Elementos de Análise de Decisões
Aplicada a um Problema do Setor Agrícola
Lauro T. G. Fortes
Coordenador-Geral de Desenvolvimento e Pesquisa
INMET, março de 2008
Questão Central:
Como posso utilizar a informação
probabilística em meu processo de tomada
de decisões?
Resposta:
Fazendo uso da metodologia de
Análise de Decisões
O que é Análise de Decisões ?
• Disciplina consolidada a partir da segunda metade dos anos
60, pode ser definida como “Teoria da Decisão Aplicada”.
• Reúne um conjunto de conceitos e técnicas quantitativas que
facilitam o tratamento lógico de situações envolvendo
incerteza, permitindo que se tomem boas decisões.
• É particularmente útil para o tratamento de problemas
complexos e únicos (que não se repetem), mas seus
princípios aplicam-se também a situações corriqueiras.
Alguns Conceitos e Pressupostos Básicos
• Bons Resultados são resultados desejáveis
• Boas Decisões são decisões logicamente consistentes com as
informações disponíveis e as preferências do Decisor
• Uma decisão se traduz em uma alocação efetiva de
recursos, que não pode ser revertida sem incorrer em um
custo significativo
• O Decisor é a pessoa (na organização) com a competência e
responsabilidade pela efetiva alocação de recursos.
Assumimos que é um ser racional capaz de explicitar de forma
lógica suas preferências em relação aos possíveis resultados de
suas decisões.
• O objetivo da Análise de Decisões é aumentar as chances de
Bons Resultados por meio da tomada de Boas Decisões
Síntese (simplificada) da Teoria da Decisão
(d10 , d20 ,...,dn0 )
Variáveis de Decisão
P(Sj)
D2
...
Dn
0,3
0,25
P( R )
D1
0,35
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,2
0,15
0,1
0,05
S1
S2
10
20
30
Sj
40
50
..
.
0
-6000
10000
(d11, d21 ,...,dn1 )
Resultado
Sm
3000
1500
R ( em $)
R
Modelo
0
0,7
0,6
Variáveis de Estado
A decisão ótima será dada pela n-upla
P( R )
0,5
*
1
*
2
*
n
(d , d ,...,d )
que maximiza o valor Esperado de U(R)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-6000
0
1500
3000
10000
R (em $)
maxD { E[U(R)] = U(ri). P(ri) }
onde U é a função utilidade, que reflete as Preferências do Decisor frente ao Risco
( Von Neumann & Morgenstern, 1943)
0,35
0,7
0,3
0,6
0,25
0,5
P( R )
P( R )
Escolhendo entre Loterias
0,2
0,15
0,4
0,3
0,1
0,2
0,05
0,1
0
0
-6000
0
1500
3000
10000
-6000
0
R ( em $)
0,1
0,3
1.100
0,3
0,25
0,05
1500
3000
10000
R (em $)
R
-6.000
0
0,6
0
1.500
3.000
10.000
880
0,3
0,08
0,02
R
-6.000
0
1.500
3.000
10.000
E( R ) = 0,1x(-6.000) + 0,3x0 + 0,3x1.500
E( R ) = 0x(-6.000) + 0,6x0 + 0,3x1.500
+0,25x3.000 + 0,05x10.000 = 1.100
+0,08x3.000 + 0,02x10.000 = 890
Aversão ao Risco
2.500
-500
Lauro
2.000
0,5
10.000
~
E.C. < Valor Esperado  Aversão ao Risco
0,5
-5.000
E.C. = Valor Esperado  Indiferença ao Risco
E.C. > Valor Esperado  Atração pelo Risco
Piquet
Função Utilidade Exponencial
Quando os resultados são números reais (por exemplo, Lucro), uma
função utilidade muito usada na prática é a exponencial, definida por:
U(x) = c [1- Exp (- x)]
onde  é denominado coeficiente de aversão ao risco
A Exponential e a Linear satisfazem a Propriedade Delta:
Adicionando-se um valor constante a todos os Resultados,
a Decisão ótima não se altera
Função Utilidade Exponencial Padronizada
U(x)=(1- Exp(- r.x/xmax))/(1- Exp(-r))
1,00
r=10
r=6
r=2
0,50
Utilidade U(x)
-0,60
-0,40
0,00
-0,20
0,00
-0,50
r=0
0,20
0,40
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
-3,00
-3,50
-4,00
Lucro Normalizado X/Xmax
0,60
0,80
1,00
0,35
0,7
0,3
0,6
0,25
0,5
P( R )
P( R )
Escolhendo entre Loterias (cont.)
0,2
0,15
0,4
0,3
0,1
0,2
0,05
0,1
0
0
-6000
0
1500
3000
10000
-6000
R ( em $)
0
1500
3000
10000
R (em $)
Considere que U é a função utilidade exponencial normalizada com
coeficiente de aversão ao risco normalizado r = 2
0,1
0,3
0,3
1.100
0,25
0
E[U( R)] =0,0
0,05
R
U( R )
0
-6000 -2,68
0
0,00
1500
0,30
3000
0,6
880
0,08
0,52
10.000 1,00
0,3
700
E[U( R)] =0,15
0,02
R
U( R )
-6000
-2,68
0
0,00
1500
0,30
3000
0,52
10.000
1,00
Exemplo do Amendoim
Emerson tem uma propriedade de 800 acres em Jackson, na
Flórida, onde vem plantando amendoim sem irrigação. Este ano
em função da presença da La Niña e tendo uma oferta para
arrendar sua propriedade, considera três possibilidades:
•Plantar sem irrigação
•Plantar com irrigação
•Arrendar a propriedade
Para ajudá-lo nessa decisão, recorre ao Professor Maurício que,
antes de mais nada, visita o site do AgClimate, seu velho
conhecido, e levanta um conjunto de informações.
(http://www.agclimate.org/Development/apps/agClimate/controller/perl/agClimate.
pl?function=phpyieldTool&location=local&type=php&primary=1&major=2&sub=6&
suppressMenu=true)
Valores Médios para o Plantio de Amendoim em Solo "Dothan Loamy Sand" no Condado
de Jackson, FL
Parâmtros e Variáveis
Ano Neutro
El Niño
La Niña
Produtividade Esperada com Irrigação ( lb/ac)
2.800
2.904
2.736
Classe
Valor
Prob (%)
Valor
Prob (%)
Valor
Prob (%)
Baixa
1898
6
1780
0
1907
17
Média
2512
29
2523
50
2523
8
Alta
2954
65
3284
50
2947
75
2.558
2.540
2.373
Produtividade Esperada SEM Irrigação ( lb/ac)
Classe
Valor
Prob (%)
Valor
Prob (%)
Valor
Prob (%)
Baixa
1898
45
1780
33
1907
17
Média
2512
24
2523
34
2523
50
Alta
2954
31
3284
33
2947
33
Custo da Irrigação por Acre
35,0
45,0
50,0
Custo sem Irrigação por Acre
270,0
270,0
270,0
Custo com Irrigação por Acre ($)
305,0
315,0
320,0
Preço do Produto ($/ton)
440
360
360
Preço do Produto ($/lb)
0,17
0,14
0,14
Lucro Esperado por Acre Com Irrigação
180
97
68
Lucro Esperado por Acre SEM Irrigação
141
90
93
Árvore de Decisões
Parâmetros
6,56
200.000
CLIMA
N
E.N.
L.N.
Prob
0,3
0,3
0,4
R
144.031
77.249
54.223
U( R )
0,9925278
0,9219449
0,8322908
Não Irriga
N
E.N.
L.N.
0,3
0,3
0,4
112.832
72.000
74.061
0,9766817
0,9070150
0,9131864
Aluga
Qualquer
1
80.000
0,9288028
Decisão
88.073
Irriga
0,9072581
85.074
0,9303836
80.000
0,9288028
Aversão ao Risco
Vmax
800
Área da Fazenda
Determinação do Coeficiente de Aversão ao Risco
V.E.
E.C.
E[U(X)]
U(E.C.)
50.000
20.000
0,4819
0,4818
X1
0,5
X
100.000
X2
0,5
0
U( X )
0,9637363
0,00
O Oráculo
(ou o Valor Esperado da Informação Perfeita)
Irriga
144.081
0,3 “N”
99.209
0,3 “E.N”
Aluga
Aluga
0,4
“L.N”
80.000
80.000
“N” “O Oráculo diz que será Ano Neutro”
Por exemplo, se “E.N” então será El Niño com certeza, isto é,
Pr ( E.N | “E.N.”) = 1.
Portanto se “E.N.” então a melhor decisão é Alugar
Questão : Pr(“E.N.”) =?
Resposta : Pr(“ E.N.”) = Pr(E.N.)= 0,3
Valor Esperado COM Informação do Oráculo = 99.209
Valor Esperado SEM Informação do Oráculo = 85.074
Valor Esperado da Informação do Oráculo
=14.135
Valor Esperado da Informação Perfeita
V.E.
U.E.
E.C.
U(C.E.)
99.209
0,948
89.500
0,948
0,3
"N"
IRRIGA
R ($)
144.031
U( R )
0,9925278
0,3
"E.N."
ALUGA
80.000
0,9288028
0,4
"L.N."
ALUGA
80.000
0,9288028
Valor Esperado COM a Informação Perfeita
Valor Esperado SEM a Informação Perfeita
Valor Esperado DA Informação Perfeita
EC COM a Informação Perfeita
EC SEM a Informação Perfeita
EC DA Informação Perfeita
99.209
85.074
14.135
89.500
80.650
8.850
Valor Esperado da Informação Imperfeita
Expedito pode prever a fase do ENSO com 80% de acerto, e seus erros
são igualmente distribuídos entre as demais alternativas. Ele está
disposto a vender essa informação para o Emerson. Qual é o preço
máximo que Emerson estaria disposto a pagar?
Caracterização do Previsor:
Pr(“N” | N)= 0,8 ;
Pr(“E.N” | N) = 0,1;
Pr(“L.N” | N) = 0,1
Pr(“N” | E.N)= 0,1; Pr(“E.N” | E.N) = 0,8; Pr(“L.N” | E.N) = 0,1
Pr(“N” | L.N)= 0,1; Pr(“E.N” | L.N) = 0,1; Pr(“L.N” | E.N) = 0,8
Valor da
Informação
Imperfeita:
Estrutura do
Problema
COMPRA INFORMAÇÃO
"N"
"E.N"
"L.N"
Problema Original
NÃO COMPRA
NÃO IRRIGA
Irriga
N
E.N.
L.N.
Não Irriga
N
E.N.
L.N.
Aluga
Qualquer
Irriga
N
E.N.
L.N.
Não Irriga
N
E.N.
L.N.
Aluga
Qualquer
Irriga
N
E.N.
L.N.
Não Irriga
N
E.N.
L.N.
Aluga
Qualquer
U.E.
E.C.
V.E.
0,9304
80.650
85.074
Árvore de Probabilidades: Teorema de Bayes
Árvore Invertida
A
0,3
N
0,3
E.N
0,4
L.N
B|A
0,8
"N"
0,1
"E.N"
0,1
"L.N"
0,1
"N"
0,8
"E.N"
0,1
"L.N"
0,1
"N"
0,1
"E.N"
0,8
"L.N"
AB
B
0,24
0,03
0,31
"N"
0,03
0,03
0,24
0,31
"E.N"
0,03
0,04
0,04
0,32
0,38
"L.N"
A|B
0,7742
N
0,0968
E.N
0,1290
L.N
0,0968
N
0,7742
E.N
0,1290
L.N
0,0789
N
0,0789
E.N
0,8421
L.N
AB
0,24
0,03
0,04
0,03
0,24
0,04
0,03
0,03
0,32
X
0,31
"N"
125.980
0,9650
94.483
X COMPRA INFORMAÇÃO
0,9400
94.483
0,9400
85.000
0,31
"E.N"
0,38
"L.N"
0,9398
NÃO COMPRA
125.980
Irriga
0,9650
N
E.N.
L.N.
Pr
R
0,774194 144.031
0,096774 77.249
0,129032 54.223
U( R )
0,9925278
0,9219449
0,8322908
1
103.878
Não Irriga
0,9632
80.000
Aluga
0,9288
80.740
Irriga
0,9172
N
E.N.
L.N.
0,774194 112.832
0,096774 72.000
0,129032 74.061
0,9766817
0,9219449
0,9131864
1
80.740
76.217
Não Irriga
0,9288
0,9261
80.000
X
Aluga
0,9288
63.131
Irriga
0,8520
80.000
Qualquer
94.483
85.074
9.409
80.000 0,9288028
N
E.N.
L.N.
0,096774 144.031
0,774194 77.249
0,129032 54.223
0,9925278
0,9219449
0,8322908
1
N
E.N.
L.N.
0,096774 112.832
0,774194 72.000
0,129032 74.061
0,9766817
0,9219449
0,9131864
1
Qualquer
N
E.N.
L.N.
76.959
N
Não Irriga
E.N.
0,9288
0,9189
L.N.
80.000
X
Aluga
Qualquer
0,9288
Problema Original
NÃO IRRIGA
U.E.
0,9304
E.C.
80.650
V.E.
85.074
Valor Esperado COM Informação Imperfeita
Valor Esperado SEM Informação Imperfeita
Valor Esperado DA Informação Imperfeita
1
1
80.000 0,9288028
0,078947 144.031
0,078947 77.249
0,842105 54.223
0,9925278
0,9219449
0,8322908
1
0,078947 112.832
0,078947 72.000
0,842105 74.061
0,9766817
0,9219449
0,9131864
1
1
80.000 0,9288028
EC COM Informação Imperfeita
EC SEM Informação Imperfeita
Valor Esperado DA Informação Imperfeita
85.000
80.650
4.350
Anexos
A Função Utilidade – Breve Introdução
John von Neumann and Oskar Morgenstern
em Theory of Games and Economic Behavior (1944).
Teoria da Escolha Racional sob Incerteza
Se as preferências (atitudes) do Decisor em situações de risco forem
consistentes com um conjunto básico de axiomas, então existirá uma
função Utilidade definida sobre os Resultados das decisões tal que,
em uma situação complexa, a melhor decisão para ele é aquela que
maximiza a sua Utilidade Esperada.
Conceitos Primários:
p
Loteria: Um conjunto de resultados incertos e suas
respectivas probabilidades.
A
Ex: L:
1- p
B
L1L2 significa “L1 preferível a L2” L1~ L2 significa “L1 e L2 são indiferentes”
Um Resultado A é equivalente a uma Loteria L que tem Prêmio A com probab. 1
A~
1
A
Axiomas da Teoria de Utilidade
Ordenação: O Decisor é sempre capaz de ordenar os resultados em ordem de preferência
•Comparabilidade: Para quaisquer resultados A e B, ou AB ou BA ou A~B
•Transitividade: Se A~B e B~C então A~C
Continuidade
Se AB e BC então existe uma probabilidade p tal que B ~ L: [(p, A) , (1- p, C)].
Nesse caso B é chamado de equivalente certo de L.
Substituição:
Se L é uma loteria e CE é o seu equivalente certo então o Decisor sempre aceitará trocar o
CE por L e vice-versa.
Monotonicidade:
Se AB e p>q então Lp  Lq onde Lt : [ (t, A) , (1- t, B)]
Decomposição (“no fun in gambling” axiom )
Uma Loteria Composta é equivalente a uma Loteria Simples com iguais probabilidades em
relação aos Prêmios, isto é [(p, [(q, A), (1- q, B)]) , (1- p, B)]~ [(pq, A) , (1- pq, B)]
Propriedades da Função Utilidade
1.
O resultado não se altera se U for submetida a uma transformação linear
positiva, isto é U  a + bU onde b>0
2.
A utilidade de qualquer loteria é igual à utilidade esperada de seus resultados
ou seja U(L)=  U(x)f(x)dx
Corolário:
O Equivalente Certo de uma loteria L é igual ao inverso da Utilidade de L:
EC(L) = U-1 (L)
3.
A loteria preferida é sempre aquela que tem a maior utilidade
Teorema de Bayes
Notação: A  B  AB
A  B  A  B {A}  Pr obabilidade( A)
Considere um conjunto exaustivo de eventos de eventos mutuamente exclusivos
Ai , A2 ..., An (Doenças)
mutuamente exclusivos
Ai  A2  ... An  I
conjunto exaustivo
onde
I
Ai Aj   , 1  i  j  n
{I }  1
é o conjunto de todas as possibilidades (Identidade):
e um outro evento
B  I (Sintoma)
Ai  e B | Ai 
Conhecemos também, portanto, Ai B  Ai B | Ai 
Conhecemos todas as probabilidades
Questão: Qual a probabilidade de determinada “Doença”, dado o “Sintoma”?
Resposta:
Ai | B  nAi B | Ai 
 A B | A 
j
j
Exemplos de Variáveis de Decisão e de Estado
Decisão
• Lançar ou não um novo
produto
• Realizar testes
• Data de início do plantio
• Quantidade de irrigação
utilizada
• Número de especialistas
contratados
• Orçamento para P&D
• Gastos com Propaganda
Estado
• Demanda de um novo
produto
• Preço dos produtos
concorrentes
• Taxa de Juros
• Início da estação de chuvas
• Quantidade de precipitação
no período
• Custo de Desenvolvimento
• Gastos em P&D
• Produtividade
Bibliografia Sugerida
1.
4.
Readings in Decision Analysis, Decision Analysis Group, Eds. Ronald A.
Howard and James E. Matheson, SRI International, Menlo Park,
California, 1977.
READINGS on The Principles and Applications of Decision Analysis,
(Volumes I and II), Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson,
Strategic Decisions Group, Menlo Park, California, 1984.
Howard Raiffa. Decision analysis: introductory lectures on choices under
uncertainty. Addison-Wesley, 1968.
http://groups.msn.com/DecisionModeling/decisionanalysis1.msnw
5.
http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd042/analise_decisao.pdf
2.
3.
Em http://www.northworks.net/w_pub.htm:
6.
The Decision to Seed Hurricanes
(with R.A. Howard and J.E. Matheson), Science, Vol. 176, p. 1191-1202,
1972. 782k
7.
Limitations, definitions, principles, and methods of risk assessment
Scientific and Technical Review, International Office of Epizootics, 1995.
468k
8.
The Invariance Approach to the Probabilistic Encoding of Information
Ph. D. Thesis, Department of Operations Research, Stanford University,
1970. 5.9mb