1. Iannis Xenakis e a música
grega antiga
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“O conceito pitagórico dos números dizia que as
coisas são números, ou que as coisas continham
números , ou que as coisas são similares a
números. Essa tese (e isso em particular
interessa ao músico) desenvolveu-se a partir do
estudo dos intervalos musicais para obtenção da
catarse órfica, porque, de acordo com
Aristoxenos, os pitagóricos usavam a música para
purificar a alma assim como a medicina para
purificar o corpo” [1]

“(...) Nós somos todos pitagóricos.” [1]
Pitagóricos
Música grega
Música bizantina
Canto gregoriano
...
...
Xenakis
Gregorio Panigua - Anakrousis (contemporânea)
Dhipli Zyia (1952)
Procession aux Eaux Claires (1953)
Concret Ph (1958)
Premier Hymne Delphique (c.138 A.C.)
Les Emenides (1966)
Jonchaies (1977)
Tracées (1987)
Aristophane - Aeonaoi Nefelai (450-385 A.C.)
Gendy3 (1991)
A la Memoire de Witold Lutolawski (1994)
Mésomède de Crète - Hymne à la Muse (c.130 D.C.)
2. Análise macro-composicional de
Achorripsis.
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Achorripsis, grego para “jatos sonoros”, foi
composta em 1957.
Xenakis coloca o seguinte problema: supondo
que M pontos possam aparecer com a única
condição de que eles obedeçam a uma lei
aleatória sem memória (isto é, cujo resultado
observado até um instante dado não influencia os
resultados futuros).
Admitindo que existem poucos pontos
distribuídos num plano - superfície (baixa
densidade), a lei (variável aleatória com
distribuição) de Poisson é aplicável.
Usando essa lei, diz Xenakis, é possível obter um
máximo de assimetria com um mínimo de regras.
Fases fundamentais de uma obra musical segundo o
capítulo I do livro “Formalized music: thought and
mathematics in composition”, de Iannis Xenakis:
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1. concepções iniciais (intuição).
2. definição de entidades sônicas (material
sonoro).
3. definição das transformações (macrocomposição).
4. micro-composição.
5. seqüenciamento (esquema da obra como um
todo).
6. implementação de cálculos e correções.
7. resultado simbólico final (notação musical).
8. realização sônica (execução da obra).
O esquema macro-composicional de Achorripsis.
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Hipóteses iniciais:
“1. Num determinado espaço existem homens e
instrumentos musicais. 2. Há meios de contato
entre esses homens e os instrumentos que
permitem a emissão de eventos sônicos raros*”
[2]
*isto é: fragmentos melódicos, células musicais,
aglomerações, etc, também controlados por leis
aleatórias, sob a condição de que eles não
ocorrem freqüentemente (com freqüência alta)
durante a música (eventos sonoros esparsos no
tempo).
As variáveis da matriz de vetores (esquema de
macro-composição):
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1. A Variável Aleatória de Poisson.
2. O parâmetro (média*) λ.
3. O número de células, colunas e linhas.
* a média é o valor esperado da função, mas não
necessariamente o que mais ocorre. Ela é
entendida como centro de massa – gravidade;
isto é, ponto de equilíbrio da variável aleatória.
Exemplo: espera-se que, para um jogo de cara
ou coroa, cara valendo 0 e coroa valendo 1, o
resultado seja 0.5, ou seja, a média desse jogo é
0.5 (e no entanto 0.5 não é cara nem coroa: não
é nem um resultado possível de uma jogada!).
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Colunas: intervalos de tempo (cada uma com 6.5 tempos).
Linhas: tipos de eventos sonoros.
Matriz com 28 colunas e 7 linhas; 28x7 = 196 células.
X~Poi(λ)
P(X=k) = λke-k/k!
λ = 0.6 eventos/célula.
k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
e = 2,71828…
5! = 5x4x3x2x1. 0! = 1.
Poisson é usada para estimar número de eventos em
determinada quantidade de tempo, especialmente quando a
ocorrência desses eventos é rara (de freqüência baixa).
Xenakis calcula então a probabilidade de que exista, em
uma determinada célula, um evento sonoro com densidade
0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ele despreza a possibilidade de valores
acima de 5 porque tem probabilidade muito baixa.
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Resultados:
k=0
P(X=0) = 0.5488
k=1
p1 = 0.3293
k=2
p2 = 0.0988
k=3
p3 = 0.0198
k=4
p4 = 0.0030
k=5
p5 = 0.0004
Problema:
Na década de 90 a simulação de variáveis aleatórias é
bastante utilizada, isto é, hoje em dia podemos simular
para as 196 células quais seriam suas densidades sonoras;
o resultado da simulação seria aproximadamente
proporcional aos valores das probabilidades obtidos acima.
Mas Xenakis escreveu a peça em 1957! Assim foi obrigado
a utilizar os valores das probabilidades como se fossem
proporções fixas, isto é, teve de multiplicar cada valor de
probabilidade por 196.
Distribuição de Poisson
λ = 0,6
Probabilidade
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
p0
p1
p2
p3
p4
Evento com densidade sonora n
p5
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Número de células com densidade k:
n0 = 0.5488x196 = 107 células com densidade 0
n1 = 0.3293x196 = 65
n2 = 0.0988x196 = 19
n3 = 0.0198x196 = 4
n4 = 0.0030x196 = 1
n5 = 0.0004x196 = 0
Para que sua peça fosse assimétrica, Xenakis deveria
arrumar um jeito de tornar a disposição dos eventos
sonoros (cada um com uma densidades específica) na
matriz parecida com o que hoje seria o resultado de uma
simulação computacional.
Ou seja, a distribuição de Poisson não deveria ser usada
meramente como geradora de proporções de eventos e
densidades relacionadas.
Xenakis resolve então reaplicar a distribuição de Poisson
para as colunas e as linhas.
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Se existem 28 colunas e m células com densidade k, então
a média de células com densidade k por coluna é igual a λk
= m/28.
É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada
uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.
Ex: λ1 = 65/28 = 2,32.
A probabilidade de que existam k eventos de densidade
sonora 1 numa coluna é então calculada. Multiplicando o
resultado por 28 temos que 3 colunas não tem evento com
densidade 1, 6 colunas tem um evento com densidade 1, 7
colunas tem dois eventos de densidade 1 cada, etc...
E assim temos mais cálculos!
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Se existem 7 linhas e m células com densidade k, então a
média de células com densidade k por coluna é igual a λk =
m/7.
É necessário reaplicar a distribuição de Poisson para cada
uma das 5 densidades possíveis de eventos sonoros.
Ex: λ1 = 65/7 = 9,3.
A probabilidade de que existam k eventos de densidade
sonora 1 numa linha é então calculada. Multiplicando o
resultado por 7 temos que 0,57 linhas tem 0 eventos de
densidade 1, 0,76 linhas tem 1 evento de densidade 1,
0,89 linhas tem dois eventos de densidade 1, etc...
Aqui é interessante notar que os arredondamentos desses
valores são feitos de maneira totalmente arbitrária por
Xenakis.
O jogo.
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Agora Xenakis deve seguir sua rede de
proporções...
Ex: para eventos com densidade 3; 4 linhas não
os têm, 2 linhas têm um evento, 1 linha tem dois
eventos. 24 colunas não os têm, 3 colunas têm 1
evento.
Mas o quanto isso é distante dos resultados
obtidos através de uma simulação
computacional?
E quando é melhor usar um cálculo proporcional
ao invés de uma simulação?
(temos sempre que considerar a quantidade de
eventos sonoros...)
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Xenakis não segue rigorosamente os valores por
ele obtidos através dos cálculos... (além de
interferir nos arredondamentos)
1. “Os valores colocados na matriz não são
sempre rigorosamente definidos. Dada uma
média λ, eles dependem do número de linhas e
colunas da matriz.Quanto maior o número de
linhas e colunas, mais rigorosa será a definição.
Essa é a Lei dos Grandes Números*”.
2. Certas indeterminações permitem maior
liberdade artística, uma das portas que se abrem
ao subjetivismo do compositor.
* na verdade, esse não é o enunciado da Lei dos
Grandes Números; ocorre que, para uma matriz
com mais células, são necessários menos
arredondamentos nos cálculos, o que torna os
resultados mais rigorosos e livres de intervenção
humana.
No infinito...
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Mais importante que explicar a Lei dos Grandes Números é
perceber como Xenakis utiliza os valores de probabilidade
que ele recebeu e os transforma em proporções. De fato,
no infinito os valores de probabilidade se estabilizam em
valores fixos; por exemplo, se fosse possível jogar uma
moeda balanceada infinitas vezes teríamos a certeza de
que metade dos resultados seria cara e metade seria
coroa...
Em todo experimento real só podemos observar finitos
valores assumidos por nossa variável aleatória. Quanto
maior o número de observações, mais podemos dizer sobre
sua natureza, e menos desvios (valores estranhos) ao
nosso modelo probabilístico (uma distribuição, por
exemplo) teremos.
Quanto nós críamos sons podemos querer que esses
desvios se manifestem mais ou menos!
A Matriz – Esquema Macro-composicional.
3. Bibliografia.
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[1] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and
mathematics in composition. New York, Pendragon Press,
1992 (pag. 202)
[2] XENAKIS, I. Formalized Music: thought and
mathematics in composition. New York, Pendragon Press,
1992 (pag. 24)
[3] PANIAGUA, G. "Ancient Greek Music - notas de
programa do CD Musique de la GRÈCE ANTIQUE“. Harmonia
Mundi, 2000.
[4] ARSENAULT, L. "Iannis Xenakis’s Achorripsis: the Matrix
Game” Computer Music Journal, M.I.T. Press, Cambridge,
26:1, (58,72), 2002.
[5] CHILDS, E. “Achorripsis: a sonification of probability
distributions” Proceedings of the 2002 International
Conference on Auditory Display, Kyoto, Japan, July 2-5,
2002.
[6] MOOD, A.; GRAYBILL,F.; BOES, D. Introduction to the
theory os statistics. New York. McGraw-Hill inc. 1974.