UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS
NÚMEROS IMAGINÁRIOS NO SÉCULO XIX:
A CONTRIBUIÇÃO DE
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
LUCIENE DE PAULA
UFMT
2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS
NÚMEROS IMAGINÁRIOS NO SÉCULO XIX:
A CONTRIBUIÇÃO DE
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
ORIENTANDA: LUCIENE DE PAULA
ORIENTADOR: DR. MICHAEL OTTE
UFMT
2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS
NÚMEROS IMAGINÁRIOS NO SÉCULO XIX:
A CONTRIBUIÇÃO DE
JEAN ROBERT ARGAND (1768-1822)
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação, do Instituto de Educação
da Universidade Federal de Mato Grosso
como parte dos requisitos para obtenção
do título de Mestre em Educação (Área de
Concentração: Educação Matemática)
UFMT
2007
FICHA CATALOGRÁFICA
A148h
Paula, Luciene
A interpretação geométrica dos números imaginários no século
XIX: a contribuição de Jean Robert Argand (1768-1822) / Luciene
de Paula. − Cuiabá: Instituto de Educação, 2007.
156p.:il
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação do
Instituto de Educação da UFMT, como parte dos requisitos para
Obtenção do título de Mestre em Educação (Área de concentração: Educação matemática)
Bibliografia: p.143-147.
CDU − 514.112
Índice para Catálogo Sistemático
1.
2.
3.
4.
Educação matemática
Jean Robert Argand
Números imaginários
Interpretação geométrica
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À COORDENAÇÃO DO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
Professores componentes da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Michael Otte
Orientador da Dissertação
Prof.ª Dr.ª Gladys Denise Wielewski
Examinadora Interna
Prof.ª Dr.ª Sônia Barbosa Camargo Igliori
Examinadora Externa
Agradecimentos
Ao professor Dr. Michael Otte, pela orientação, amizade, incentivo e
apoio irrestrito que foram de importância ímpar para a conclusão desse estudo.
Às professoras Dr.ª Sônia Barbosa Camargo Igliori e Dr.ª Gladys
Denise Wielewski, pela atenção e apoio e, principalmente, por aceitarem participar
como banca da minha qualificação e defesa dessa Dissertação de Mestrado
enriquecendo-a com suas contribuições.
Aos professores da Pós-Graduação, que atuaram como ministrantes
das disciplinas desse programa, proporcionando reflexões e contribuições que me
fizeram amadurecer.
Aos meus colegas Isabella, Evilásio e Humberto pelo carinho, pelos
bons momentos que estivemos juntos e, principalmente, pelo companheirismo.
À professora MSc. Irene Baleroni Cajal, que muito contribuiu para
dar clareza, no sentido da língua, a esse trabalho.
Aos meus queridos pais JOSÉ DE PAULA e DIRCE CARLOS DE
PAULA que durante toda a minha existência não mediram esforços para carregar-me
em seus braços nos momentos de maior dificuldade.
Às minhas queridas irmãs Eliane, Rosilene e Gabriela, que sempre
estiveram presentes na minha caminhada.
Aos meus amados filhos MATHEUS e RAFAELA, que vieram
completar minha felicidade.
Ao meu esposo ALEXANDRE, que me incentivou para transpor
todas as dificuldades.
ÍNDICE
RESUMO...................................................................................................................... 7
ABSTRACT................................................................................................................... 9
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 11
CAPÍTULO 1.............................................................................................................. 16
SIMBOLIZAÇÃO ................................................................................................. 17
CAPÍTULO 2.............................................................................................................. 37
AS EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU, DO TERCEIRO GRAU E AS
QUANTIDADES IMPOSSÍVEIS OU IMAGINÁRIAS....................................... 38
CAPÍTULO 3.............................................................................................................. 69
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA: O ELO
LEGITIMADOR DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS .......................................... 70
CAPÍTULO 4.............................................................................................................. 93
JEAN ROBERT ARGAND E A REPRESENTAÇÃO
GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS ............................................ 94
CAPÍTULO 5............................................................................................................ 112
A GEOMETRIA E O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS............................. 113
CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................... 140
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... 143
ANEXO..................................................................................................................... 148
GALERIA DE IMAGENS
RESUMO
Nesse trabalho, objetivamos apresentar a representação geométrica
dos números imaginários feita pelo bibliotecário suíço e matemático não profissional
Jean Robert Argand (1768−1822).
Para tratar de tal questão, fizemos uma abordagem sobre
Simbolização, apresentando a evolução da Álgebra que começa com Álgebra
Retórica, passa pela Álgebra Sincopada, culminado na Álgebra Simbólica atualmente
utilizada. Essa abordagem acontece principalmente no contexto das equações.
Posteriormente, buscamos enfocar a importância da prática algébrica,
por meio de trabalhos com as equações do segundo e do terceiro graus que
possibilitaram a descoberta de alguns casos insolúveis e, a partir desses, o
reaparecimento das quantidades impossíveis ou imaginárias.
Em seguida, mostramos que, com a ampliação da geometria de figuras
planas de Euclides para a geometria do espaço no sentido do século XIX, os
matemáticos ganharam um novo instrumento para assegurar a existência dos seus
objetos em termos de modelos e de estruturas. A representação geométrica foi,
portanto, um fruto do pensamento relacional para o qual a idéia do espaço fora
essencial. Os objetos matemáticos controversos, como as raízes quadradas de
números negativos, ganharam realidade somente como elementos de uma estrutura e,
por isso, em poucos anos, muitos matemáticos independentes (não profissionais)
como Caspar Wessel (1745−1818), Adrien Quentin Buée (1748−1826), Jean Robert
Argand (1768−1822), Hermann Günther Grassmann (1809−1877) entre outros,
tiveram a idéia de ganhar a existência dos números imaginários à base da geometria
plana.
8
ABSTRACT
From the Middle Ages onwards, when algebra entered into a more
intense development, the problem of the square roots of negative numbers, which
inevitably appeared in the process of the resolution of algebraic equations bothered
people. Clearly, if we identify numbers with quantities it doesn't make sense to speak
of such roots and even of negative numbers. Numbers of that type were thus called
impossible numbers, absurdities, false or imaginary, names that express the
confusion they caused in mathematics. On the other hand such symbols were well
defined in terms of operation and as mathematics up to the 19th century was mainly
conceived in algorithmic or constructive terms these numbers were used as part of
the calculation.
Only in the turning of the century XVIII for the XIX, when a new
view of mathematics began to evolve based on new types of applications on searched
for a reference of these symbols and found it in the different geometric
representations for those numbers, what guaranteed their full acceptance within the
universe of the numbers and clarified their place in the overall realm of numbers..
One of the main contributors to the solution of the problem was the Swiss librarian
Jean Robert Argand (1768-1822), who in 1806 published, in Annales of
Mathématiques of Gergonne, the Rehearsal on a way of representing the imaginary
amounts in the geometric constructions. In spite of its importance, that work only
became known in 1813.
10
INTRODUÇÃO
Desde o início do século XIX, todo discurso matemático começou a
ser influenciado pelas exigências do ensino matemático em escalas maiores e da
produção de textos para um público mais diversificado, por exemplo, estudantes de
engenharia e de ciências naturais, além de professores de educação matemática. Os
matemáticos reagiram de maneira diversificada em relação a essas exigências.
De um lado existia um movimento da aritmetização e do rigor
aritmético e, de outro lado, se desenvolveu a álgebra abstrata e a axiomática moderna
(OTTE, 1989). A maior diferença entre esses dois programas consistia nas suas
noções de uma teoria matemática; o movimento do rigor aritmético considerava as
teorias matemáticas como reflexos mais refinados da visão concreta do mundo,
enquanto o movimento axiomático enfatizava que teorias eram realidades sui generis
que tinham que ser avaliados em termos de coerência de sua estrutura e não em
comparação com uma visão do mundo empírico.
A diferença entre esses dois movimentos mostrava-se na maneira
como eles avaliaram os números imaginários. Enquanto o movimento da
aritmetização da matemática não admitiu que os números complexos tinham um
significado próprio, mas considerava um número complexo como um par de números
reais, o movimento axiomático buscava construir modelos geométricos considerando
os números complexos essencialmente como vetor.
Ambos concordavam, no entanto, que os números imaginários não
podiam ser tratados como meros símbolos de cálculos como foram entendidos nos
desde os dias de Cardano e Bombelli. As exigências do ensino da matemática
resultam na necessidade de dar explicações mais palpáveis desses símbolos. Por isso
observamos o fato histórico bastante surpreendente que num determinado período de
menos de cinqüenta anos, surgiu um grande número de interpretações desses
números imaginários.
Hintikka em várias ocasiões chamou nossa atenção para a importância
desta distinção entre o movimento de aritmetização e da axiomatização moderna,
pois foram acompanhadas também por concepções diferentes na lógica.
12
“Um ponto de referência inicial nesta área é fornecido pela
distinção de Leibniz entre dois componentes de seu ambicioso
projeto em lógica matemática [...]. Por um lado, Leibniz propôs
desenvolver uma characteristica universalis cuja estrutura
simbólica refletiria diretamente a estrutura do mundo de nossos
conceitos. Por outro lado, o projeto de Leibniz incluiu a criação
de um calculus ratiocinator que era concebido como um método
de calculação simbólica que refletiria os processos do raciocínio
humano” (HINTIKKA, 21ff, 1997).
Quando o projeto de Leibniz começou a ser desenvolvido no século
XIX, seus dois componentes foram assumidos por diferentes pesquisadores
tradicionais, como Bolzano (1781−1845) e Frege (1848−1925) de um lado, e Boole
(1815−1864),
De
Morgan
(1806−1871),
Grassmann
(1809−1878),
Peirce
(1809−1880) e Schroeder (1841−1902) de outro, servindo como primeiras
referências.
Os que poderiam ser chamados “algebristas” buscaram além do
sentido das representações matemáticas modelos que poderiam servir como campos
de referência. A interpretação geométrica dos números imaginários é um excelente
exemplo. Esta interpretação geométrica mostra que a álgebra não necessariamente
precisa ser interpretada como uma aritmética generalizada, como é costume nas
escolas, mas sim como uma ciência geral de estruturas.
O pensamento matemático, como disse Aristóteles, começa com
theoremata, como “O produto de dois números ímpares é ímpar”. Ou “Se um número
ímpar divide um número par sem resto, ele também divide a metade desse número
sem resto”. Esses são teoremas que, como dizemos, vão além do que pode ser
experimentado concretamente porque declaram algo sobre infinitamente muitos
objetos. Realmente, eles não declaram absolutamente nada sobre os objetos (por
exemplo, sobre os números); ao contrário, eles são sentenças analíticas que
desdobram o significado de certos conceitos.
Como fazemos para provar, porém, essas proposições analíticas como
“o produto de dois números ímpares é ímpar”? Nós representamos certas atividades.
Dizemos, por exemplo, se um número ímpar é dividido por 2, haverá, por definição,
resto igual a 1. Disto, deduzimos que existe para cada número ímpar X outro número
inteiro positivo N tal que X = (2N + 1). Se agora tivermos dois números ímpares
representados dessa maneira, e se os multiplicarmos, o teorema resultará quase
13
automaticamente aplicando as leis distributiva e associativa e observando que o
produto tem exatamente a mesma forma dos dois fatores.
Tais considerações sobre a noção de diagrama lembram-nos dos
trabalhos de Boole (1815−1864) e de Grassmann (1809−1878) e das primeiras idéias
sobre teoria dos modelos. O primeiro aparecimento da noção de modelo ocorreu
talvez, como já foi dito, na interpretação geométrica dos números imaginários, a qual
é uma aplicação especial do Ausdehnungslehre de 1844 de Grassmann, como o
próprio Gauss havia observado em uma carta a Grassmann. A análise vetorial de
Grassmann, como a interpretação gaussiana dos números complexos, só fora possível
assim que o assunto em questão da matemática não foi mais concebido em termos de
significados e quantidades objetivas de todos os tipos, mas quando teorias
matemáticas foram vistas como estruturas quase autônomas.
O
problema
dos
números
imaginários
encaixa-se
nesse
desenvolvimento.
De Cardano (1501−1576) e Bombelli (1526−1572) até Gauss
(1777−1855) e Grassmann, os números imaginários tinham uma existência
“simbólica” ou somente virtual. Nesse sentido, algebristas como Euler (1707−1783)
não se preocupavam com o valor particular das variáveis.
Somente no século XIX novas exigências do ensino e novos campos
de aplicação exigiram conceitos matemáticos mais diferenciados. Falava-se da
existência de uma transição de “conceitos globais” para “conceitos locais” (por
exemplo, de função contínua para a função contínua num ponto isolado X). Com essa
transição, apresentou-se a necessidade de novas idéias sobre os objetos matemáticos.
Percebeu-se que os símbolos matemáticos (os números, em particular) representavam
relação entre objetos e não objetos. A geometria de Descartes (1596−1650)
considerava os números como marcadores de coisas e pontos em vez de
representações de relações e isso significou um retrocesso em comparação à Teoria
das Relações de Eudoxos (408 a.C-355 a.C).
Nesse trabalho, buscamos apresentar esse fato por meio da
representação geométrica dos números imaginários feita por Jean Robert Argand
(1768−1822) o qual estruturamos em cinco capítulos, a seguir, descritos.
14
No Capítulo I, tratamos a questão da Simbolização, apresentando a
evolução da Álgebra que começa com Álgebra Retórica, passa pela Álgebra
Sincopada, culminado na Álgebra Simbólica atualmente utilizada. Essa abordagem
acontece principalmente no contexto das equações.
No Capítulo II, buscamos verificar a importância da prática algébrica,
por meio de trabalhos com as equações do segundo e do terceiro graus que
possibilitaram a descoberta de alguns casos insolúveis e, a partir desses, o
reaparecimento das quantidades impossíveis ou imaginárias.
No Capítulo III, destacamos que, com a ampliação da geometria de
figuras planas de Euclides para a geometria do espaço no sentido do século XIX, os
matemáticos ganharam um novo instrumento para assegurar a existência dos seus
objetos em termos de modelos e de estruturas. A representação geométrica foi,
portanto, um fruto do pensamento relacional para o qual a idéia do espaço fora
essencial. Os objetos matemáticos controversos, como as raízes quadradas de
números negativos, ganharam realidade somente como elementos de uma estrutura e,
por isso, em poucos anos, muitos matemáticos independentes (não profissionais)
como Caspar Wessel (1745−1818), Adrien Quentin Buée (1748−1826), Jean Robert
Argand (1768−1822), Hermann Günther Grassmann (1809−1877) entre outros,
tiveram a idéia de dar existência aos números imaginários à base da geometria plana.
No Capítulo IV, objetivamos apresentar a representação geométrica
dos números imaginários feita por Argand que trata os números imaginários como
pontos no plano, e no sentido de enriquecer ainda mais incluímos, nessa
apresentação, as regras da adição e da multiplicação desses números. Para isso,
pautamo-nos na obra original de Argand, Essai sur une manière de representer les
quantités imaginaires dans les constructions géométriques (Ensaio sobre uma
maneira de representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas), de
1806.
Finalmente, no Capítulo V, apresentamos algumas reflexões sobre
abordagens de ensino dos números complexos, reflexões essas resultantes dos
estudos dos capítulos anteriores e também de observações de nossa experiência como
docente.
15
CAPÍTULO 1
SIMBOLIZAÇÃO
As considerações desse capítulo partem da convicção que todo
pensamento matemático ocorre em termos de signos e não é um evento ou
acontecimento mental. Desde muito tempo, foram desenvolvidas teorias que
mostraram, em particular, que qualquer concepção evolucionista ou genética da
cognição e da personalidade humana pode ser concebida de um ponto de vista
semiótico. Nesse sentido, a obra do psicólogo americano Jerome Bruner influenciou
a educação matemática nos últimos 40 anos. Mesmo assim, falta na educação
matemática, como disciplina acadêmica, uma consciência mais ampla da importância
da concepção semiótica do pensamento matemático. Por isso, vamos buscar, nesse
capítulo, fornecer algumas ilustrações sobre influência da simbolização no
desenvolvimento histórico da matemática.
Segundo o matemático francês René Thom (1923−2002), o grande
problema da Educação Matemática e do Pensamento Matemático em geral, inclusive
da Epistemologia, não é o rigor, mas refere-se à seguinte questão: que tipo de
realidade têm os objetos matemáticos? Por exemplo, em sua conferência sobre
Educação Matemática, proferida em 1972 na Inglaterra, no Congresso Internacional
de Exeter, apresentou o problema do significado como ponto central, quando
afirmou:
O real problema que confronta o ensino da matemática não é o
do rigor, mas o problema do desenvolvimento do ‘significado’,
da ‘existência’ de objetos matemáticos. (THOM, 1973, p.202.)
A resposta a essa pergunta é dada a partir da análise do uso dos
símbolos e dos signos, ou seja, a prática semiótica da matemática cria seus objetos e
não o contrário, como acontece nas ciências empíricas em que os objetos existem
independentemente das teorias e das atividades dos pesquisadores. Na matemática,
tais objetos são produzidos numa atividade simbólica ou, pelo menos, foi por muito
tempo.
17
No entanto, essa explicação não é suficiente ou totalmente suficiente,
pois no início do século XIX, houve uma nova revolução na matemática e o novo
contexto em que os objetos matemáticos encontravam-se e desenvolveram-se não foi
mais o da língua ou o do símbolo isolado, mas o de uma teoria considerada como
sistema de proposições e enunciados. A teoria foi concebida como uma resposta à
pergunta: o que significam estes símbolos que os matemáticos tinham colocado no
papel ao longo dos séculos? Sobre essa transformação, falaremos mais claramente
no Capítulo III.
Álgebra, no sentido geral em que o termo é usado atualmente, lida
com operações em formas simbólicas, e os símbolos algébricos são ícones. Robert
Recorde (1510−1558), por exemplo, escolheu, em 1557, o símbolo “=” para
representar a igualdade, pois para ele, “não havia coisa mais igual que duas retas
paralelas” (CAJORI, 1929, parágrafo 261.). Tal questão é fundamental e se mostra
mais claramente na interpretação geométrica dos números imaginários. Podemos
constatar que na escola ainda existe a equivocada crença de que a álgebra é igual à
aritmética generalizada (mesmo pensamento que se tinha no século XVI), resultado
do conceito exclusivamente algorítmico da matemática de que matematizar é igual a
calcular. A álgebra consiste em uma ciência de formas e estruturas gerais.
“O método usual de instrução da aritmética e da álgebra
tradicional consiste em introduzir as operações e reafirmar, por
exemplo, as leis que as governam; ao contrário do método
geométrico e algébrico, se verdadeiramente entendido, aponta
diretamente para a generalidade.” (FREUDENTHAL, 1978,
p.221.)
Nessa capacidade, ela não só permeia toda matemática, como se
alastra no domínio da lógica formal e até mesmo da metafísica. Além disso, quando
assim interpretada, a álgebra é tão antiga quanto a faculdade do homem para tratar com
proposições gerais; tão antiga quanto sua habilidade para distinguir entre algum e
qualquer.
Estamos, neste estudo, interessados na álgebra em um sentido muito
mais restrito, isto é, aquela parte da álgebra geral que é muito propriamente chamada
de teoria das equações. E é nesse sentido mais específico que o termo álgebra foi
usado inicialmente. A palavra é de origem árabe. Al é o artigo árabe o, e gebar é o
18
verbo estabelecer, para restituir. Atualmente a palavra Algebrista é usada na Espanha
para designar uma pessoa que recoloca ossos no lugar, um tipo de quiroprático.
A palavra álgebra é concebida como a adaptação do título de um livro
escrito no século IX pelo árabe Mohammad ibn-Musa Al-Khowarizmi (780−850)
que muito contribuiu para o desenvolvimento da numeração posicional. O livro é
intitulado Algebar wal Muquabalah, cuja tradução literal é Sobre Restituição e
Ajuste. Al-Khowarizmi usou a palavra restituição no mesmo sentido que atualmente
usamos a palavra transposição, isto é, a mudança dos termos de uma equação de um
lado para o outro, por exemplo, a mudança de 3x + 7 = 25 para 3x = 25 − 7.
Traços de uma álgebra primitiva são encontrados nos tabletes de barro
dos Sumérios. Essa álgebra, provavelmente, alcançou um elevado grau de
desenvolvimento entre os Egípcios antigos. Realmente, o papiro Rhind, datado,
aproximadamente, do ano 1650 a.C., contém 80 problemas, todos resolvidos, a
maioria envolvendo problemas do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem
de grãos de trigo, a alimentação do gado, enfim, problemas que conduzem a
equações simples. O papiro foi escrito pelo egípcio Ahmes (1680 a.C.−1620 a.C.).
Porém Ahmes, em função dos muitos erros grosseiros no texto, foi um mero copiador
que entendia pouco do que estava copiando, o que justifica muitos erros no texto.
Assim é conjeturado que o estado de conhecimento dos antigos Egípcios seria mais
elevado do que esse papiro nos levaria a acreditar. Seja como for, não há qualquer
dúvida de que a álgebra egípcia antecede o papiro em muitos séculos.
Em geral, é correto afirmar que o desenvolvimento da álgebra em
alguns países atravessou, sucessivamente, três fases: a retórica, a sincopada e a
simbólica. Na álgebra retórica as relações são expressas com palavras e
caracterizadas pela ausência completa de qualquer símbolo, ou seja, as próprias
palavras são usadas em seus sentidos simbólicos. Atualmente, a álgebra retórica é
usada em afirmações como “a soma é independente da ordem dos termos”, a qual,
simbolicamente, seria designada por a + b = b + a.
19
(DANTZIG, 1962, p.78.)
A álgebra sincopada é uma álgebra de transição entre a álgebra
retórica e a simbólica, diferenciando-se da retórica por aparecerem abreviaturas de
certas palavras. A álgebra hindu é um exemplo típico. Certas palavras de uso
freqüente são abreviadas gradualmente. Eventualmente essas abreviações
indicam o ponto de suas origens, como foram adquiridas, de forma que os
símbolos não tenham nenhuma conexão óbvia com a operação que eles
representam. A sincopação tornou-se um símbolo.
A história dos símbolos + e − pode ilustrar tal fato. Na Europa
medieval, o último foi denotado por muito tempo pela palavra cheia menos, então
pela primeira letra m devidamente sobrescrita. Eventualmente a letra propriamente
foi retirada, ficando somente o sobrescrito. O sinal mais passou por uma
metamorfose semelhante. Se observarmos a tabela de Evolução de Símbolos, na
página anterior, podemos acompanhar uma história cronológica dos símbolos
convencionais.
A álgebra grega, antes de Diophantus de Alexandria (200−284), foi
essencialmente retórica. Foram oferecidas várias explicações pelas quais os gregos
eram incoerentes em criar simbolismo. Uma das teorias mais atuais é que as
letras do alfabeto grego representaram números e que o uso das mesmas para
20
designar quantidades gerais teria obviamente causado confusão. É registrado
que Diophantus aproveitou-se do fato de que em grego o som ς (sigma) tem duas
formas de escrita, σ e ς: σ designou 60, mas o ς não tinha valor numérico, e é por
esta razão que Diophantus o escolheu para simbolizar o desconhecido.
Na verdade é mais provável que o símbolo diofantino para o
desconhecido seja uma sincopação da primeira sílaba da palavra grega arithmos
(número), nome pelo qual ele designou o desconhecido de um problema. Além disso,
a teoria parece ignorar o fato de que só as letras minúsculas do alfabeto grego eram
usadas como numerais. Os gregos tinham a sua disposição as letras maiúsculas para
fazerem uso como símbolos e o fizeram.
Esses símbolos foram usados meramente como etiquetas para designar
pontos diferentes ou elementos de uma configuração geométrica, e nunca num
sentido operacional. Tais símbolos são usados, atualmente, para identificar vários
pontos de uma figura geométrica, e disto devemos lembrar que herdamos esse
costume dos gregos.
Essa teoria parece pouco provável, pois o pensamento grego era
essencialmente não-algébrico, uma vez que concreto. As operações abstratas da álgebra
que tratam dos objetos foram tiradas de propósito do seu conteúdo físico; não
poderiam ocorrer às mentes que estavam intensamente interessadas pelos próprios
objetos. O símbolo não é uma mera formalidade; é mesmo a essência da
álgebra. Sem o símbolo, o objeto é uma percepção humana e reflete todas as fases
que os sentidos humanos adquirem; substituído por um símbolo, o objeto torna-se
uma abstração completa, um mero operando sujeito a certas operações indicadas.
O pensamento grego estava só começando a emergir do estado de
plástico, quando começou o período de decadência. Nesses dias de decadência da
cultura Helênica, dois matemáticos se destacaram. Ambos viveram no século III d.C.,
provenientes de Alexandria, semearam as sementes de novas teorias, extremamente
avançadas para serem absorvidas por seus contemporâneos, mas destinadas a
influenciar em ciências importantes muitos séculos mais tarde. O “porisms” de
Pappus de Alexandria (∼290−∼350) antecipou a geometria projetiva, os problemas
de Diophantus prepararam o terreno para a moderna teoria das equações.
21
Diophantus foi o primeiro matemático grego que reconheceu as
frações como números. Ele também foi o primeiro a lidar sistematicamente não só
com as equações simples, mas também com as quadráticas e com as equações de
ordem superior. Apesar do seu simbolismo ineficaz, da deselegância dos seus
métodos, ele deve ser considerado o precursor da álgebra moderna.
Os hindus podem ter herdado alguns dos fatos expostos da ciência
grega, mas não a perspicácia crítica grega. Não se sentiram constrangidos pela
falta de rigor, não tiveram sofistas para paralisar o vôo de suas imaginações
criativas. Eles lidaram com número e relação, zero e infinito, como com
palavras: por exemplo, o mesmo sunya, que representava o nulo e
eventualmente tornou-se nosso zero, também fora usado para designar o
desconhecido.
Todavia o formalismo ingênuo dos hindus fez mais para desenvolver a
álgebra que o rigor crítico dos gregos. Deles foi, por excelência, a álgebra
sincopada. Os símbolos foram meramente as primeiras sílabas das palavras que
designavam os objetos ou operações. Eles tiveram símbolos não só para as
operações e igualdades fundamentais, mas para os números negativos também.
Além disso, eles desenvolveram todas as regras para a transformação de
equações simples e quadráticas.
Os tipos de problemas com que eles lidaram eram bastante simples e
são realmente típicos daquela fase da álgebra. Citamos dois de Lilawati, um
tratado sobre teologia geral escrito no século XI:
De um conjunto de flores de puro lotus floresce um terço, um
quinto e um sexto foram ofertados, respectivamente, aos deuses
Siva, Vishnu, e o Sol; um quarto foi presenteado a Bhavani. As
seis flores restantes foram dadas ao venerável preceptor. Diga-me
rapidamente o número inteiro de flores. . . .
Um colar foi quebrado durante uma luta amorosa. Um terço das
pérolas caíram no chão, um quinto ficou no sofá, um sexto foi
encontrado pela menina, e um décimo pelo seu amante; seis
pérolas permaneceram no fio. Diga de quantas pérolas o colar era
composto. (DANTIZIG, 1962, p.81-82.)
A matemática hindu teve pouca influência direta na Europa.
Quase não há dúvida de que os árabes receberam suas aritmética e álgebra dos
22
representantes do conhecimento, os Brahmins (indivíduos com nível elevado de
conhecimento do Sanskrit), que foram amplamente contratados nas cortes dos
iluminados califas dos séculos IX e X. A civilização muçulmana daquele período
era a mistura de duas culturas: a oriental e a helênica. Um grande número de
Sanskrit (escrito que abrange uma tradição rica da poesia e do drama, como também
textos científicos, técnicos, filosóficos e religiosos) e de clássicos gregos da
literatura, ciência e filosofia foram traduzidos para o árabe e avidamente estudados
pelos savants árabes (pessoas instruídas, bem versáteis na literatura ou na ciência
assim como nas artes finas, freqüentemente com uma habilidade excepcional em um
campo especializado da aprendizagem). Muitas dessas traduções foram preservadas e
são agora uma fonte fértil de informações históricas. Devemos nos lembrar nesta
conexão que a biblioteca mais rica da antigüidade helênica, a de Alexandria, fora
duas vezes saqueada ou destruída: primeiro por vândalos cristãos no século IV, e por
fanáticos muçulmanos no VII. Como resultado dessa destruição, desapareceu
um grande número de manuscritos antigos que teria sido perdido
completamente para posteridade se não fosse por suas traduções em árabe.
Era dito freqüentemente que o destino histórico dos árabes fora agir
como guardas da cultura helênica durante estes anos de transição. Além disso,
também enriqueceram esse tesouro cultural por meio de brilhantes contribuições
próprias. Podemos mencionar entre os numerosos matemáticos de primeira
categoria do período o nome de um homem cuja fama é familiar a toda pessoa
culta: Omar Khayyám (1048−1131). Autor do Rubaiyat, Omar Khayyám era o
astrônomo oficial da corte do califa. Embora Rubaiyat tenha sido escrito em
língua persa, Omar escreveu uma álgebra árabe na qual ele utilizou do seu
conhecimento de geometria grega e álgebra hindu para resolver equações
cúbicas e quárticas. Ele pode ser considerado como aquele que deu origem aos
métodos gráficos. Além disso, há indicações que ele se antecipou a Isaac
Newton (1643−1727) na descoberta da fórmula binomial.
Mas, apesar de tudo isso, os árabes não avançaram nem um iota em
notação simbólica. É um dos fenômenos mais estranhos na história da matemática
que os árabes, adotando álgebra hindu, não retiveram o seu pitoresco simbolismo
sincopado. Exatamente o contrário; eles regrediram à álgebra retórica dos
23
gregos e, durante algum tempo, eles até eliminaram os símbolos numéricos
dos seus tratados de álgebra, preferindo escrever números por extenso. Foi
isto que impeliu os árabes à reivindicação de herdeiros intelectuais dos Helenos
ao ponto de recusar reconhecer a dívida que eles tinham com o Brahmins?
Enquanto a cultura muçulmana estava atingindo o ápice, a Europa
ainda estava em sono profundo. Um magnífico retrato escrito dessas idades obscuras
e dos séculos de transição que seguiram foi escrito pelo matemático Karl Gustav
Jacob Jacobi (1804−1851) em seu discurso sobre René Descartes (1596−1650):
A História conheceu uma meia-noite que podemos estimar,
aproximadamente, no ano 1000 d.C., quando a raça humana
perdeu as artes e as ciências até mesmo da memória. O último
crepúsculo de paganismo tinha ido, e ainda o dia novo não tinha
começado. Tudo que foi remanescente de cultura no mundo foi
encontrado somente com os Saracens, e um Papa ansioso para
aprender estudou disfarçado em suas universidades, e assim
tornou-se a admiração do Ocidente. Finalmente o Cristianismo,
cansado de rezar para os restos mortais dos mártires, reuniu-se à
tumba do Salvador, somente para encontrar uma segunda vez que a
sepultura estava vazia e que Cristo tinha levantado dos mortos.
Então a humanidade também levantou-se dos mortos. Retornouse às atividades e à vida; houve um restabelecimento fervoroso
nas artes e nos artesanatos. As cidades floresceram e novas foram
fundadas. Cimabue redescobriu a extinta arte de pintar; Dante, a
poesia. Naquela época, também, grandes espíritos corajosos
como Abelard e São Thomas de Aquino ousaram introduzir no
catolicismo os conceitos da lógica de Aristóteles, fundando
assim a filosofia escolástica. Mas quando a Igreja conduziu as
ciências sob suas asas, exigiu que as formas das quais as ciências
desenvolveram estivessem sujeitas à mesma fé incondicional na
autoridade como eram as suas próprias leis. E assim aconteceu que
o escolasticismo, longe de livrar o espírito humano, prendeu-o
durante muitos séculos, até que a mesma possibilidade de pesquisa
científica livre veio a ser duvidada. Por fim, a aurora do dia se
mostrou aqui, e o gênero humano, confiante, determinado a tirar
proveito de seus próprios talentos e de criar o conhecimento da
natureza baseado no pensamento independente. O amanhecer
deste dia na história é conhecido como o Renascimento ou a
Revivificação do Saber. (DANTZIG, 1962, p.83-84.)
Agora, a aquisição da cultura não foi certamente uma parte do
programa das Cruzadas. A reconquista da Península Ibérica pelos cristãos, em
primeiro lugar, foi, exatamente, o que as Cruzadas realizaram. Durante três
séculos os poderes cristãos tentaram, por meio da espada, impor a sua “cultura”
24
sobre os muçulmanos. Mas o resultado foi que a cultura superior dos árabes,
ainda de forma lenta, certamente penetrou na Europa. Os árabes da Espanha e
os árabes do Oriente Médio foram, em grande parte, responsáveis pelo
restabelecimento dos estudos europeus.
O restabelecimento dos estudos começou na Espanha e, o século XII,
foi decisivo. O primeiro trabalho notável em matemática foi feito por Leonardo
Pisano Fibonacci (1170−1250), um homem de habilidade extraordinária cuja
perspicácia e previsão estavam além do século XIII no qual ele viveu. Comerciante
por vocação, ele tinha viajado consideravelmente pelo Oriente Médio e absorveu o
conhecimento árabe do período; mas também estava familiarizado com a literatura
matemática grega. As suas contribuições para aritmética, álgebra, e geometria
formaram a rica fonte da matemática italiana durante os próximos três séculos.
O momento decisivo na história da álgebra foi um ensaio escrito no
final do século XVI pelo francês François Viète (1540−1603) que escreveu sob o
nome latino de Franciscus Viète.
Atualmente, sua grande realização parece muito simples. Está
resumida na seguinte passagem de seu trabalho In artem analyticum isagoge,
publicado em 1592, o mais antigo sobre álgebra simbólica:
Nisto somos ajudados por um artifício que nos permite distinguir
valores dados daqueles que são desconhecidos ou procurados, e
isto por meio de um simbolismo que é permanente na natureza e
claro para entender, por exemplo, denotando os valores
desconhecidos por A ou qualquer outra vogal, enquanto os valores
determinados são designados por B, C, G ou outras consoantes.
(DANTZIG, 1962, p.85.)
Essa notação vogal-consoante teve uma curta existência. Num período
de meio século, após a morte de Viète, apareceu a Géomètrie de Descartes
(1596−1650) em que as primeiras letras do alfabeto foram usadas para quantidades
conhecidas, as últimas para aquelas desconhecidas. A notação cartesiana não só
deslocou a vieteana, mas sobreviveu até hoje.
Embora poucas das propostas de Viète fossem postas em prática
literalmente, elas certamente foram adotadas em espírito. O uso sistemático de letras
para magnitudes indeterminadas, mas constantes, a “Logística Speciosa” (álgebra
25
simbólica) como ele chamou, que teve um papel dominante no desenvolvimento das
matemáticas, foi a grande realização de Viète.
A mente leiga pode achar difícil calcular a realização de Viète em seu
verdadeiro valor. A notação literal não é afinal de contas uma mera
formalidade, uma taquigrafia convenientemente melhor? Não há dúvida da
economia em escrever
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
mas realmente carrega mais a mente que a forma verbal da mesma identidade: o
quadrado da soma de dois números é igual a soma dos quadrados dos números,
aumentada por duas vezes o produto deles.
Novamente, a notação literal teve o destino de todas as inovações
muito bem sucedidas. É difícil imaginar o uso universal dessas notações em um
tempo que métodos inferiores estavam em voga. Hoje fórmulas em que letras
representam magnitudes gerais são quase tão familiares quanto um texto
comum, e nossa habilidade de lidar com símbolos é considerada por muitos
quase como um dom natural de qualquer homem inteligente; mas só é natural
porque se tornou um hábito tenaz de nossas culturas. Nos dias de Viète tal
notação constituiu uma ruptura radical com as tradições estabelecidas. Realmente,
como é possível chamar de natural um dispositivo que passou completamente
despercebido do grande Diophantus e seus perspicazes sucessores árabes, e
mesmo o engenhoso Fibonacci que esteve bem próximo de tal artifício,
deixou-o passar!
Existe uma analogia extraordinária entre a história da álgebra e da
aritmética. Assim como na aritmética a humanidade sofreu por milhares de anos com
uma numeração inadequada por falta de um símbolo para o zero, na álgebra, a
ausência de uma notação comum a reduziu em uma coleção casual de regras para a
solução de equações numéricas. Exatamente como a descoberta do zero criou a
aritmética de hoje, também a notação apropriada disponibilizou uma nova era
na história da álgebra.
Em que se firma o poder desse simbolismo?
Em primeiro lugar, as letras libertaram a álgebra da escravidão das
palavras. Com isto não se pretende dizer que, sem a notação literal, qualquer
26
declaração geral se tornaria somente um mero fluxo de verbosidade, sujeito a todas
as ambigüidades e equívocos de fala humana. Isto é bastante importante; mas o
que ainda é mais extraordinário é que as letras estão livres dos tabus que
prenderam a palavras por séculos de uso. A arithmos de Diophantus, o res de
Fibonacci, eram noções preconcebidas: eles representaram todos os números
inteiros. Mas o A de Viète ou o nosso presente x tem uma essência que independe
do objeto concreto que ele supostamente representa. O símbolo tem um
significado que transcende o objeto simbolizado: isso porque não é uma
mera formalidade.
Em segundo lugar, as letras são suscetíveis de operações que
permitem transformar expressões literais e assim parafrasear qualquer proposição em
várias formas equivalentes. É este poder de transformação que eleva a álgebra
acima do nível f de uma taquigrafia conveniente.
Antes da introdução da notação literal, só era possível falar de
expressões individuais; cada expressão, como 2 x + 3 ; 3 x − 5 ;
x 2 + 4x + 7 ;
3 x 8 − 4 x + 5 , teve uma individualidade própria e precisou ser controlada em seus
próprios méritos. A notação literal tornou possível passar do individual para o
coletivo, do “alguns” para o “qualquer” e o “todo”. A forma linear ax + b , a
forma quadrática ax 2 + bx + c , cada uma dessas formas é considerada agora como
uma espécie única. É isto que tornou possível a teoria geral de funções que são
a base de toda a matemática aplicada.
Porém, a contribuição mais importante da logística speciosa, e a parte
que mais nos interessa neste trabalho, é o papel que teve a formação do conceito de
número generalizado.
Desde que se trabalhe com equações numéricas, como
(I)
x+4=6
2x = 8
x2 = 9
(II)
x+6=4
2x = 5
x2 = 7,
alguém pode satisfazer-se (como fez a maioria dos algebristas medievais) com a
afirmação de que o primeiro grupo de equações é possível, enquanto o segundo é
impossível.
Mas quando se considera as equações literais dos mesmos tipos:
27
x+b=a
bx = a
xn = a
a mesma indeterminação dos dados compele a alguém dar uma indicação ou solução
simbólica para o problema:
x=a–b
x = a/ b
x=na
Em vão, depois disto, alguém estipulará que a expressão a – b só tem
um significado se a é maior que b, que
múltiplo de b, e que
n
a
é sem significado quando a não é um
b
a não é um número a menos que a seja uma enésima potência
perfeita. O próprio ato de escrever o desconhecido gerou um sentido; e não é fácil
negar a existência de algo que recebeu um nome. É importante salientarmos a
diferença entre significado e sentido. Significado é a relação do signo com o objeto,
enquanto sentido é a relação entre signos.
Além disso, com a ressalva de que a > b , que a é um múltiplo de b,
que a é uma enésima raiz perfeita a, são inventadas regras para operar com tais
símbolos como a – b;
a
;
b
n
a . Mas, mais cedo ou mais tarde, o mesmo fato de não
existir nada a respeito desses símbolos para indicar se o ato é legítimo ou ilegítimo
sugere que não há contradição envolvida em operar com esses símbolos como se fossem
números bona fide. E daí falta só um passo para reconhecer esses símbolos como
sendo números de fato.
Assim é contada a história da primeira álgebra, ou mais precisamente
aquela parte que conduziu até o conceito geral de número. Agora, vamos abandonar
a rota histórica, por duas razões. Em primeiro lugar, porque o desenvolvimento da
matemática depois dos dias de Viète foi tão rápida que a exposição sistemática iria
muito além do âmbito deste trabalho. Além disso, o fundamento da ciência de
28
número foi pouco influenciado por esse desenvolvimento, enquanto o progresso foi
limitado somente para a técnica.
O que distingue a aritmética moderna do período de Viète é a
mudança de atitude frente ao “impossível”. Até o século XVII, os algebristas
entenderam esse termo num sentido absoluto. Comprometidos a ter números
naturais como o campo exclusivo para todas as operações aritméticas, eles
consideraram
possibilidade,
ou
possibilidade
restringida,
como
uma
propriedade intrínseca dessas operações.
Desse modo, as operações diretas de aritmética − adição (a + b ) ,
( )
multiplicação (a ⋅ b ) , potenciação a b − são omnipossible; enquanto as operações
⎛a⎞
inversas − subtração (a − b ) , divisão ⎜ ⎟ , extração de raízes
⎝b⎠
b
a , − só eram
possíveis de acordo com as condições restritas. Os algebristas pré-Viète estavam
satisfeitos em afirmar estes fatos, portanto, foram incapazes de uma análise mais
íntima do problema.
Hoje sabemos que aquela possibilidade e impossibilidade têm o
mesmo significado relativo; não é nenhuma propriedade intrínseca da operação, mas
meramente uma restrição que a tradição humana impôs no campo dos operandos.
Removendo essa barreira, o campo se abre e o impossível fica possível.
As operações diretas da aritmética são omnipossible porque são nada
mais que uma sucessão de iterações, passo por passo na sucessão de números
naturais que é assumida, a priori, ilimitada. Derrubada essa suposição, restringindo o
campo de operação a uma coleção finita (digamos para os 1.000 primeiros números),
operações como 925 + 125, ou 67 × 15 tornam-se impossíveis e as expressões
correspondentes sem sentido.
Ou, vamos assumir que o campo está restrito somente aos números
ímpares. Multiplicação ainda é sempre possível, pois o produto de qualquer dois
números ímpares é ímpar. Porém, em um campo tão restrito, uma adição é uma
operação completamente impossível, porque a soma de qualquer dois números ímpares
nunca é um número ímpar.
Ainda, novamente, se o campo fosse restrito aos números primos, a
multiplicação seria impossível pela simples razão que o produto de dois primos
29
nunca é um primo; entretanto a adição só seria possível em casos raros como quando
um dos termos é 2, o outro sendo o menor que um par de primo-gêmeo, como 2 + 11
= 13.
Outros exemplos poderiam ser aduzidos, mas mesmo esses poucos
bastarão para destacar a natureza relativa das palavras possível, impossível, e sem
sentido. Uma vez que a relatividade é reconhecida, é natural indagarmos se, com uma
extensão apropriada do campo restrito, as operações inversas da aritmética não podem
ser tornadas omnipossible assim como são diretas.
Em relação à subtração, por exemplo, é suficiente juntar à sucessão
dos números naturais o número zero e os inteiros negativos. O campo assim criado é
chamado o campo dos inteiros.
Semelhantemente, a junção das frações positivas e negativas a este
campo dos inteiros tornará omnipossible a divisão.
Os números assim criados − os inteiros, as frações positivas e
negativas e o número zero − constituem o domínio racional. Substitui o domínio
natural da aritmética do inteiro. As quatro operações fundamentais que antes só se
aplicavam aos inteiros estão agora, por analogia, estendidas a esses números
generalizados.
Tudo isso pode ser realizado sem uma contradição. E, o que é mais,
com uma única restrição que levaremos agora, a soma, a diferença, o produto, e o
quociente de qualquer dois números racionais são sempre números racionais. Esse
fato muito importante é parafraseado freqüentemente na afirmação: o domínio racional
é fechado com respeito às operações fundamentais da aritmética.
A única restrição, mas muito importante, é a divisão por zero. Isto é
equivalente à solução da equação x⋅ 0 = a. Se a não é zero, a equação é impossível,
porque fomos compelidos, em definindo o número zero, admitir a identidade
x⋅ 0 = 0. Não existe nenhum número racional que satisfaça a equação x⋅ 0 = a.
Pelo contrário, a equação x⋅ 0 = 0 é satisfeita para qualquer valor
racional de x. Por conseguinte, x é aqui uma quantidade indeterminada. A menos que
o problema que conduziu a tais equações forneça alguma informação adicional,
30
temos que considerar
0
a
como o símbolo de qualquer número racional, e
como o
0
0
símbolo de nenhum número racional.
Elaboradas essas considerações, elas mesmas reduziram-se, em termos
simbólicos, à seguinte afirmação concisa: se a, b, e c forem números racionais, e a
diferente de zero, então existe sempre um e somente um número racional x, que
satisfará a equação ax + b = c.
Essa equação é chamada linear, e é o tipo mais simples em uma
grande variedade de equações. Próximo à equação linear vem a quadrática, então a
cúbica, a quártica, a quíntica, e equações geralmente algébricas de qualquer grau, o
grau n que significa a potência mais alta do desconhecido x em
axn + bxn−1 + cxn−2 + ... + px + q = 0.
Mas mesmo esses não esgotam a variedade infinita de equações;
exponencial, trigonométrica, logarítmica, circular, elíptica, etc. constituindo ainda
uma vasta variedade, classificada normalmente sob o termo transcendental.
O domínio racional é adequado para lidar com essa variedade infinita?
É possível vermos que esse não é enfaticamente o caso. Temos que nos antecipar a
uma extensão de domínio de número para maior complexidade. Mas essa extensão não é
arbitrária; há oculta no mesmo mecanismo do esquema de generalização uma idéia
guiando e unificando.
Essa idéia às vezes é chamada o princípio da permanência. Ela foi
formulada explicitamente pelo matemático alemão Hermann Hankel (1839−1873),
em 1867, mas o germe da idéia já estava contido nas escritas de Sir William Rowan
Hamilton (1805−1865), uma das mentes mais originais e frutíferas do século XIX.
Esse princípio é formulado como uma definição:
Uma coleção de infinitos números será chamada um corpo de número,
e cada elemento individual um número, se as seguintes condições são verificadas:
Primeira: Se entre os elementos da coleção pudermos identificar uma
sucessão de números naturais.
Segunda: Se pudermos estabelecer critérios de ordem que nos
permitirão dizer se dois elementos quaisquer são iguais ou não, qual é maior;
reduzindo estes critérios aos números naturais são entendidos num sentido natural.
31
Terceira: Se para qualquer dois elementos da coleção pudermos
inventar um esquema de adição e multiplicação que tenham as propriedades
comutativa, associativa e distributiva das operações naturais que admitem estas
propriedades, e que reduzirá a estas operações naturais quando os dois elementos
forem números naturais.
Essas considerações muito gerais deixam em aberto a pergunta de
como o princípio da permanência opera em casos especiais. Hamilton apontou o
modo por um método que ele chamou emparelhamento algébrico. Nós ilustraremos
isto nos números racionais.
Se a é um múltiplo de b, então o símbolo b indica a operação de
divisão de a por b. Assim
9
= 3 significa que o quociente da divisão indicada é 3.
3
Agora, dadas duas operações, há um modo de determinar se os resultados são iguais,
maiores, ou menores, sem executar as operações de fato? Sim, temos o seguinte
⎧a c
⎪ b = d se ad = bc
⎪
⎪a c
Critério de Ordem ⎨ > se ad > bc
⎪b d
⎪a c
⎪ b < d se ad < bc
⎩
E podemos ir até mesmo mais adiante que isto: sem executar as
operações indicadas, podemos inventar regras para manipular estas quantidades
dadas:
Adição :
a c ad + bc
+ =
b d
bd
Multiplicação :
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Agora não estipularemos mais que a seja um múltiplo de b. Vamos
considerar b como o símbolo de um novo corpo de entes matemáticos. Esses entes
simbólicos dependem de dois inteiros a e b escritos em ordem adequada. Devemos
impor nessa coleção de pares os critérios de ordem mencionados acima, isto é, devemos
alegar que, por exemplo:
32
20 16
=
porque 20 × 12 = 15 × 16
15 12
4 5
>
porque 4 × 4 > 3 × 5
3 4
Definiremos as operações nesses pares conforme as regras que, como
mostramos acima, são verdadeiras para o caso quando a é um múltiplo de b, e c é um
múltiplo de d, isto é, diremos por exemplo:
2 4 (2 × 5) + (3 × 4 ) 22
=
+ =
(5 × 3)
3 5
15
2 4 2× 4 8
=
× =
3 5 3 × 5 15
Satisfizemos agora todas as estipulações do princípio da permanência:
1) O novo corpo contém os números naturais como um sub-corpo,
porque podemos escrever qualquer número natural na forma de um par:
1 2 3 4
, , , ,....
1 1 1 1
2) O novo corpo possui critérios de ordem para os quais reduzem os
critérios naturais quando
a c
e
são números naturais.
b d
3) No novo corpo foram introduzidas duas operações que têm todas as
propriedades de adição e multiplicação para as quais elas se reduzem quando
a c
e
b d
são números naturais.
E assim esses novos entes satisfazem todas as estipulações do princípio.
Eles provaram seu direito de serem juntados aos números naturais, o seu direito a ser
investido com a dignidade do nome número. Eles estão com isso admitidos, e o
corpo de números que inclui velho e novo é batizado o domínio dos números
racionais.
Parecia à primeira vista que o princípio da permanência permitia uma
liberdade muito grande na escolha de operações para deixar um grande número de
33
postulados genéricos demais para ter um valor prático. Porém, as estipulações que a
sucessão natural deveria ser uma parte do corpo, e que operações fundamentais
deveriam ser comutativa, associativa e distributiva (como são as operações naturais)
impunham restrições que, como veremos, só corpos muito especiais podem obedecer.
A posição da aritmética, como formulada no princípio da
permanência, pode ser comparada à política de um Estado disposto à expansão, mas
ambicioso para perpetuar às leis fundamentais nas quais cresceu forte. Esses dois
objetivos diferentes − expansão por um lado, preservação de uniformidade por outro
− naturalmente influenciarão as regras para admissão de novos Estados para a União.
Assim, o primeiro ponto no princípio da permanência corresponde ao
pronunciamento que o Estado de núcleo fixará o tom da União. Logo, o Estado
original, sendo uma oligarquia na qual todo cidadão tem uma ordem, impõe essa
exigência nos novos Estados. Essa exigência corresponde ao segundo ponto do
princípio da permanência.
Finalmente, estipula que as leis de entrosamento entre os cidadãos de
cada Estado individual admitidos à União serão de um tipo que permitirá relações
desimpedidas entre cidadãos daquele Estado e esses do Estado de núcleo.
Essa é uma analogia para que invoquemos as associações mentais de
um campo mais familiar, de forma que o princípio da permanência possa perder sua
aparência de artificialidade.
As considerações que conduziram à construção do domínio racional
foram os primeiros passos em um processo histórico chamado aritmetização da
matemática. Esse movimento começa com Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
(1815−1897) nos anos sessenta do século XIX, e teve por objeto a separação de
conceitos puramente matemáticos, como número, correspondência e agregado, das
idéias intuitivas que matemática tinha adquirido da longa associação com a geometria e
a mecânica.
Essas últimas, na opinião dos formalistas, estão firmemente
fortificadas nos pensamentos matemáticos que, apesar da discrição mais cuidadosa
na escolha de palavras, o significado oculto atrás dessas palavras pode influenciar
nosso raciocínio.
34
Mas como podemos evitar o uso da linguagem humana? A resposta é
encontrada na palavra “símbolo”. Somente usando uma língua simbólica ainda não
usurpada pelas idéias vagas de espaço, tempo, continuidade que tem sua origem na
intuição e tende a obscurecer a razão pura − somente assim poderemos esperar
construir a matemática na fundamentação sólida da lógica.
Tal é a plataforma dessa escola, uma escola que foi fundada pelo
italiano Giuseppe Peano (1858−1932) e da qual os representantes mais modernos são
Alfred North Whitehead (1861−1947) e Bertrand Arthur William Russell
(1872−1970). No trabalho fundamental desses dois últimos, a Principia
Mathematica,
esforçaram-se
para
reconstruir
toda
fundamentação
da
matemática moderna, começando com suposições bem definidas, fundamentais
e procedendo em princípios da lógica rígida. O uso de um simbolismo preciso
não deveria deixar nenhum espaço para as ambigüidades que são inseparáveis da
linguagem humana.
A Principia permanecerá por muito tempo como monumento do
trabalho duro e de excelentes intenções. Seus autores tiveram sucesso construindo
uma estrutura criada na razão pura e imaculada pela intuição humana? A história
atual em torno dos matemáticos mostra que não existem mais que duas pessoas
que leram a Principia do início ao fim.
A tremenda importância desse simbolismo encontra-se não nas
tentativas estéreis de banir a intuição do reino do pensamento humano, mas em seu
poder ilimitado de ajudar a intuição a criar novas formas de pensamento.
Para reconhecer isso, não é necessário dominar o simbolismo técnico
complicado da matemática moderna. É suficiente contemplar o mais simples,
contudo muito mais sutil, o simbolismo da língua. Na medida em que nossa língua é
capaz de afirmações precisas, é, portanto, um sistema de símbolos, uma álgebra
retórica por excelência. Substantivos e frases são, entretanto, símbolos de classes
de objetos, verbos simbolizam relações, e orações são, entretanto, proposições
que conectam essas classes. Ainda, enquanto a palavra for o símbolo abstrato de
uma classe, também tem a capacidade de evocar uma imagem, um retrato
concreto de algum elemento representativo da classe. Nessa função dual de nossa
35
língua deveríamos buscar os germes do conflito que mais tarde surgem entre
lógica e intuição.
E o que é geralmente verdadeiro das palavras é particularmente
verdadeiro das palavras que representam os números naturais. Porque eles têm o
poder para evocar em nossa mente imagens de coleções concretas, eles nos parecem
tão arraigados em realidade firme como sendo dotados de uma natureza absoluta.
Contudo no sentido em que são usados na aritmética, são, entretanto, um jogo
de símbolos abstratos sujeito a um sistema de regras operacionais.
Uma vez que reconhecemos esta natureza simbólica dos números
naturais, eles perdem seu caráter absoluto. Sua afinidade intrínseca com o
domínio mais amplo de que é o núcleo torna-se evidente. Ao mesmo tempo as
extensões sucessivas do conceito de número tornam-se passos em um processo
inevitável de evolução natural, em vez da prestidigitação artificial e arbitrária que
eles parecem no princípio.
36
CAPÍTULO 2
AS EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU, DO TERCEIRO GRAU E AS
QUANTIDADES IMPOSSÍVEIS OU IMAGINÁRIAS
O conceito de número é fundamental em Matemática. Seu estudo é um
marco do próprio início da aprendizagem escolar e o seu significado desenvolve-se,
de forma satisfatória, por meio de um percurso particularmente extenso na formação
acadêmica do aluno. O resultado desse processo de aprendizagem deverá cativar
significativa parte dos alunos e percorrerá desde o Ensino Básico até o Ensino
Superior. Nesse percurso educativo, surgem, de “forma natural”, os números
imaginários: usualmente, como uma questão de generalização do conceito de
número, para além dos números reais. Com essa extensão, conservam-se as
propriedades operatórias dos números reais e expande-se o conceito de número, de
forma que qualquer equação do segundo grau com coeficientes reais é possível,
independentemente do valor do binômio discriminante.
Nesse capítulo, buscaremos verificar a importância da prática
algébrica, por meio de trabalhos com as equações do segundo e do terceiro graus
que possibilitaram a descoberta de alguns casos insolúveis e, a partir desses, o
reaparecimento das quantidades impossíveis ou imaginárias.
Atualmente, a maioria dos livros didáticos introduz os conhecidos
números complexos (termo introduzido por Gauss em 1832) como meio de resolver
equações que não admitem apenas solução real.
Uma introdução típica é feita a partir da prática da aritmética das
equações de segundo grau, em particular, da seguinte forma:
A equação x2 + 1 = 0 não tem solução real porque não existe um
número real x que pode ser quadrado para produzir −1. Para
resolver tal equação, matemáticos criaram um sistema
expandido de números usando a unidade imaginária i, definida
como i = − 1 (NGO,V. & WATSON, 1998, 141).
Um estudante poderia perguntar: Em primeiro lugar, por que resolver
essa equação? E mais, quem se preocupa se ela tem uma solução? Essas perguntas
são legítimas. Alguém esperaria uma justificativa prática ou intuitiva para introduzir
uma nova idéia. Afinal de contas, há motivações intuitivas para introduzir outros
38
aspectos do nosso sistema de números. Os números naturais são usados para contar,
podem ser usados números negativos para descrever dívida, números racionais nos
ajudam a descrever conceitos naturais tais como um quarto de um litro de leite, e são
necessários os números irracionais para representar certas distâncias no plano. Por
outro lado, não há qualquer aplicação dos números complexos que serve para utilizálos em um nível introdutório. Além disso, até que os estudantes tenham um
conhecimento sofisticado o bastante para entender as aplicações dos números
complexos, a motivação para os mesmos é normalmente esquecida.
Usaremos a prática algébrica das equações do segundo grau
apresentando sua evolução desde o antigo Egito até a Europa, passando pelos
notáveis árabes, e a prática algébrica das equações do terceiro grau, durante o
Renascimento,
com
Girolamo
Cardano
(1501−1576)
e
Rafael
Bombelli
(1526−1572), para caracterizar o reaparecimento e o interesse por uma explicação
clara a respeito dos números imaginários.
A teoria das equações é uma das mais belas e relevantes páginas da
História da Matemática, em que é possível evidenciar a força criativa do espírito
humano. A primeira referência histórica que temos sobre equações encontra-se no
papiro de Rhind, que citamos no capítulo 1. Os egípcios utilizavam a álgebra
retórica, o que tornava a solução cansativa e complexa das equações. Já os gregos
resolviam equações por meio da geometria. Na obra Stoichia (Os Elementos, 300
a.C.), de Euclides de Alexandria (360 a.C.−295 a.C.), encontramos soluções
geométricas de equações do segundo grau.
Mas, sem dúvida, foram os árabes que promoveram o grande
desenvolvimento no estudo e resolução de equações. Dentre os árabes, destacamos o
trabalho de Al Khwarizmi (780−850) que, no século IX, resolveu e discutiu vários
tipos de equações. É considerado o matemático árabe de maior expressão do século
IX, merecendo ser chamado “o pai da álgebra”.
AS EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Atualmente, a resolução de uma equação do segundo grau nos parece
bem simples. Ao ensiná-la, geralmente limitamo-nos a mostrar que a conhecida
39
fórmula para a obtenção das soluções de ax 2 + bx + c = 0 , com a ≠ 0, denominada na
maioria dos livros didáticos do Brasil de “fórmula de Bhaskara”,
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
pode ser obtida pelo processo bem conhecido de “completar quadrados”.
O hábito de imputar o nome de Bhaskara à fórmula de resolução da
equação do segundo grau foi estabelecido no Brasil por volta de 1960. Esse costume,
aparentemente brasileiro (pois não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois:
1) Problemas que recaiam em uma equação do segundo grau já
apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos Babilônios. Esses
textos continham formas de receitas escritas em prosa e sem uso de símbolos que
ensinavam como proceder para a determinação das raízes de equações do segundo
grau obtidas a partir de exemplos concretos;
2) Bhaskara (1114−1185) nasceu na Índia e foi um dos mais
importantes matemáticos do século XII. Em seu livro Lilavati (cuja tradução é
“Bela”), nome próprio de mulher, em que, provavelmente, teria feito um trocadilho
comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da
Aritmética, tornando-o conhecido entre as pessoas de pouco conhecimento
matemático e de História da Matemática, que estavam dispostas a aceitarem histórias
românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática. Escreveu dois
livros matematicamente importantes e, devido a eles, tornou-se o matemático mais
renomado de sua época. Esses livros são: o Siddhanta-siromani (Diadema de um
sistema astronômico) escrito em 1150, dedicado a assuntos astronômicos e dividido
em duas partes: a) Goladhyaya (Esfera Celeste) e b) Granaganita (Matemática dos
Planetas); Vijaganita, que trata sobre Álgebra. Bhaskara, por meio da álgebra
retórica, gastou maior parte desse livro mostrando como resolver equações e,
especificamente em relação às equações do segundo grau, apresentou mera cópia do
que já tinham escrito outros matemáticos;
3) Até o fim do século XVI, não era usada uma fórmula para obter as
raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam
40
por letras os coeficientes de uma equação. A Era das Fórmulas foi inaugurada com a
Logística Speciosa de François Viète, cerca de 1.600 d.C., quando foram iniciadas as
tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um dado
grau.
Este trabalho, além do cunho científico, tem objetivo didático e,
portanto, buscaremos apresentar pelo menos um procedimento usado por alguns
povos do passado ao trabalharem com as equações do segundo grau, interpretando
resultados sob a ótica moderna, ou seja, utilizando, muitas vezes, a álgebra
simbólica.
As Equações do Segundo Grau no Antigo Egito
Não são conhecidos documentos que provém que os antigos egípcios
tenham-se ocupado da resolução de equações do segundo grau, mas, no papiro de
Berlim, datado, aproximadamente, de 1.800 a.C., há dois problemas que dependem
da resolução de um sistema de duas equações, uma do primeiro grau e outra do
segundo grau. Vejamos um desses problemas:
Problema
É te dito ... a área de um quadrado de 100 [cúbitos quadrados] é igual à de dois quadrados
mais pequenos. O lado de um dos quadrados é 1/2 + 1/4 o lado do outro. Diz-me quais são os
lados dos dois quadrados desconhecidos.
Resolução:
Toma sempre o quadrado de lado 1. Então o lado do outro é 1/2 + 2/4.
Multiplica-os por 1/2 + 2/4. Dá 1/2 + 1/16, área do quadrado pequeno. Depois juntos estes
quadrados têm uma área de 1 + 1/2 + 1/16.
Tira a raiz quadrada de 1 + 1/2 + 1/16. Que é 1 + 1/4.
Tira a raiz quadrada de 100 cúbitos. Que é 10.
Divide estes 10 por 1 + 1/4. Dá 8, o lado de um quadrado.
Calcula 1/2 + 1/4 de 8. Dá 6, o lado do outro quadrado.
(GILLINGS, 1982)
Em linguagem atual, significa resolver o seguinte problema:
A área de um quadrado é 100 e tal quadrado é igual à soma de dois quadrados
menores, em que o lado de um é igual a
3
do lado do outro. Determine o lado dos
4
dois quadrados menores.
41
Transformando em linguagem simbólica, temos:
⎧ x 2 + y 2 = 100
⎨
⎩4 x = 3 y
A resolução egípcia é feita por um método que mais tarde foi chamado
regra da falsa posição. Observe-se que a segunda equação é satisfeita por x = 3 e
y = 4. Substituindo x e y por estes valores, na primeira equação obtém-se
x 2 + y 2 = 3 2 + 4 2 = 25 . Assim, para obter a soma 100, bastaria multiplicar ambos os
membros por 4, isto é, bastaria fazer x = 2.3 = 6 e y = 2.4 = 8; então resulta
x 2 + y 2 = 36 + 64 = 100 e 4 x = 24 = 3 y .
O nome regra da falsa posição motivou alguns a pedir desculpas por
um nome tão estranho numa ciência cuja função é procurar a verdade. Assim,
Humphrey Baker (1557–1574) escreveu (1568):
A regra de falsidade é assim chamada, não porque ela ensine
qualquer fraude ou falsidade, mas porque, por meio de números
tomados à sorte, ensina a encontrar o número verdadeiro que é
pedido. (BAKER, apud SMITH, 1925, p.441.)
Equações do Segundo Grau na Antiga Babilônia
Carl Benjamin Boyer (2005, p.21) traz que
A solução de uma equação quadrática com três termos parece
ter sido demasiado difícil para os egípcios, mas Otto
Neugebauer (1899−1990), em 1930, revelou que tais equações
tinham sido tratadas eficientemente pelos babilônios em alguns
dos mais antigos textos de problemas. Por exemplo, num desses
problemas pede-se o lado de um quadrado, em que a área
menos o lado é igual a 14;30.
Note-se que os Babilônios usavam uma combinação da base 60 com a base 10, para a
escrita dos números. Assim, 14;30 significava para eles 14 × 601 + 30 × 600 = 870 e,
conseqüentemente, na linguagem simbólica atual se designarmos por x o lado do
quadrado, a resolução do problema considerado é equivalente à resolução da equação
x 2 − x = 870 (ou, mais precisamente, a procurar uma raiz positiva dessa equação.
42
A equação x 2 − px = q , com p e q positivos, tem uma raiz positiva,
dada por
2
p
⎛ p⎞
x= ⎜ ⎟ +q + .
2
⎝2⎠
Os babilônios não dispunham dessa fórmula algébrica, mas o processo
que seguiam é inteiramente equivalente a aplicá-la. Com efeito, a solução registrada
no tablete é a seguinte:
Tome a unidade: 1
Divida a unidade em duas partes: 0;30 → 0;30 significa 1/2
Cruze (multiplique) 0;30 por 0;30: 0;15 (significa 0,25) → 1/2×1/2 = 1/4
Some 0;15 a 14;30, para obter 14;30;15 → 14;30;15 = 870 + 1/4 = 870,25
Isto é o quadrado de 29;30 → 29;30 significa 29,5, ou (29 ,5)2 = 870 ,25
Some agora 0;30, que você multiplicou, com 29;30 e o resultado é 30, isto é, 1/2 +
59/2 = 30 que é o lado do quadrado.
É possível observarmos que fazer tal procedimento é exatamente o
mesmo que aplicar a fórmula. Mais uma vez, a formulação do problema pelos
babilônios mostra a completa ausência de simbolismo algébrico na sua matemática.
Se lembrarmos que essa transformação foi feita há perto de 4000 anos
(Neugebauer situa os textos cuneiformes referentes às equações quadráticas entre
1800 a.C. e 1600 a.C.), não podemos deixar de concluir que, na antiga Babilônia, a
Álgebra atingiu um nível surpreendentemente avançado.
Na verdade, cerca de 2000 anos antes da nossa era, os Babilônios
podiam resolver sistemas de equações da forma
⎧x + y = p
⎨
⎩x ⋅ y = q
o que equivale à resolução da equação do segundo grau
x 2 + q = px .
A orientação dos Babilônios para resolver o sistema
43
⎧x + y = p
⎨
⎩x ⋅ y = q
consistia no seguinte:
p x+ y
.
=
2
2
ƒ
Tomar a metade de p:
ƒ
⎛ p⎞ ⎛ x+ y⎞
Quadrar o resultado: ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ .
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
ƒ
⎛ x− y⎞
⎛ x+ y⎞
⎛ p⎞
Subtrair q do resultado obtido: ⎜ ⎟ − q = ⎜
⎟ .
⎟ − xy = ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
2
2
2
2
2
2
⎛ p⎞
⎛ x− y⎞
⎜ ⎟ −q =⎜
⎟.
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠
ƒ
Extrair a raiz quadrada do resultado obtido:
ƒ
p
x+ y x− y
⎛ p⎞
Somar ao resultado obtido a metade de p: + ⎜ ⎟ − q =
+
=x
2
2
2
⎝2⎠
2
O resultado obtido é um dos números desejados e o outro, y, é a
diferença entre p e x, isto é
p − x = (x + y) – x = y.
Notemos que os números procurados são
2
p + p 2 − 4q
p
⎛ p⎞
+ ⎜ ⎟ −q =
2
2
⎝2⎠
e
2
⎛p
⎞ p − p 2 − 4q
⎛ p⎞
⎜
p−
+ ⎜ ⎟ −q⎟ =
⎜2
⎟
2
⎝2⎠
⎝
⎠
o que está de acordo com as fórmulas que ainda hoje utilizamos para resolver a
equação
x 2 − px = q .
Os tipos indicados para as equações do segundo grau eram
necessários, porque os Babilônios não podiam trabalhar ainda com números
negativos, pois esses números não tinham ainda sido incluídos na sua aritmética.
Segundo Paul Karlson, em seu livro A Magia dos Números (cuja
tradução em língua portuguesa fora feita por Henrique Carlos Pfeifer, Eugênio Brito
e Frederico Porta, do original alemão Von Zauber der Zahlen, publicada em 1961),
apenas em 1489 é que os sinais + e − foram, pela primeira vez, utilizados por Johann
Widman (1462−1498), mas somente em 1545 é que eles foram, pela primeira vez,
44
utilizados como sinais operatórios, pelo algebrista alemão Michael Stigel
(1486−1567) (SMITH, 1925, p. 403).
Equações do Segundo Grau na Antiga Grécia
O caráter da Matemática grega é completamente diferente daquele da
Matemática babilônica. Embora os próprios gregos reconhecessem que muito deviam
à Matemática egípcia e babilônica, eles transformaram os conhecimentos dessas duas
civilizações em um corpo de resultados bem estruturado no qual a argumentação é
feita com um tipo bem específico de discurso, a demonstração matemática.
Por razões possivelmente associadas à descoberta da existência de
grandezas incomensuráveis, a maneira de os matemáticos gregos apresentarem seus
resultados é geométrica, como em Os Elementos de Euclides.
Os antigos gregos, portanto, conseguiram resolver as equações do
segundo grau por meio de construções geométricas. Por exemplo, em Os Elementos
(Livro II.5), ensina-se a resolver o seguinte problema: Dividir um segmento de reta
em duas partes tais que o retângulo contido pelo segmento dado e uma das partes
seja igual ao quadrado da outra parte.
Este problema é solucionado, resolvendo a equação
a(a−x) = x2,
onde a designa o segmento dado. A equação pode ser escrita sob a forma
a
x
=
;
x a−x
que significa dividir o segmento a em média e extrema razão.
Seja AB o segmento dado e consideremos a circunferência tangente
ao segmento AB em B e cujo raio é
a
. A reta definida por A e pelo centro O da
2
circunferência intercepta a circunferência nos pontos C e D, conforme mostra a
figura seguinte.
45
D
O
C
A
M
B
O arco de circunferência de centro A e raio AC intercepta o segmento
AB no ponto M. As partes pedidas são, precisamente, AM e MB , e temos que
AB AM
=
.
AM MB
Portanto, temos a 2 = ( a + x )x , onde a e x designam, respectivamente,
o comprimento da tangente AB = CD e o comprimento de AM (o quadrado da
tangente é igual ao produto da secante pela sua parte externa) e da igualdade
a 2 = ( a + x )x , resulta a( a − x ) = x 2 , quer dizer, a área do retângulo que tem por
lados a e a − x é igual ao quadrado da outra parte, pois a − (a − x ) = x .
A igualdade a 2 = ( a + x )x resulta imediatamente da aplicação do
2
2
2
teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABO. Assim, temos AB + BO = OA ,
2
2
⎞
⎛a⎞ ⎛a
isto é, a + ⎜ ⎟ = ⎜ + x ⎟ , onde a 2 = x 2 + ax = x(a + x ) , como se pretendia.
⎠
⎝2⎠ ⎝2
2
Equações do Segundo Grau na Antiga Índia
Como assinala Howard Whitley Eves (1911−2004) em seu livro
Introdução à História da Matemática (2002), os hindus foram hábeis aritméticos e
deram contribuições importantes à álgebra.
Muitos dos problemas aritméticos eram resolvidos pelo método do
retorno, em que se trabalha do fim do problema para o começo.
Vários dos resultados obtidos pelos matemáticos gregos chegaram ao
conhecimento dos hindus por intermédio dos árabes. Os hindus ampliaram-nos sob
alguns aspectos, traduziram-nos para a sua língua e exprimiram-nos com eloqüência
46
poética. Vejamos o exemplo de um problema sugerido por Bhaskara, cujo enunciado
era o seguinte:
Linda donzela de olhos cintilantes, se conheces o método do
retorno diz-me: qual é o número que, multiplicado por 3,
3
1
deste produto, dividido por 7, diminuído de
acrescido de
4
3
do quociente, elevado ao quadrado, diminuído de 52, acrescido
de 8 e dividido por 10, dá como resultado o número 2?
Foi Bhaskara que chamou a Álgebra de a arte dos raciocínios
perfeitos.
No entanto, Sridhara (aprox. 870−aprox. 930) foi um dos primeiros
matemáticos a dar uma regra para resolver uma equação quadrática, mas como o
original de seu trabalho está perdido, temos que contar com uma citação de Bhaskara
da regra de Sridhara:
Multiplicar ambos os membros da equação por um número
igual a quatro vezes o coeficiente do quadrado do
desconhecido; adicionar em ambos os lados o número igual ao
quadrado do coeficiente da quantidade desconhecida; então
extraia a raiz quadrada.
Vejamos o significado da regra de Sridhara, usando a linguagem
simbólica atual. Seja
ax 2 + bx = c
Multiplicando ambos os membros por 4a , temos
4a 2 x 2 + 4abx = 4ac .
Somando a ambos os membros o quadrado do coeficiente da
quantidade desconhecida, temos
4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = 4ac + b 2
ou seja,
(2ax + b )2 = 4ac + b 2 ;
extraindo a raiz quadrada, vem:
2ax + b = 4ac + b 2 .
47
Não existe sugestão de que Sridhara tomou dois valores quando
extraiu a raiz quadrada.
Agora, trata-se de uma equação do primeiro grau, cuja resolução já é
conhecida.
Equações do Segundo Grau no Mundo Árabe
Se, por um lado, os árabes foram responsáveis por fazer desaparecer
grande parte do conhecimento ocidental, por outro, contribuíram para sua
preservação. O extermínio se deu quando, como conta a História, em 641 d.C. o
califa Omar mandou que fosse destruída a Biblioteca de Alexandria. E a preservação
foi devida à atuação de três califas, considerados os grandes patronos da cultura
abássida: al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum, que durante seus reinados
foram responsáveis pela tradução, do grego para o árabe, dos mais importantes
escritos científicos conhecidos, entre eles, Almagesto de Ptolomeu e Os Elementos de
Euclides.
Al-Mamun fundou em Bagdá, no século IX, um centro científico
similar à Biblioteca de Alexandria, denominado Bait al-hikma (Casa da Sabedoria),
para onde convergiram muitos matemáticos, dentre os quais Mohammad ibn-Musa
Al-Khowarizmi, que, além de outras obras, escreveu, em 825, Hisab al-jabr
wa’lmuzabalah, obra de grande potencial didático, traduzida como Ciência das
equações. Nessa obra Al-Khowarizmi apresentou a equação do segundo grau, bem
como sua resolução, de forma retórica, além de uma comprovação geométrica
denominada método de completar quadrados, método geométrico distinto daquele
utilizado pelos gregos. Em muitos casos apresentava, tal como seus predecessores,
somente uma raiz (positiva).
Al-Khowarizmi usou dois métodos gerais para resolver equações
quadráticas da forma x 2 + px = q .
Vejamos um dos métodos de Al-Khowarizmi:
Constrói-se um quadrado de lado x e, sobre os lados x, para o exterior
do quadrado, constrói-se retângulos de lados x e
1
p.
4
48
Completa-se a figura, construindo-se em cada um dos quatro cantos
um quadrado de lado igual a
1
p.
4
Vejamos a figura:
p
4
p
4
x
p
4
p
4
x
p⎞
⎛
Portanto, a área do quadrado de lado ⎜ x + ⎟ é
2⎠
⎝
x2 + 4x
Somando-se
1
1
1
p + 4 p 2 = x 2 + px + p 2
4
16
4
1 2
p a ambos os membros da equação x 2 + px = q ,
4
temos
x 2 + px +
1 2
1
p = q + p2 ,
4
4
2
1 ⎞
1 2
⎛
⎜ x + p⎟ = p + q
2 ⎠
4
⎝
donde
x+
1
1 2
p=
p +q
2
4
x=
1 2
1
p +q − p.
4
2
e, conseqüentemente,
Vejamos o outro método de Al-Khowarizmi:
49
Constrói-se um quadrado de lado x e, sobre um dos lados x, para o
exterior do quadrado, constrói-se um retângulo de lados x e
1
p.
2
Completa-se a figura, construindo-se no canto um quadrado de lado
igual a
1
p.
2
Vejamos a figura:
p
2
p
2
x
x
p⎞
⎛
Portanto, a área do quadrado de lado ⎜ x + ⎟ é
2⎠
⎝
p
p2
p2 ⎛
1 ⎞
x +2 x+
= x 2 + px +
= ⎜ x + p⎟
2
4
4 ⎝
2 ⎠
2
2
Somando-se
1 2
p a ambos os membros da equação x 2 + px = q ,
4
temos
x 2 + px +
1 2
1
p = q + p2 ,
4
4
2
1 ⎞
1 2
⎛
⎜ x + p⎟ = p + q ,
2 ⎠
4
⎝
donde
x+
1
1 2
p=
p +q
2
4
x=
1 2
1
p +q − p.
4
2
e, conseqüentemente,
50
Não podemos esquecer que os números negativos ainda não existiam.
Equações do Segundo Grau na Europa
Embora ainda não se usasse o formalismo atual, o processo para
resolver problemas envolvendo as atuais equações do segundo grau resumia-se na
receita usada por Bhaskara. Do século XV ao XVII, muitos foram os matemáticos
que desenvolveram formas distintas de representação e resolução da equação do
segundo grau. Particularmente, trataremos de dois métodos: o de François Viète e o
de René Descartes.
Viète teve uma participação muito efetiva na renovação do
simbolismo e na resolução das equações de segundo, de terceiro e de quarto graus.
Desenvolveu novos métodos de solução, percebeu algumas relações entre
coeficientes e raízes de uma equação, embora seu trabalho tivesse ficado tolhido por
sua recusa em aceitar coeficientes ou raízes negativas.
Vamos descrever o método de Viète para a resolução de equações do
segundo grau. Seja ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 .
Fazendo x = u + v , onde u e v são incógnitas auxiliares, e substituindo
na equação, temos:
a (u + v ) + b(u + v ) + c = 0
2
(
)
a u 2 + 2uv + v 2 + b(u + v ) + c = 0 .
E reescrevendo essa igualdade na incógnita v, obtemos
av 2 + (2au + b )v + au 2 + bu + c = 0 .
Viète transformou essa equação numa incompleta do segundo grau,
anulando o coeficiente de v, isto é, escolhendo u =
−b
. Obteve assim a equação:
2a
2
⎛ −b ⎞
⎛ −b ⎞
av + a⎜
⎟+c =0
⎟ + b⎜
⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
2
b 2 − 4ac
.
e chegou, após simples manipulações, a v =
4a 2
2
Se b 2 − 4ac ≥ 0 então v =
± b 2 − 4ac
. Logo,
2a
51
x =u+v =
b 2 − 4ac
−b
− b ± b 2 − 4ac
=
,
±
2a
2a
2a
fórmula que nos livros didáticos do Brasil a denominam como fórmula de Bhaskara.
Retomemos, pois, o que falamos anteriormente, que a Era das
Fórmulas foi inaugurada com a Logística Speciosa de François Viète. O método de
Viète possibilita uma maneira de demonstração da fórmula para resolver equações do
segundo grau de fácil compreensão e sem grandes artifícios.
Em 1637, René Descartes, além de possuir uma notação que diferia da
atual somente pelo símbolo de igualdade, desenvolveu um método geométrico para a
obtenção da solução positiva. No apêndice La Géométrie de sua obra O discurso do
método, Descartes resolve equações do tipo:
x 2 = bx + c 2 ,
x 2 = c 2 − bx
e
x 2 = bx − c 2 , sempre com b e c positivos. A título de exemplo, mostremos a solução
de Descartes para equações do tipo x 2 = bx + c 2 .
Traça-se um segmento LM , de comprimento c, e, em L, levanta-se
um segmento NL igual a
um círculo de raio
b
e perpendicular a LM . Com centro em N, construímos
2
b
e traçamos a reta por M e N que intercepta a circunferência em
2
O e P. Então a raiz procurada é o segmento OM .
Com efeito, no triângulo retângulo MLN, se OM = x , temos:
2
2
b⎞ ⎛b⎞
⎛
2
2
2
⎜ x − ⎟ = ⎜ ⎟ + c e daí: x − bx = c .
2⎠ ⎝2⎠
⎝
Atualmente, sabemos que a segunda raiz é − PM , mas Descartes não
considerava a raiz negativa.
52
AS EQUAÇÕES DO TERCEIRO GRAU
Em meados do século XV, teve início o fenômeno sócio-cultural
conhecido como Renascença, caracterizado por uma renovação do interesse pelas
coisas do espírito em seus mais altos níveis, por uma efervescência criativa e uma
extraordinária explosão produtiva nas artes plásticas, literatura, arquitetura e
ciências.
Em 1494, o frade franciscano Lucca Pacioli (1445−1514) escreveu a
Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita, um bom
compêndio de matemática, contendo noções de cálculo aritmético, radicais,
problemas envolvendo equações do primeiro e do segundo graus, geometria e
contabilidade. Até o aparecimento do trabalho intitulado Algebra de Rapael Bombelli
(1526−1572), a obra de Lucca Pacioli teve grande prestígio. Como era costume, a
incógnita, que hoje chamamos x, era nele denominada a coisa, enquanto x 2 era
censo, x 3 era cubo, x 4 = censo censo, etc. A álgebra era na época chamada a arte da
coisa ou arte maior. Depois de ensinar, sob forma de versos, a regra para resolver a
equação do segundo grau, Pacioli afirmou que não podia haver regra geral para a
solução de problemas do tipo cubo e coisas igual a número, ou seja, x 3 + px = q . No
final de seu livro, fez corajosamente a afirmação de que a solução da equação cúbica
era “impossível no presente estágio da ciência, assim como a quadratura do círculo.”
Esse último problema já desafiava os matemáticos desde o tempo do matemático
grego Hippocrates de Chios (460 a.C.−370 a.C.). A quadratura de um círculo, a
construção exclusivamente por régua e compasso de um quadrado com medida de
área igual à do círculo, tinha provado ser difícil, e então Pacioli escreveu que o
problema da quadratura era ainda insolúvel. Na realidade Pacioli pretendeu com essa
comparação uma maneira de mensurar a dificuldade da resolução da equação cúbica.
Porém, em 1882, o problema da quadratura foi provado ser impossível.
Porém, o matemático italiano, Scipione del Ferro (1465−1526),
professor da universidade de Bolonha, personagem cuja vida muito pouco se
conhece, descobriu o método para a resolução da equação do terceiro grau, embora
não haja conhecimento do desenvolvimento dos seus trabalhos, pois del Ferro nunca
publicou o método de resolução. Na realidade, nunca publicou nada. Na
53
universidade, del Ferro teria tido acesso a textos importantes como os de Leonardo
de Pisa, de autores árabes e de Lucca Pacioli. Sabemos, contudo, que a duas pessoas
ele comunicou o segredo do método de resolução dos problemas do tipo cubo e
coisas igual a número ( x 3 + px = q ) e, cubo igual a coisas e número ( x 3 = px + q ):
seus discípulos Annibale Della Nave (1500−1558) (mais tarde seu genro e sucessor
na cadeira de Matemática em Bolonha) e Antonio Maria Fiore (seu aluno). A este
último, deitado e já agonizante, deu-lhe a regra, mas não a prova. A descoberta
ocorreu provavelmente em torno de 1515. Fiore não era, particularmente, um bom
matemático, mas tal conhecimento foi como se detivesse uma arma formidável e, em
1535, teve a infeliz idéia de desafiar Niccolò Fontana (1500−1557), um matemático
muito conhecido e de capacidade invejável, para uma disputa matemática. Fontana
chamou a atenção de Fiore ao anunciar que podia resolver equações cúbicas da forma
geral x 3 + px = q . Fiore pensou que Fontana estivesse blefando, que realmente não
tinha tal solução, e então o viu como a vítima perfeita, e se sentiu preparado para
desafiá-lo nesta competição pública.
Tais competições eram cercadas de ritual, presididas por alguma
autoridade e muitas vezes assistidas por numerosa audiência. Alguns contratos de
professores universitários eram temporários e muitas vezes a permanência na cátedra
dependia de um bom desempenho nessas disputas. Isso talvez explique a atitude
sigilosa de del Ferro.
Niccolò Fontana, mais conhecido simplesmente como Tartaglia (o
gago), era professor em Veneza e já tinha derrotado outros desafiantes. No entanto,
suspeitava que Fiore tinha recebido de del Ferro o segredo da resolução das equações
do terceiro grau. Temendo ser esse o desafio e não saber resolver os problemas, oito
dias antes do encontro, depois de longas tentativas, ocorreu a Tartaglia como deduzir
a fórmula para resolver as equações do terceiro grau e acabou redescobrindo, em
1535, a solução de del Ferro para x 3 + px = q antes do dia da competição. Sem
dúvida, isso foi uma notável descoberta, porém, não tão grande quanto a de del Ferro
pois Tartaglia sabia, pelas questões que lhe foram propostas, que uma tal fórmula
deveria existir, enquanto del Ferro não podia ter essa certeza. Quem já fez pesquisa
54
em matemática sabe a grande diferença que isso faz. É a mesma que existe entre
resolver um exercício ou demonstrar um novo teorema.
Fiore propôs trinta problemas, todos envolvendo, de um modo ou de
outro, equações do terceiro grau. Tartaglia também fez sua lista, de natureza bem
variada. A única arma de Fiore era a fórmula de del Ferro, já as armas de Tartaglia
eram seu sólido conhecimento e sua inteligência. Tartaglia resolveu de um golpe os
trinta problemas de Fiore, enquanto que Fiore não conseguiu resolver nenhum dos de
Tartaglia. A disputa foi vencida por Tartaglia que recusou magnanimamente os trinta
banquetes estipulados como prêmio ao vencedor.
Notícias sobre a disputa e a natureza dos problemas resolvidos
chegaram a Milão, onde vivia o doutor Girolamo Cardano (1501−1576), também
conhecido simplesmente como Cardano. Diferentemente de Fiore, Cardano foi um
excelente intelectual e, entre seus muitos talentos, um exímio matemático. A
curiosidade intelectual de Cardano foi incendiada ao saber que Tartaglia tinha o
segredo para resolver a equação cúbica que Pacioli julgara impossível.
A vida de Niccolò Fontana foi muito difícil. Nascido em Brescia,
ficou órfão de pai aos seis anos e foi criado, com seus três irmãos, pela mãe devotada
e paupérrima. Aos 14 anos, no saque de Brescia por tropas francesas, refugiou-se na
Catedral, mas ali mesmo, foi seriamente ferido no rosto por golpes de sabre que lhe
deixaram desfigurado e, por longo tempo, quase sem poder falar. Isso lhe valeu o
apelido de Tartaglia (o gago), que posteriormente assumiu como sobrenome.
Aprendeu sozinho, somente em companhia de uma filha da pobreza chamada
diligência, estudando continuamente as obras dos homens defuntos (Matemática
LIMA, 1987, p.13). Superou todas as dificuldades e conseguiu chegar ao limite do
conhecimento da época em Matemática, Mecânica, Artilharia e Agrimensura.
n
Descobriu a lei de formação dos coeficientes de (x + a ) , e foi autor de algumas
descobertas sobre tiro e fortificações. Por causa delas, sonhava conseguir
recompensa do comandante militar de Milão. Esta foi a isca usada por Cardano para
atraí-lo.
Girolamo Cardano era um personagem rico em facetas contraditórias e
em talentos vários. Sua vida lhe trouxe alternâncias de fama, fortuna, prestígio,
desgraça familiar, severas punições e pobreza. Era médico, astrônomo, astrólogo,
55
matemático, filósofo, jogador inveterado e um incansável investigador, cuja
curiosidade e interesse por todos os tipos de conhecimento não tinham limites.
Escreveu muitos livros sobre todos esses assuntos (mais de cem!), inclusive uma
interessantíssima e reveladora autobiografia. Tendo conseguido melhorar vários
assuntos tratados por Pacioli, Cardano pretendia publicar um livro de Álgebra,
ajudado por seu fiel discípulo Ludovico Ferrari (1522−1565).
Cardano usou de todos os meios para atrair Tartaglia a sua casa e lá,
mediante promessa de guardar segredo, obteve dele em 1539, a regra para resolver a
equação x 3 + px = q , dada sob forma de versos e um tanto enigmáticos, sem
nenhuma indicação de prova. Tal atitude não é tão estranha quanto pode parecer a
princípio; devemos lembrar que, na época, os autores não dispunham ainda de uma
notação adequada para tratar as equações em sua generalidade, não podiam, portanto,
expressar seus métodos resumidamente mediante fórmulas, como fazemos hoje.
No sentido de exemplificar e corroborar com a importância da
simbolização para a evolução da matemática, que abordamos no Capítulo 1,
reproduziremos, a seguir, em três colunas, o método que Tartaglia confiou a Cardano
na seguinte ordem: 1.ª coluna – os versos originais, tal como transcritos na página
120 da edição de 1554 dos Quesiti et inventioni diverse, de Tartaglia, que teve, em
1559, na Brescia, uma publicação comemorativa do IV centenário de sua morte; 2.ª
coluna – a tradução desses versos em língua portuguesa; 3.ª coluna – a transcrição
para o nosso simbolismo atual.
1.º Caso: Cúbica da forma x 3 + px = q
Quando che’l cubo com le cose appresso
Se agguaglia a qualche número discreto
Trovati dui altri differenti in esso.
Quando o cubo com a coisa em apreço
Se igualam a qualquer número discreto
Acha dois outros diferentes nisso
Depoi terrai questo por consueto:
Che’l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
Depois terás isto por consenso:
Que seu produto seja sempre igual
Ao cubo do terço da coisa certa
El resíduo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sotratti
Varrà la tua cosa principale.
Depois, o resíduo geral
Das raízes cúbicas subtraídas
Será tua coisa principal
x3 + px
x3 + px = q
A–B=q
3
⎛ p⎞
A× B = ⎜ ⎟
⎝3⎠
⎧A − B = q
⎪
⎨
p3
⎪A⋅ B =
27
⎩
x=
3
A −3 B
56
2.º Caso: Cúbica da forma x 3 = px + q
In el secondo de coiesti aiti
Quando che’l cubo restasse lui solo
Tu osserverai quesfaltri contratti,
Na segunda dessas operações
Quando o cubo está sozinho
Observará estas outras reduções
2.º caso da cúbica
Del número farai due tal parfa volo
Cha l’uno in l’altro si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stelo
Do número farás dois, de tal forma
Que um e outro produzam exatamente
O cubo da terça parte da coisa
A–B=q
Dalle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi incieme gionti
et cotal somma será il tuo concetto.
Depois, pro preceito comum
Toma o lado dos cubos juntos
E a soma será teu conceito
x 3 = px + q
⎛ p⎞
A× B = ⎜ ⎟
⎝3⎠
x=
3
3
A −3 B
3.º Caso: Cúbica da forma x 3 + q = px
El terzo poi de questi nostri conti
Se solve con secondo se ben guardi
Che ser natura son quasi congionti.
Depois, a terceira de nossas contas
Se resolve como a segunda, se observas bem
Que suas naturezas são quase idênticas
O terceiro caso resolve-se recorrendo
ao segundo
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecento, quatro et trinta
Com fondamenti bem saldi e gagiardi
Nella città dal maré intorno centa.
Isto eu achei, e não com passo tardo
No mil quinhentos e trinta e quatro
Com fundamentos bem firmes e rigorosos
Na cidade cingida pelo mar.
1534
Veneza
Vamos analisar, como ilustração, apenas o primeiro caso da solução
da equação x 3 + px = q que Tartaglia passou a Cardano, mas usando métodos e
notações modernas que nos darão uma exposição mais simples.
Seja a equação do terceiro grau x 3 + px = q , e vamos lembrar a
fórmula do cubo de um binômio:
(u − v )3 = u 3 − 3u 2 v + 3uv 2 − v 3 .
Colocando-se em evidência o produto uv teremos:
(u − v )3 = −3uv(u − v ) + (u 3 − v 3 ) ,
ou seja,
(u − v )3 + 3uv(u − v ) = (u 3 − v 3 )
Se obtivermos u e v tais que
u ⋅v =
p
3
e
u 3 − v3 = q
a expressão acima ficará:
(u − v )3 + p(u − v ) = q
57
e comparando com a expressão inicial x 3 + px = q , percebemos que x = u – v será
uma solução desta equação. Portanto para resolvermos a equação proposta devemos
resolver o sistema
p
⎧
⎪u ⋅ v =
3
⎨
⎪u 3 − v 3 = q
⎩
pois achando u e v teremos x, uma vez que x = u – v.
Para resolver o sistema, elevamos na primeira equação os dois termos ao cubo e
teremos
⎧ 3 3 ⎛ p ⎞3
⎪u ⋅ v = ⎜ ⎟
⎨
⎝3⎠
⎪ 3 3
⎩u − v = q
fazendo u3 = U e v3 = V teremos:
3
⎧
⎛ p⎞
⎪U ⋅V = ⎜ ⎟
⎨
⎝3⎠
⎪U − V = q
⎩
Dessa forma U e −V são raízes da equação
3
⎛ p⎞
X − qX + ⎜ − ⎟ = 0 que são:
⎝ 3⎠
2
⎛ p⎞
q ± q 2 − 4⎜ − ⎟
⎝ 3⎠
X=
2
3
2
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
= ± ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
Uma dessas raízes é U e a outra é −V e como u = 3 U , v = 3 V e x = u – v, teremos a
solução enunciada por Tartaglia:
x= 3U – 3V
Finalmente, substituindo U e V pelos seus respectivos valores resulta a conhecida
fórmula que, nos textos, é chamada de fórmula de Cardano ou de Tartaglia:
2
x=3
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
+ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +3 − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
58
Depois da visita de Tartaglia, Cardano, com algum esforço, conseguiu
demonstrar a validade da regra para resolver a equação x 3 + px = q . Naquela época,
não era costume concentrar os termos da equação no primeiro membro, deixando
apenas zero depois do sinal de igualdade. Nem se percebia que uma equação sem o
termo x2 é o mesmo que ter o mesmo termo com coeficiente zero.
A equação geral do terceiro grau, que podemos escrever na forma:
x3 + a1 x 2 + a2 x + a3 = 0 ,
pode-se reduzir ao caso acima, mediante a mudança de variável x = y −
a1
. Essa
3
redução era conhecida por Tartaglia, mas não por Fiore, e foi justamente esse fato
que determinou a vitória do primeiro. Isso significa que, na verdade, Tartaglia
conhecia um método geral para resolver qualquer equação do terceiro grau.
Vejamos esse caso:
Considerando a equação: x3 + a1x 2 + a2 x + a3 = 0
fazendo x = y −
a1
vem:
3
2
3
a ⎞
a ⎞
a ⎞
⎛
⎛
⎛
⎜ y − 1 ⎟ + a1 ⎜ y − 1 ⎟ + a2 ⎜ y − 1 ⎟ + a3 = 0
3⎠
3⎠
3⎠
⎝
⎝
⎝
2
3
2
3
aa
a
a
⎛a ⎞ ⎛a ⎞
⎞
y − 3 y ⎜ ⎟ + 3 y⎜ 1 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ + a1 y 2 − 2 y 1 + 12 + a2 y − 1 2 + a3 = 0
3
3
3
⎝3⎠ ⎝3⎠
⎝3⎠
3
2 ⎛ a1
3
3
⎛ ⎛ a ⎞2
⎞
a2
⎛a ⎞ a
y 3 + 3⎜ ⎜ 1 ⎟ − 2 1 + a2 ⎟ y = ⎜ 1 ⎟ − 12 − a3 e esta equação é o mesmo que:
⎜⎝ 3 ⎠
⎟
3
3
⎝3⎠
⎝
⎠
y 3 + py = q .
Os estudos de Cardano, feitos com a colaboração de Ferrari, o qual
obteve a solução por radicais da equação do quarto grau, conduziram a importantes
avanços na teoria das equações, como o reconhecimento de raízes múltiplas em
vários casos, relações entre coeficientes e raízes, e aceitação de raízes negativas,
irracionais e imaginárias. (Por esses dois últimos nomes pode-se perceber a má
vontade
secular
para
considerá-las.
Cardano,
entretanto,
nunca
enunciou
explicitamente que uma equação qualquer do terceiro grau deve ter três raízes e uma
59
do quarto grau quatro raízes. Isto foi feito depois, por Bombelli.) Todos esses
progressos eram razões mais do que suficientes para a publicação de um livro sobre o
assunto. Mas isso ele estava impedido de fazer em virtude de seu juramento a
Tartaglia.
Entretanto, em 1542, Cardano e Ferrari visitaram Bolonha e lá
obtiveram permissão de Della Neve para examinar os manuscritos deixados por del
Ferro, entre os quais estava a solução da equação y 3 + py = q . O juramento de
Cardano o proibia de publicar a solução de Tartaglia mas não a de del Ferro, obtida
muito antes. Por isso, ele se considerou desobrigado de qualquer compromisso e
voltou, com energia, à preparação de seu grande livro Ars Magna, que foi publicado
em 1545. O aparecimento dessa notável obra foi recebido favoravelmente pelos
entendidos, mas provocou reação bem desfavorável de Tartaglia.
No entanto, no ano seguinte (1546) Tartaglia publica os Quesiti et
invetioni diversi, livro já mencionado acima, no qual ele, além de apresentar soluções
para vários problemas que lhe foram propostos, descreve fatos autobiográficos e
conta a história de suas relações com Cardano, atacando-o asperamente pela quebra
de um solene juramento. Nas situações de controvérsia, quase sempre ocorre que
cada uma das partes tem razão em alguns pontos e não em outros. Vimos acima as
razões de Cardano. As razões de Tartaglia, a História comprova. Por muitos séculos,
a fórmula da equação do terceiro grau foi conhecida como fórmula de Cardano, por
ter sido publicada pela primeira vez na Ars Magna, muito embora Cardano tenha
indicado as fontes e referindo-se a del Ferro, Antonio Fiore e Tartaglia,
demonstrando uma postura ética inquestionável, o que o iliba da acusação de plágio.
Se a fórmula fosse publicada num livro de Tartaglia, a posteridade certamente a
conheceria por seu nome. Assim, Tartaglia tinha seus motivos para zanga. Apesar
disso, historicamente, a fórmula da equação do terceiro grau é conhecida como
fórmula de Tartaglia-Cardano.
A publicação dos Quesiti foi respondida por um panfleto de Ferrari,
em 1557, em defesa do seu mestre, o que provocou uma réplica de Tartaglia,
iniciando-se uma polêmica que durou mais de um ano (fevereiro de 1547 a julho de
1548) e produziu doze panfletos (seis de cada autor), conhecidos como Cartelli di
Sfida Mathematica (Sfida significa disputa). No final, Tartaglia aceitou o desafio
60
para um debate matemático contra Ferrari em Milão. Cardano manteve-se sempre
fora da briga, apesar das provocações de Tartaglia. O resultado do debate não ficou
muito claro, mas as autoridades universitárias, em Brescia, para onde Tartaglia
acabara de transferir-se, não ficaram satisfeitas com seu desempenho e cortaram seu
contrato. Ele regressou a Veneza, onde morreu humilde, obscuro, nove anos depois.
AS QUANTIDADES IMPOSSÍVEIS OU IMAGINÁRIAS
Rigorosamente, uma equação era vista como a formulação matemática
de um problema concreto; assim, caso no processo de resolução aparecesse uma raiz
quadrada de um número negativo, isso era interpretado apenas como uma indicação
de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Como veremos adiante,
as equações do terceiro grau impuseram a necessidade de trabalhar-se com os
números imaginários.
Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo
dessa atitude aparece na Arithmetica, de Diophanto. Aproximadamente no ano de
275 d.C., ele considerou o seguinte problema:
Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de
12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados.
Solução:
Chamando x e y o comprimento dos catetos desse triângulo, temos, na nossa notação
atual:
1
xy = 7
2
;
x 2 + y 2 = (12 − x − y ) .
2
Substituindo y em função de x, obtemos a equação:
24 x 2 − 172 x + 336 = 0 , cujas raízes são x =
43 ± − 167
.
12
2
⎛ 172 ⎞
Nesse ponto Diophanto observou que só poderia haver solução se ⎜
⎟ ≥ 24 × 336 .
⎝ 2 ⎠
Nesse contexto, é claro que não há necessidade alguma de introduzir um sentido para
a expressão
− 167 .
Na verdade, o primeiro registro de um radical de um número negativo
é um pouco anterior: ele aparece na Stereometria de Heron de Alexandria (10−75
61
aproximadamente),
matemático
grego
do
período
Alexandrino,
publicada
aproximadamente em 75 d.C. Num cálculo sobre o desenho de uma pirâmide surgiu
a necessidade de avaliar
81− 144 . A questão parece não causar nenhum problema
simplesmente porque logo em seguida os números apresentaram-se trocados:
144 − 81 , resultando
63 , que foi calculado como aproximadamente igual a 7
15
.
16
Encontram-se novas referências à questão na matemática indiana.
Aproximadamente no ano 850 d.C., o matemático Mahavira ou Mahaviracharia
(800−870) afirmou: “[...] como na natureza das coisas um negativo não é um
quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada.”
Já no século XII o famoso matemático Bhaskara (1114−1185
aproximadamente) escreveu: “O quadrado de um afirmativo é afirmativo; e a raiz
quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um
negativo, pois ele não é um quadrado.”
Também na matemática européia aparecem observações dessa
natureza quando o frade Lucca Pacioli (1445−1514) em sua Summa de Arithmetica,
Geometrica, Proportioni et Proportionalita, publicada em 1494, escreveu que a
equação x 2 + c = bx é solúvel somente se
1 2
b ≥ c ; o matemático francês Nicolas
4
Chuquet (1445−1500 aproximadamente) fez observações semelhantes sobre soluções
impossíveis num manuscrito, não publicado, de 1484.
O próprio Cardano deparou-se com esse tipo de questão e, embora
mantivesse a atitude dos seus contemporâneos, no sentido de entender que raízes
quadradas de números negativos indicavam apenas a não-existência de soluções de
um determinado problema, pelo menos em um caso ele deu um passo a mais. No
capítulo 37 do Ars Magna, ele considerou o problema de dividir um segmento de
comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.
x
10 − x
Se chamarmos de x o comprimento de uma das partes, a outra terá
comprimento 10 – x, e a condição do problema traduz-se na equação:
62
x(10 − x ) = 40
Isso
leva
à
equação
x 2 − 10 x + 40 = 0 ,
cujas
soluções
são
x = 5 ± − 15 . Cardano reconheceu que o problema dado não tem solução, mas
talvez a título de curiosidade, observou que, trabalhando com essas expressões como
se fossem números, deixando de lado as torturas mentais envolvidas e multiplicando
5 + − 15 por 5 − − 15 , obtém-se 25 – (–15), que é igual a 40.
Em conseqüência, ele chamou essas expressões de raízes sofísticas da
equação e afirmou a respeito delas: são tão sutis quanto inúteis (CARDANO, 1993,
p.220).
Rafael Bombelli (1526−1572) era um admirador da Ars Magna de
Cardano, mas achava que seu estilo de exposição não era claro. São suas as palavras:
Cardano Milanês, na sua arte magna, onde sobre esta ciência muito disse, foi
obscuro nas suas palavras (BOMBELLI, 1966, p.9). Decidiu, então, escrever um
livro expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um principiante pudesse
estudá-los sem necessidade de nenhuma outra referência.
Publicou, em 1572, em Veneza, l’Algebra, em três volumes, obra que
se tornou muito influente. No Capítulo II dessa obra, ele estudou a resolução de
equações de grau não superior a quatro. Em particular na página 294 e nas seguintes,
ele considerou a equação x 3 = 15 x + 4 . Ao aplicar a fórmula de Cardano para o
cálculo de uma raiz, ele obteve:
x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121 .
Seguindo Cardano, ele também chamou essa expressão de sofística,
mas, por outro lado, ele percebeu que x = 4 era, de fato, uma raiz da equação
proposta.
Assim, pela primeira vez, deparou-se com uma situação em que,
apesar de se ter raiz quadrada de números negativos, existia verdadeiramente uma
solução da equação proposta que a fórmula aparentemente não forneceu. Era
necessário, então, compreender o que estava acontecendo.
Bombelli concebeu então a possibilidade de que existia uma expressão
da forma a + − b que poderia ser considerada como a raiz cúbica de 2 + − 121 ,
63
(
isto é, a + − b
)
3
= 2 + − 121 . A forma em que ele calculou essa raiz é um tanto
peculiar; ele assumiu que a raiz cúbica de 2 − − 121 fosse da forma a − − b .
Como ele sabia que 4 era a raiz da equação, necessariamente a + − b + a − − b =
4. Nesse ponto, felizmente, as quantidades não existentes cancelam-se e obtemos
(
a = 2 . Tendo esse resultado, voltou à equação a + − b
)
3
= 2 + − 121 e encontrou
b da seguinte maneira:
(a +
−b
)
3
= 2 + − 121
8 + 12 − b − 6b − b − b = 2 + − 121
8 + 12 b − 1 − 6b − b b − 1 = 2 + 11 − 1
Da igualdade vem:
⎧8 − 6b = 2
⎨
⎩12 b − b b = 11
Dessa maneira Bombelli obteve que
3
3
e daí
b=1
2 + − 121 = 2 + − 1 e, analogamente,
2 − − 121 = 2 − − 1 . Portanto:
x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121
x = 2 + −1 + 2 − −1 = 4
era uma solução da equação dada.
Bombelli (1966, p.133) percebeu claramente a importância desse
achado. E afirmou:
Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras,
que aparece no capítulo sobre o cubo igual a uma quantidade e
um número. ... A princípio, a coisa toda me pareceu mais
baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei até que
achei uma prova... .
Isso pode parecer muito sofisticado, mas, na realidade, eu tinha
essa opinião, e não pude achar a demonstração por meio de
linhas (isto é, geometricamente), assim, tratarei da multiplicação
dando as regras para mais e menos.
64
Bombelli utilizou a expressão piú di meno para referir-se ao que
denotaríamos por +i e meno di meno para −i. Ele enunciou então o que chamou de
regras do produto, que citamos, a seguir, junto com sua tradução, na nossa atual
simbologia:
Piú via piú di meno fa piú di meno
+ ⋅(+ i ) = +i
Meno via piú di meno fa meno di meno
− ⋅(+ i ) = −i
Piú via meno di meno fa meno di meno
+ ⋅(− i ) = −i
Meno via meno di meno fa piú di meno
− ⋅(− i ) = +i
Piú di meno via piú di meno fa meno
(+ i ) ⋅ (+ i ) = −
Meno di meno via piú de meno fa piú
(− i ) ⋅ (+ i ) = +
Meno di meno via meno di meno fa meno
(− i ) ⋅ (− i ) = −
É interessante notarmos que Bombelli se deparava com a dificuldade
adicional de não dispor de uma boa notação. Ele utilizava p (plus) para indicar a
soma; m (minus) para a subtração; R (radix) para raiz quadrada e R3 para a raiz
cúbica. Também não dispunha de parênteses; nos seus manuscritos sublinhava
expressões para indicar quais os termos afetados por um radical. Assim, por
exemplo, a expressão
3
2 + − 121 era escrita na forma
R 3 2 pR 0m121 .
Notemos que ele não escrevia diretamente os números negativos; ele
escreveu −121 como 0 – 121.
Vejamos mais alguns exemplos da notação de Bombelli:
Notação moderna
Publicado por Bombelli
5x
∪
5x2
∪
∪
4+ 6
Rq ⎣4 pRq6⎦
R 4 pR6
2 + 0 − 121
Rc ⎣2 pRq ⎣0m121⎦⎦
R 3 2 pR 0m121
3
1
5
2
5
Manuscrito de Bombelli
1
∪
5
2
5
65
Segundo Boyer (1996), a resolução das equações cúbica e quártica foi
talvez a maior contribuição à álgebra desde que os babilônios, quase quatro milênios
antes, aprenderam a completar quadrado para equações quadráticas. Nenhuma
descoberta constitui um estímulo para o desenvolvimento da álgebra comparável a
essas reveladas na Ars Magna. A resolução das equações cúbicas e quárticas não foi
em nenhum sentido motivada por considerações práticas, nem tinham valor para os
engenheiros ou praticantes de matemática. Soluções aproximadas de algumas
equações cúbicas já eram conhecidas na antigüidade, e o matemático árabe al-Kashi
(1390-1450), um século antes de Cardano, podia resolver com qualquer grau de
aproximação qualquer equação cúbica resultante de um problema prático. A fórmula
de Tartaglia-Cardano é de grande importância lógica, mas não é tão útil para as
aplicações quanto os métodos de aproximações sucessivas.
Boyer continua afirmando que o mais importante resultado das
descobertas publicadas na Ars Magna foi o enorme impulso dado à pesquisa em
álgebra em várias direções. Era natural que o estudo fosse generalizado de modo a
incluir equações polinomiais de qualquer ordem e que em particular se procurasse
resolver a quíntica. Os matemáticos dos dois séculos seguintes enfrentaram um
problema algébrico insolúvel, comparável aos problemas geométricos clássicos da
antigüidade. Resultou muito boa matemática, mas somente uma conclusão negativa.
Outro resultado imediato da resolução da equação cúbica foi a primeira observação
significativa de uma nova espécie de número. Os números irracionais já tinham sido
aceitos no tempo de Cardano, embora não tivessem base firme, pois eram
aproximáveis por números racionais. Os números negativos causaram dificuldades
maiores porque não são aproximáveis por números positivos, mas a noção de sentido
sobre uma reta tornou-os plausíveis. Cardano usou-os embora chamando-os “numeri
ficti”. Se um algebrista desejava negar a existência dos números irracionais ou
negativos, dizia simplesmente, como os gregos antigos, que as equações x2 = 2 e
x + 2 = 0 não são resolúveis. Semelhantemente, os algebristas tinham podido evitar
os imaginários, simplesmente dizendo que uma equação como x2 + 1 = 0 não é
resolúvel. Não havia necessidade de considerar raízes quadradas de números
negativos. Porém, com a solução da equação cúbica, a situação mudou radicalmente.
Sempre que as três raízes de uma equação cúbica são reais e diferentes de zero a
66
fórmula de Tartaglia-Cardano leva inevitavelmente a raízes quadradas de números
negativos. Sabia-se que o alvo era um número real, mas ele não podia ser atingido
sem que se compreendesse alguma coisa sobre os números imaginários. Era agora
necessário levar em conta os imaginários mesmo que se concordasse em só aceitar as
raízes reais.
É notório que com seu engenhoso raciocínio, que mostramos
anteriormente, Bombelli mostrou o papel importante que os números imaginários
conjugados iriam desempenhar no futuro; mas na época a observação não ajudou na
operação efetiva de resolver equações cúbicas, pois Bombelli precisava saber
antecipadamente o valor de uma das raízes. Mas então a equação já está resolvida, e
não precisaria da fórmula; sem o conhecimento de uma das raízes o método de
Bombelli falha. Qualquer tentativa de achar algebricamente as raízes cúbicas dos
números imaginários na regra de Tartaglia-Cardano leva à própria equação cúbica,
em cuja resolução as raízes cúbicas aparecem, de modo que se volta ao ponto de
partida. Esse impasse surgia sempre que as três raízes fossem reais, caso conhecido
como “irredutível”. Aqui uma expressão para a incógnita é de fato fornecida pela
fórmula, mas a forma em que aparece é inútil para quase todos os fins.
Um outro exemplo corrobora com o status que esses números
detinham na época: é o do matemático suíço Leonhard Euler (1707−1783),
considerado o mais prolífico matemático de todos os tempos, compreendia e
utilizava muito bem os números imaginários, apesar de ele próprio ter grandes
dúvidas quanto à sua legitimidade. Em Vollständige Anleitung zur Álgebra (Instrução
Completa sobre Álgebra), publicada primeiro em russo, em 1768-69, e depois em
alemão, em 1770, que se tornou uma referência clássica nessa área nos dois séculos
seguintes, Euler escreveu:
Uma vez que todos os números concebíveis são maiores do que
0, ou menores do que 0 ou iguais a 0, é claro que a raiz quadrada
de um número negativo não pode ser incluída entre os números
possíveis. Conseqüentemente, devemos dizer que estes são
números impossíveis. E esta circunstância nos conduz a tais
números, que por sua natureza são impossíveis, e que são
chamados costumeiramente de imaginários, pois eles só existem
na imaginação.
67
Fica evidente, neste capítulo, que a raiz quadrada de um número
negativo não fora um problema em uma época específica e, muito menos, de uma
situação em particular. É possível verificarmos na história fatos em que tais raízes
apareceram, causaram grandes preocupações por serem heterodoxas no contexto,
mas que em determinada época foram simplesmente ignoradas, em outra,
desprezadas e, no Renascimento, um pouco mais discutidas e trabalhadas, e, apesar
de chegarem ao ponto de dominarem as manipulações simbólicas ora desenvolvidas,
perdurava a dúvida sobre a legitimidade desses entes que acabamos, neste capítulo,
denominando mais largamente de números imaginários.
Apesar de todos os trabalhos desenvolvidos, a necessidade de tornar
os números imaginários legítimos ainda imperava, parecendo faltar um elo que
realmente proporcionaria o significado tão almejado. No capítulo seguinte,
buscaremos apresentar o elo que faltava para que os números imaginários
definitivamente fossem aceitos.
68
CAPÍTULO 3
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA: O ELO
LEGITIMADOR DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS
No início do século XIX, começou uma nova época áurea da
geometria, a qual se amplia de uma geometria de figuras para uma geometria do
espaço. Johann Carl Friedrich Gauss (1777−1855) foi o primeiro que buscou explicar
como a matemática pura seria possível, criando-se uma nova idéia do espaço
diferentemente do espaço empírico. Como observa Andrei Nikolaevich Kolmogorov
(1903−1987):
Toda a área de matemática onde a continuidade tem uma atuação,
parece se tornar geometria, porque qualquer conjunto de objetos
matemáticos (funções, por exemplo) em que relações topológicas
podem ser impostas, pode ser chamado um espaço. Com esta
geometrização da matemática a geometria como uma disciplina
independente, que se colocava em certa oposição ao resto da
matemática, começa a desaparecer. (Comunicação oral de M.
OTTE.)
Com essa idéia do espaço, os matemáticos ganharam um novo instrumento para
assegurar a existência dos seus objetos. A representação geométrica foi, portanto,
uma necessidade de realizar geometricamente os objetos matemáticos controversos,
como as raízes quadradas de números negativos e, por isso, em poucos anos, muitos
matemáticos independentes (não profissionais) como Caspar Wessel (1745−1818),
Adrien Quentin Buée (1748−1826), Jean Robert Argand (1768−1822), Hermann
Günther Grassmann (1809−1877) entre outros, tiveram a idéia de ganhar a existência
dos números imaginários à base da geometria plana. Foi o trabalho de duas gerações
para se esclarecer a natureza dos números imaginários.
É oportuno salientarmos que os números imaginários não foram
aceitos como entidades matemáticas legítimas pela maioria dos matemáticos até o
século XIX. Como já fora dito, é justamente nesse século, por meio do esforço de
alguns dos matemáticos não profissionais, citados anteriormente, trabalhando
independentemente na busca de uma representação geométrica para tais números,
que esses foram aceitos por toda comunidade científica, mais ainda, foram as
70
sucessivas tentativas de estender essa representação a três dimensões que levou Sir
Willian Rowan Hamilton (1805−1865) a descobrir os quatérnios.
Vamos, nesse capítulo, buscar apresentar um pouco dessa idéia,
discorrendo, em linhas gerais, sobre esses matemáticos independentes, dando um
destaque maior aos dois primeiros nomes, pois as semelhantes representações
geométricas de ambos, essencialmente, fora a mesma representação geométrica
introduzida por Gauss, em 1831, quando formulou precisamente a “equivalência
matemática da Geometria Plana ao domínio do número complexo”.
CASPAR WESSEL
Caspar Wessel (1745−1818), norueguês, nascido na cidade de Vestby,
atualmente Dröbak, era um agrimensor e não um matemático profissional. Sua
inovação em um problema que deixou muitas mentes brilhantes perplexas, na
realidade, foi motivada pelos problemas práticos que enfrentava diariamente fazendo
mapas. Não havia nenhuma tradição familiar em matemática para guiá-lo, pois seu
pai e seu avô eram homens do pano (clérigos). Foi o seu trabalho que o inspirou para
o sucesso.
Embora Wessel fosse um dos treze filhos, e conseqüentemente as
finanças da família deviam ser limitadas, ele recebeu uma boa educação na escola
secundária, seguido por um ano na Universidade de Copenhague. Ainda adolescente
(1764), ele deixou a vida acadêmica e iniciou seu trabalho como cartógrafo, sendo
um assistente da Comissão de Pesquisa da Dinamarca operada pela Academia Real
de Ciências da Dinamarca. Pesquisar seria o trabalho da sua vida ⎯ embora, em
1778, por alguma razão, ele passasse no exame de Direito Romano da Universidade
de Copenhague ⎯ e antes de 1798, fora promovido a supervisor. Em 1805, ele
aposentou-se, mas continuou trabalhando por vários anos antes do reumatismo forçálo realmente a parar. Ele era considerado um exímio agrimensor e recebeu uma
medalha de prata da Academia Real de Ciências da Dinamarca pelo trabalho
cartográfico feito para o governo francês.
Ainda que muito respeitado como agrimensor, ele não era a pessoa
mais indicada para apresentar um trabalho (no dia 10 de março de 1797, pouco antes
do seu 52.° aniversário) intitulado Om Directionens Analytiske Betegning (Sobre a
71
Representação Analítica de Direção: Uma Tentativa), publicado no volume V, em
1799, na Coleção da Academia Real de Ciências da Dinamarca. Wessel era
conhecido por ter sido ajudado pelo presidente da seção de ciência da Academia na
escrita do seu trabalho, cujo apoio certamente não o maculou, pois o conteúdo
intelectual era todo de Wessel. A qualidade e o mérito do seu trabalho foram
julgados tão satisfatórios que, pela primeira vez, foi aceita a publicação ⎯ em
Academy’s Memoires of 1799 (Memórias da Academia de 1799) ⎯ por um autor não
membro da Academia.
O brilhante trabalho de Wessel estava predestinado a não ter nenhum
impacto, pois foi escrito em dinamarquês e publicado em um jornal pouco lido fora
da Dinamarca. Não teve até 1895, quando foi redescoberto e finalmente reconhecido
como pioneiro. Passemos a fazer uma análise do seu trabalho.
A figura abaixo apresenta a simplicidade de Wessel para a
interpretação dos números complexos.
(eixo imaginário)
y
a + ib
b
θ
0
(eixo real)
a
x
Para Wessel e, atualmente para nós, um número complexo é qualquer ponto a + ib no
denominado plano complexo (a e b são dois números reais) ou o vetor dirigido da
origem para aquele ponto. Escrito nessa forma, o número complexo é dito estar na
forma retangular ou cartesiana. Uma alternativa muito útil é a forma polar, escrita em
termos do comprimento do vetor e do ângulo polar que é o ângulo medido no sentido
⎛b⎞
anti-horário do eixo x para o vetor. Quer dizer, se θ = tan −1 ⎜ ⎟ , então
⎝a⎠
a + ib = a 2 + b 2 {cos(θ ) + isen(θ)}. O comprimento do vetor, determinado por
a 2 + b 2 , é chamado módulo do número complexo a + ib. O valor do ângulo polar
72
⎛b⎞
tan −1 ⎜ ⎟ é chamado de argumento de a + ib e escrito como arg( a + ib ) . Mais
⎝a⎠
compactamente, pode-se escrever tudo isso na forma
⎛b⎞
a + ib = a 2 + b 2 ∠ tan −1 ⎜ ⎟ .
⎝a⎠
A notação ∠ para números complexos é comumente mais usada por
engenheiros elétricos, mas matemáticos, freqüentemente, também a consideram
bastante útil. Existe, porém, uma advertência relativa à forma polar de representar
números complexos que é muito importante ser lembrada. Um erro comum cometido
por estudantes que estão iniciando o aprendizado sobre a forma polar é uma falha ao
analisar que a função tangente é periódica com período de 180°, não 360°. Isto é, a
função tangente varia no intervalo completo de valores (−∞ para +∞) à medida que o
ângulo polar θ varia de −90° a 90°. Ou, expressando os ângulos em radianos (um
radiano =
180°
= 57,296°), então a função tangente no intervalo completo de valores
π
à medida que o ângulo polar varia de −
π
π
a
radianos. Isto significa que
2
2
⎛b⎞
substituindo aleatoriamente valores para a e b em θ = tan −1 ⎜ ⎟ pode-se conduzir a
⎝a⎠
erros. Então, é preciso definir que
⎛b⎞
θ = tan −1 ⎜ ⎟ , quando a > 0,
⎝a⎠
isto é, o número complexo está no primeiro ou no quarto quadrante, e
⎛b⎞
θ = 180° + tan −1 ⎜ ⎟ , quando a < 0,
⎝a⎠
isto é, o número complexo está no segundo ou no terceiro quadrante.
Recordamos que os quadrantes do plano são numerados no sentido
anti-horário, e o primeiro, é o quadrante onde a e b são positivos.
Como Wessel foi conduzido ao então modo padrão de representar os
números complexos? Wessel começou o seu trabalho descrevendo o que hoje é
73
denominado adição de vetor. Isto é, se dois segmentos de reta dirigidos estiverem ao
longo do eixo x (talvez em direções opostas), então para somá-los situamos o ponto
de partida de um ao ponto de chegada do outro, e a soma é o segmento de reta
dirigido resultante que se estende do ponto inicial do primeiro segmento ao ponto
final do segundo. Wessel disse que a soma de dois segmentos não paralelos deveriam
seguir a mesma regra. Dessa forma ele criou o cálculo vetorial (veja também,
CROWE, M. J. A HISTORY OF VETCTOR ANALYSIS. New York: Dover, 1985).
Esse procedimento é apresentado na figura a seguir:
x
z
+
w
x
y
=
=
w
x
x
y
z
z
z
w
+
x
y
=
w
x
y
Não existe nada de novo até aqui, porque John Wallis (1616−1703) já havia
expressado idéias semelhantes de como somar segmentos de reta dirigidos. A
contribuição original de Wessel foi mostrar como multiplicar tais segmentos.
Wessel descobriu como multiplicar segmentos de reta fazendo uma
generalização inteligente do comportamento de números reais. Ele observou que o
produto de dois números (por exemplo, 3 e −2, com um produto de −6) tem a mesma
razão para cada fator assim como o outro fator tem para 1. Isto é,
−2
−6
= −2 =
,e
3
1
−6
3
= 3 = . Assim, assumindo existir uma unidade para segmento de reta dirigido,
−2
1
Wessel argumentou que o produto de dois segmentos de reta dirigidos deveria ter
duas propriedades. Primeira, e imediatamente análoga à dos números reais, o
comprimento do produto deveria ser o produto do comprimento de cada segmento de
reta.
74
Mas qual a direção do produto? Esta segunda propriedade é a
contribuição seminal de Wessel: por analogia de tudo que foi feito anteriormente, ele
disse que o produto do segmento de reta deveria diferir em direção de cada fator de
segmento de reta pelo mesmo valor angular, assim como o outro fator do segmento
de reta difere em direção quando comparado ao segmento de reta unitário dirigido.
Assim, suponha que o segmento de reta unitário dirigido aponte da esquerda para a
direita com ângulo de 0°, isto é, ao longo do eixo x positivo. Então, se tivermos dois
segmentos de reta para serem multiplicados um com o outro, um com ângulo θ e o
outro com ângulo α, o ângulo produto deve ser a soma θ + α porque θ + α difere de
θ por α (o ângulo pelo qual o segmento com ângulo θ difere do segmento unitário).
Isso é talvez tão elementar ou até óbvio atualmente, que parece
infantil escrevermos isto por extenso com tantas palavras, mas não nos iludamos. Se
acharmos que isso é “óbvio”, estaremos confundindo algo conhecido por muito
tempo, talvez desde a escola secundária, com algo que todos nascem sabendo, e, no
entanto, teve que ser descoberto ou inventado, dependendo de como se vê a evolução
da matemática, e Wessel foi o primeiro a ver como se fazia isso.
Com apenas essas poucas, mas brilhantes percepções de Wessel,
podemos fazer alguns cálculos extraordinários. Mostraremos apenas três. Primeiro o
que é (0 ,3 + i 2,6 )17 ? Isso parece a princípio bem complexo, mas observemos que
0,3 + i 2,6 =
(0,3)2 + (2,6)2 ∠ tan −1⎛⎜ 2,6 ⎞⎟ = 2,6172505∠83,418055° .
⎝ 0,3 ⎠
Já que (0 ,3 + i 2,6 )17 significa ter (0 ,3 + i 2 ,6 ) multiplicado por ele mesmo dezessete
vezes, então as regras de Wessel dizem para elevar a magnitude ou módulo à décima
sétima potência e multiplicar o ângulo polar ou argumento por dezessete. Isto é,
(0,3 + i 2,6)17 = (2,6172505)17 ∠(83,418055° × 17 ) = 12.687 ,322 ∠ 1.418,1061°.
Esse é um número complexo no quarto quadrante, que pode ser visto simplesmente
subtraindo tantas vezes 360° ⎯ com cada vez de 360° representando uma volta
completa sobre a origem ⎯ até que se chegue num ângulo menor que 360º. Desse
modo,
75
(0,3 + i 2,6)17 = 12.687 ,322∠338,1061°
= 12.687,322∠−21,893915°
= 12.687,322{cos (−21,893915°) + i sen (−21,893915°)}
= 11.772,300 – i 4.730,800.
Antes de Wessel, esse cálculo teria exigido multiplicar (0 ,3 + i 2 ,6 ) por ele mesmo
dezessete vezes, e os detalhes teriam levado muitas pessoas à loucura.
Aqui está outro cálculo, até mais surpreendente, baseado na idéia de
Wessel de adicionar ângulos. Considere o produto (2 + i )(3 + i ) = 5 + i5. Usando como
π
⎛5⎞
unidade de ângulo o radiano, o ângulo do produto é tan −1 ⎜ ⎟ = tan −1 (1) = . Os
4
⎝5⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
ângulos dos dois fatores da esquerda são semelhantemente a tan −1 ⎜ ⎟ e tan −1 ⎜ ⎟ .
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
Assim, temos imediatamente que
⎛1⎞
⎛1⎞ π
tan −1 ⎜ ⎟ + tan −1 ⎜ ⎟ = ,
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠ 4
um resultado que pode ser facilmente verificado em uma calculadora científica
configurada em modo radiano. Para deduzir mais diretamente essa fórmula, pode-se
multiplicar do mesmo modo (5 + i )4 (− 239 + i ) para obter
⎛1⎞
⎛ 1 ⎞ π
4 tan −1 ⎜ ⎟ − tan −1 ⎜
⎟= .
⎝5⎠
⎝ 239 ⎠ 4
Depois da multiplicação, encontraremos que o produto é um número do terceiro
quadrante, com ângulo
π
5π
radianos. Isso pode, a princípio,
radianos, e não
4
4
confundir-nos, mas nesse caso, provavelmente não depois de observarmos que o
fator
(− 239 + i )
está
no
segundo
quadrante
e,
portanto,
tem
ângulo
⎧
−1 ⎛ 1 ⎞ ⎫
⎟⎬ radiano. Depois de agruparmos os termos observaremos, que os
⎨π − tan ⎜
⎝ 239 ⎠⎭
⎩
três termos do lado esquerdo da identidade somam −
15π
radianos, que é o ângulo do
4
76
segmento de reta direcionado no primeiro quadrante com um ângulo de
π
radianos
4
(lembremos que o sinal de menos indica que se deve girar à direita do eixo real
positivo, isto é, no sentido horário).
(
)
E finalmente, multiplicando-se ( p + q + i ) p 2 + pq + 1 + iq , onde p e q
é qualquer par de números reais, podemos facilmente deduzir a famosa identidade
⎫
⎧ 1 ⎫
q
−1 ⎧
−1 ⎛ 1 ⎞
tan −1 ⎨
⎬ = tan ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎬ + tan ⎨ 2
⎝ p⎠
⎩ ( p + q )⎭
⎩ p + pq + 1 ⎭
(
)
Sem números complexos e a idéia de Wessel de somar os ângulos, deduzir esta
identidade seria um problema muito mais difícil.
Desde Wessel, então, multiplicar simultaneamente dois segmentos de
reta dirigidos significou a operação de duas etapas de multiplicar os dois
comprimentos sempre tomados como positivos e adicionar os dois ângulos de
direção. Essas duas operações determinam o comprimento e o ângulo de direção do
produto, e é essa definição de produto que explica o significado geométrico de
Isto é, suponha existir um segmento de reta direcionado que representa
−1 .
− 1 , e que o
seu comprimento é l e sua direção o ângulo θ. Matematicamente, então, afirma-se
que
− 1 = l ∠ θ. Multiplicando-se essa afirmação por ela mesma, isto é, quadrando-
se ambos os lados temos −1 = l2 ∠ 2θ ou, como −1 = 1 ∠ 180°, então l2 ∠ 2θ = 1∠
180°. Assim, l2 = 1 e 2θ = 180°, e então l = 1 e θ = 90°. Isto diz que
−1 é o
segmento de reta dirigido de comprimento um apontando diretamente para cima ao
longo do eixo vertical ou, finalmente,
i = − 1 = 1 ∠ 90°.
Historiadores geralmente creditam a Wessel como sendo o primeiro a
associar um eixo perpendicular real com o eixo de imaginários. Porém, há indícios
que essa idéia já estava sendo utilizada antes de Wessel. Existe uma nota num folheto
de propaganda, por exemplo, fundamentada em um livro (1847) do grande físico e
matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789−1857), que já em 1786, Henri
Dominique Truel (“um modesto estudante”, escreveu para Cauchy) tinha
77
representado valores imaginários por um eixo perpendicular e, por um eixo
horizontal, valores reais. No entanto, nada é conhecido de Truel e parece que nunca
publicou seus resultados, qualquer que possam ter sido. E existem colocações nas
escritas de Gauss que ele tinha trabalhado sobre a mesma idéia já em 1796, mas
também não publicou nada naquela época. Foi Wessel o primeiro a apresentar suas
idéias em um foro público.
Vejamos como a idéia de Wessel é simples. Multiplicando-se por
− 1 é, do ponto de vista geométrico, simplesmente uma rotação de 90° no sentido
anti-horário. Na figura a seguir, por exemplo, o vetor que representa o número
complexo a + ib é apresentado no primeiro quadrante do plano complexo
(a > 0, b > 0) .
Multiplicando esse número complexo por i, geometricamente
representamos uma rotação de 90° do vetor no sentido anti-horário, girando-o para
i (a + ib ) = −b + ia no segundo quadrante. Por causa dessa propriedade,
−1 é
freqüentemente considerada como um operador rotação, além de ser um número
imaginário.
y
−b + ia
a + ib
90º
0
x
Como foi observado por E. T. Bell, 1986, p.234, um historiador de
matemática, a elegância e a simplicidade absoluta dessa maravilhosa interpretação
sugerem que “não existe como se confundir o que ele mesmo declarou a um místico
admirador sobre . . . a grosseria do nome ‘imaginários’”. Isto é, para não dizer, no
entanto, que essa interpretação geométrica não foi um enorme salto à frente da
compreensão humana. Realmente, isso é só o começo de muitos cálculos elegantes.
78
Por exemplo, a figura seguinte apresenta uma circunferência de raio
unitário e dois vetores raios arbitrários, um com ângulo θ e outro com ângulo α. Já
que cada vetor tem módulo unitário, seu produto terá também módulo um, com
ângulo α + θ (como mostrado).
y
(0,1)
θ+α
α
θ
(−1,0)
(0,0)
(1,0)
x
(0,−1)
Escrevendo, matematicamente, todos os vetores raios temos
1∠θ = cos(θ) + isen(θ) ,
1∠α = cos(α ) + isen(α ) ,
1∠(α + θ) = cos(α + θ) + isen(α + θ) ,
e assim (1∠θ)(1∠α ) = 1∠(α + θ ) , devemos ter
{cos(θ) + isen(θ)}{cos(α ) + isen(α )} = cos(α + θ) + isen(α + θ) .
Desenvolvendo o lado esquerdo, vem
{cos(θ)cos(α ) − sen(θ)sen(α )}+ i{sen(θ)cos(α ) + cos(θ)sen(α )} = cos(α + θ) + isen(α + θ) .
Dois números complexos são iguais somente se suas partes reais e
imaginárias são separadamente iguais, e então, temos imediatamente as duas
identidades trigonométricas
79
cos(α + θ ) = cos(θ) cos(α ) − sen(θ)sen(α ) ,
sen(α + θ ) = sen(θ) cos(α ) + cos(θ)sen(α ) .
Para
o
caso
especial
cos(2α ) = cos 2 (α ) − sen 2 (α )
α
de
e
=
θ,
essas
expressões
sen(2α ) = 2sen(α ) cos(α ) .
É
se
reduzem
claro
que
a
tais
identidades tinham sido conhecidas muito tempo antes de Wessel; por exemplo, elas
podem ser encontradas no livro Almagesto (o maior) por Ptolomeu de Alexandria,
escrito no século II d.C., mas até a nova geometria de números complexos de Wessel
tais identidades nunca tinham sido antes tão facilmente deduzidas. Essas duas
identidades são úteis, por exemplo, para deduzir a expressão para tan(α − β) .
Simplesmente escreve-se tan(α − β) =
sen(α − β )
, usa-se as duas identidades acima
cos(α − β )
para expandir o seno e o cosseno, e divide numerador e denominador por
cos(α ) cos(β ) .
Com essa maravilhosa dedução da geometria de
− 1 não houve nada
que detivesse Wessel mesmo com cálculos até mais exóticos. Por exemplo,
começando com um vetor raio unitário de ângulo de direção
θ
, onde m é um
m
inteiro, segue imediatamente que
m
m
⎧ ⎛θ⎞
⎧ θ⎫
⎛ θ ⎞⎫
⎨1∠ ⎬ = ⎨cos⎜ ⎟ + isen⎜ ⎟⎬ = 1∠θ = cos(θ) + isen(θ)
⎩ m⎭
⎝ m ⎠⎭
⎩ ⎝m⎠
ou, fazendo-se o processo inverso desta afirmação, ou seja, tomando-se a m-ésima
raiz,
{cos(θ) + isen(θ)} m = cos⎛⎜ θ ⎞⎟ + isen⎛⎜ θ ⎞⎟ .
1
⎝m⎠
⎝m⎠
Esse resultado não foi original de Wessel (embora essa simples e
elegante dedução tenha sido), e ficou comumente conhecido como “Teorema de De
Moivre”, depois do matemático francês-nato Abraham De Moivre (1667−1754). De
Moivre, um protestante, católico da esquerda na França, foi à Londres aos dezoito
anos de idade em busca de liberdade religiosa, e tornou-se amigo de Isaac Newton.
Em 1698, ele publicou no jornal Philosophical Transactions da Sociedade Real, e
80
mencionou que Newton reconheceu, em 1676, uma expressão equivalente à do
teorema De Moivre, e que usou para calcular as raízes cúbicas dos números
complexos que se tornou evidente com a fórmula de Cardano para o caso irredutível.
De Moivre provavelmente aprendeu essa técnica de Newton, e a usou para ganhar
seu sustento como um “solucionador de problemas matemáticos”. De Moivre era um
homem de grande talento ⎯ particularmente qualificado em teoria da probabilidade
aplicada a jogos, ele escreveu The Doctrine of Chances (A Doutrina de Chances), em
1718, e descobriu o ubíquo normal ou “em forma de sino” curva agora conhecida
pelo nome Gauss. A tradição era que o próprio Newton, freqüentemente, ao
responder as perguntas matemáticas dizia: “Perguntem ao Sr. De Moivre, ele sabe
mais sobre o que faço.” Está claro nas escritas de De Moivre que ele, de fato,
conhecia e usava o resultado anterior, mas nunca realmente publicou-o
explicitamente ⎯ que fora feito por Euler, em 1748, que chegou a esse resultado por
meios completamente diferentes.
O teorema De Moivre permitiu a Wessel calcular qualquer raiz mésima de um número complexo. Em seu trabalho, por exemplo, Wessel sugere o
poder de seus resultados declarando
3
4 3 + 4 − 1 = 2∠10° .
Realmente, isso está correto, mas não foram fornecidos quaisquer detalhes de como
ele chegou a isso. Provavelmente, argumentou da seguinte forma: o número
complexo abaixo do sinal da raiz cúbica é, na forma polar,
(4 3 ) + (4) ∠ tan
2
2
4 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟ = 8∠30° .
⎜
⎟ = 48 + 16∠ tan −1 ⎜
⎝ 3⎠
⎝4 3⎠
−1 ⎛
Assim,
3
4 3 + 4 − 1 = (8∠30°)
1
3
1
= 8 3∠
30°
= 2∠10° ,
3
que é, quando escrito por extenso na forma cartesiana,
2 cos(10°) + 2sen(10°) = 1,969615506 + i 0,347296355 .
81
Que esse resultado está correto pode ser comprovado simplesmente
cubando-o, uma tarefa tediosa feita facilmente com uma calculadora científica, e
observando que o resultado é, realmente, 6,928203230 + i4 = 4 3 + i 4 . Wessel
estava ciente de que, da mesma maneira que há duas raízes quadradas de qualquer
número, há m raízes m-ésimas. Assim existem três raízes cúbicas para 4 3 + i 4 .
Wessel também soube que essas raízes são separadas por ângulos iguais, isto é, se
uma raiz é 2∠10° então as outras duas são 2∠130° e 2∠250° . Para ver isso,
suponha que o número complexo para o qual está calculando-se a n-ésima raiz tenha
ângulo θ. Então, obviamente, uma das raízes terá ângulo
θ
porque quando elevamos
n
a raiz à n-ésima potência temos o número original de volta, com ângulo θ. Isto é,
θ
× n = θ . Se
n
desde que ângulos sejam adicionados durante a multiplicação temos
outro possível ângulo para a raiz é α, então nα = θ + k ⋅ 360° , onde k é algum inteiro,
isto é, adicionando qualquer número inteiro completamos 360° de rotações para θ,
não
α=
fazendo
nenhuma
diferença
por
retornar-se
para
θ.
Deste
modo,
θ
θ
360°
+k⋅
. Quando k = 0, obtemos, obviamente, α = , o ângulo da raiz. E
n
n
n
para k = 1, 2, . . ., n – 1 obtemos n – 1 diferentes ângulos mais para um total de n
ângulos uniformemente espaçados. Usando-se outros valores inteiros para k que são
ou negativos ou maiores que n – 1, simplesmente repetimos as raízes dadas por
valores de k ao primeiro n inteiro não-negativo, por exemplo, k = n repete a raiz dada
por k = 0.
JEAN ROBERT ARGAND
Como foi dito anteriormente, a brilhante contribuição de Wessel
simplesmente não foi lida ⎯ e não iria ser ⎯ até um século depois do fato. Porém,
as idéias de Wessel estavam “no ar” e dentro de uma década da apresentação original
do seu trabalho à Academia Dinamarquesa elas eram redescobertas. No ano 1806, na
verdade, surgiram duas publicações que, mais ou menos, avançou o plano complexo
de Wessel e sua associação do eixo vertical com o eixo dos imaginários.
82
O primeiro desses dois escritores, o suíço Jean Robert Argand
(1768−1822), teve base teórica tão improvável quanto era a de Wessel.
Essencialmente nada é conhecido a respeito do princípio da vida de Argand, mas
provavelmente ele não foi formalmente educado em matemática, pois em 1806,
quase com quarenta anos, ele estava trabalhando na obscuridade como um guardalivros parisiense. Em 1876, o matemático francês Guillaume-Jules Hoüel
(1823−1886) reimprimiu o folheto de Argand, e em seu prefácio introdutório diz da
sua tentativa para localizar detalhes de vida de Argand. E foi por esforços de Hoüel
que o registro de nascimento de Argand foi encontrado. Porém, ele descobriu muito
pouco mais sobre ele. Hoüel terminou seu breve resumo com as seguintes
comoventes palavras:
Se acrescentarmos a isso que, mais ou menos em 1813, Argand
viveu em Paris, rue de Gentilly, No. 12, como indicado em sua
própria caligrafia em uma capa de um exemplar de seu folheto, nós
devemos declarar tudo que podemos aprender deste homem
original, cuja vida modesta permanecerá desconhecida, mas cujos
serviços para ciência Hamilton e Cauchy julgaram dignos da
gratidão da posteridade. (HOÜEL, apud NAHIN, 1998, p.73.)
Apesar da sua origem humilde, em 1806, Argand teve seu trabalho
sobre números complexos ⎯ em que a idéia do módulo é primeiramente introduzida
⎯ publicado em pequena impressão por uma imprensa privada. Ele distribuiu cópias
gratuitamente para amigos e correspondentes, e nem chegou a por seu nome na capa.
Esse trabalho, intitulado
Essai sur une manière de représenter les quantités
imaginaires dans les constructions géométriques (Ensaio sobre uma maneira de
representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas), foi quase
seguramente sentenciado a desaparecer muito mais rápido que o trabalho de Wessel,
com exceção de acontecimentos subseqüentes de natureza surpreendente.
Um que recebeu cópia do trabalho de Argand foi o grande matemático
francês Adrien-Marie Legendre (1752−1833), que escreveu uma carta mencionando
isso para François Joseph Français (1768−1810), um professor de matemática cuja
educação militar o conduziu para problemas matemáticos relacionados à artilharia;
por exemplo, uso de cálculo para estudar projéteis no ar. Quando ele morreu, seu
irmão mais novo Jacques (1775−1833) herdou os documentos do irmão mais velho.
83
Jacques também tinha uma extensa educação militar e, de 1811 até sua morte, foi
professor de arte militar na Ecole Impériale d`Application du Génie et de l`Artillerie
em Metz. Também, como seu irmão mais velho, Jacques era matemático e, lendo os
documentos recebidos como herança, encontrou uma carta escrita, em 1806, por
Legendre com um folheto descrevendo a matemática de Argand ⎯ mas ele não
soube que era de Argand porque Legendre falhou em não mencionar isso na carta.
Demasiadamente estimulado pelas idéias lidas naquela carta, Jacques
publicou um artigo, em 1813, numa edição da revista Annales de Mathématiques,
apresentando o fundamento da geometria dos números complexos. No último
parágrafo desse artigo, porém, Français reconheceu sua responsabilidade com a carta
de Legendre e adicionou a persuasão da demonstração do trabalho de um autor
anônimo apresentado numa carta de Legendre. Felizmente, Argand aprendeu a lição
e sua resposta apareceu na edição seguinte da revista. A resposta de Argand foi
acompanhada de uma pequena nota de Français, em que ele declarou Argand ser o
primeiro a ter desenvolvido a geometria dos imaginários e que ele estava muito
contente por reconhecer essa prioridade (nenhum homem, é claro, tinha ouvido falar
de Wessel).
Com a publicação das idéias de Argand em uma renomada revista de
matemática, certa controvérsia deflagrou entre Argand e Français de um lado e o
matemático francês François−Joseph Servois (1767−1847) de outro. Um homem de
formação militar que, como Français, lecionou durante algum tempo na escola de
artilharia em Metz. Servois pressentiu que eles, de algum modo, pecaram em uma
interpretação geométrica de idéias algébricas. Por exemplo, em uma carta para o
Annales ele escreveu “Eu confesso que ainda não vejo nesta notação qualquer coisa
exceto um disfarce geométrico aplicado a formas analíticas me parecendo que o uso
direto das mesmas é simples e mais rápido.” (FRANÇAIS, apud NAHIN, 1998,
p.74.). Curiosamente, esse debate ficou mais ou menos cortês e provavelmente, de
alguma forma, ajudou a chamar um pouco de atenção para as idéias de Argand. Até
mais curiosamente, Wessel (que ainda estava vivo) não ouviu falar nada sobre essas
discussões na França e ninguém notou que Wessel tinha feito tudo isso vinte anos
atrás. Wessel e Argand faleceram com apenas quatro anos de diferença, sem que
84
nenhum tivesse aprendido do outro e com a maior parte do mundo ignorante de
ambos.
Hoüel, em 1876, reimprimiu o trabalho de Argand e incluiu no
prefácio introdutório a homenagem irônica que segue palavras citadas do jovem
alemão, recentemente formado em matemática, Hermann Hankel (1839−1873):
O primeiro a mostrar como se representa a forma imaginária
a + bi por pontos em um plano, e dar regras para sua adição e
multiplicação geométrica, foi Argand.... a menos que algum
trabalho mais velho seja descoberto, Argand deve ser considerado
como o criador verdadeiro da teoria das quantidades complexas em
um plano. (HANKEL, 1867, p.82.)
Duas décadas mais tarde, claro, o “trabalho mais velho” de Wessel foi descoberto.
Apesar dos trabalhos de Argand e Wessel resumirem-se em uma
mesma teoria, Argand é quem teve marcado na história o reconhecimento de tal
descoberta. Por isso, no capítulo seguinte, faremos uma abordagem criteriosa sobre
Argand e sua representação geométrica dos números imaginários.
ADRIEN QUENTIN BUÉE
De acordo com Nahin (1998, p.75), o segundo redescobrimento das
idéias de Wessel, em 1806, veio de um escritor até mais obscuro que Argand, o
francês Abbé Adrien-Quentin Buée (1748−1826), que publicou, em francês, nas
Philosophical Transactions (Transações Filosóficas) da Sociedade Real de Londres,
seu trabalho Mémoire sur lês Quantités imaginaires. Ao contrário dos estilos de
Wessel e Argand, o trabalho de Buée tem um ar decididamente místico, e deve ter
parecido bastante estranho a todos que o conseguiram ler.
Na sua Mémoire sur les Quantités imaginaires (Buée, 1806), ele
propôs uma interpretação geométrica para as quantidades imaginárias. Os pontos
importantes e originais dessa memória devem-se por um lado à duplicação da álgebra
em uma aritmética universal e uma língua matemática, de outro lado a busca de uma
interpretação das expressões imaginárias em termos de operações (e não de objetos),
operação que faz sair de uma reta. Essa memória é um trabalho muito longo e
bastante confuso devido a diferentes espécies de operação. A idéia de uma Álgebra
85
duplicada foi explorada novamente nos anos seguintes por Peacock, Warren, De
Morgan, entre outros.
Buée começou seu artigo pela constatação que uma linha é
determinada pelo seu comprimento e pela sua direção. Ora, a aritmética considera
apenas os comprimentos, abstração feita de sua direção, e a geometria considera
apenas as direções, abstração feita dos comprimentos. Ele vem com a idéia de definir
uma operação aritmética que consiste “dar um comprimento a uma linha” e uma
operação geométrica, que consiste “dar uma direção a uma linha”.
Quando considera os comprimentos e as direções, diz-se efetuar uma
operação aritmético-geométrica. Os sinais “+” e “−” tomam, portanto, um
significado diferente conforme pertençam a uma expressão da aritmética ou da
geometria. Como sinais da aritmética, eles designam a adição ou a subtração. Como
sinais geométricos, eles indicam o sentido no qual tomar a quantidade.
Afim de efetivamente marcar que a álgebra é uma língua matemática,
Buée traduziu as expressões algébricas em linguagem comum. Por exemplo, a
expressão “ − 3 × −4 ” significa, dizer, “–3 tomados 4 vezes com um sinal contrário ao
que daria − 3× 4 ”. Curiosamente, embora os sinais “+” e “−” designem operações,
Buée os nomeou qualitativos da quantidade. As quantidades desempenham na língua
algébrica o papel do nome na linguagem comum. Nessa língua,
− 1 designa uma
operação meramente geométrica. É um sinal de perpendicularidade que indica uma
direção, sem comprimento. Posto na frente de a (o sinal de uma linha) significa que é
necessário dar a a uma “situação perpendicular à aquela que dar-lhe-ia se tivesse
simplesmente +a ou –a”. A perpendicularidade em questão é “indeterminada”,
aumenta, dado que qualquer raio de um “círculo suposto perpendicular ao plano
deste papel” é perpendicular à direção de +a ou –a. Essa observação curiosa parece
ter por objetivo respeitar o imaginário associado a
−1 .
Buée dá uma interpretação diferente ao sinal
− 1 , segundo o caráter
da “língua algébrica” ou o caráter da “aritmética”. Como caráter aritmético, esse
sinal é uma marca de impossibilidade. Como caráter algébrico, há uma operação
pendente. Buée procurou redefinir o sentido da palavra multiplicação. Propôs para a
expresssão:
(
)
− 1 × − − 1 , a seguinte tradução: “A quantidade concreta
−1
86
tomada uma vez, num sentido igualmente afastado dos sentidos que apresentariam
− 1 × −(+ 1) e
− 1 × −(− 1) ”. O matemático escocês John Playfair (1748−1819)
aumentou a incoerência (inconsistência) desta explicação. Sublinhou que o sinal
− 1 designa, na acepção de Buée, não uma quantidade, mas uma operação. Esse
sinal não pode, pois, entrar em uma multiplicação:
Se a quantidade é impossível, de multiplicar ou dividir por ela, ou
para fazer-lhe o assunto de que qualquer operação aritmética deve
ser impossível também. As operações executadas com símbolos
são então destituídas de significado; elas são tão imaginária quanto
seus próprios símbolos (PLAYFAIR [1808b], p. 315.).
No entanto, Playfair continuou impressionado pelas possibilidades de
uma linguagem simbólica:
No entanto conduziram a uma conclusão que fosse verdadeira, e de
nenhuma maneira óbvia. A eficácia de sinais feitos distintamente
das idéias que representam nunca fora tão fortemente evidenciado;
e o resultado agora obtido, considerando o anterior e
negligenciando o último, é um triunfo que a imaginação do mais
sangüíneo nominalist nunca poderia ter se antecipado (PLAYFAIR
[1808b], p. 315-316).
Reafirmou sua crença num princípio “que não é evidente, mas cuja
existência é inegável”, que governa a legitimidade da prática corrente. Esse princípio
deve ainda descobrir-se. Playfair não se satisfez com nenhuma das explicações
propostas até lá. Sublinhou que o artigo de Woodhouse não o convenceu. Desta
crítica, resultou que para Playfair, a aritmética das quantidades impossíveis tende a
destacar-se de uma aritmética universal para constituir-se em linguagem formal. O
termo language of algebra voltará em várias ocasiões. Esta linguagem não se refere
somente, de acordo com ele, aos matemáticos, mas também aos filósofos. Em várias
ocasiões destacou a ajuda que um sistema de sinais utilizados sem referência a uma
idéia fornece ao espírito. A sua revista da Memória de Buée começou por estas
linhas:
A linguagem de Álgebra merece a atenção, não de matemáticos
somente, mas de todos os filósofos que estudassem a influência
que os sinais tem sobre a formação de idéias e a aquisição de
conhecimento. […] Álgebra, por outro lado, é uma linguagem
87
inventada expressamente com a finalidade de ajudar a mente na
administração do pensamento: este é o seu destino principal; e o
negócio de comunicar conhecimento, que é principal em relação a
outras linguagens, com respeito a ela é secundário e acidental.
(PLAYFAIR [1808b], p. 306).
HERMANN GÜNTHER GRASSMANN
Hermann Günther Grassmann (1809−1877), filho de professores,
nasceu em 15 de abril de 1809, na cidade de Stettin (agora Szczecin, na Polônia) e
faleceu em 26 de setembro de 1877 na mesma cidade. Iniciou seus estudos com a
mãe, vindo posteriormente a ser aluno do ginásio em Stettin. Em seguida, foi a
Berlim estudar teologia. Retornou à sua cidade natal em 1830 onde iniciou seus
estudos em matemática e física. Em 1832, começou os seus trabalhos em geometria
aplicando-a à mecânica analítica de Lagrange. Na mecânica celeste, desenvolveu
uma teoria diferente da apresentada por Laplace.
A história de Grassmann é um dos melhores exemplos de “Tragédia
Matemática”: um obscuro professor de escola secundária em uma cidadezinha
qualquer que fez uma das maiores contribuições matemáticas da história, mas que de
tão avançada para sua época foi praticamente ignorada pelos seus contemporâneos
sendo percebida apenas muitos anos depois.
O fato de dizermos “xis ao quadrado” para x 2 e “xis ao cubo” para
x 3 é simples, porque dado um quadrado de lado x a medida da sua área é dada por
x 2 , enquanto a medida do volume de um cubo de aresta x é dada por x 3 . Entretanto,
por trás deste simples fato, existe uma idéia muito profunda, que remonta aos gregos,
em particular Euclides, ao representar os objetos geométricos por meio de objetos
algébricos e as operações geométricas por meio de operações algébricas. Nesse
caso, a idéia era representar os lados do quadrado (objetos geométricos) por um
número x (objeto algébrico) e a medida da área do quadrado (operação geométrica)
determinada a partir de seus lados por meio do produto x ⋅ x = x 2 (operação
algébrica). Apesar de tentadora, essa idéia foi abandonada pelos gregos, pois nem
todos os segmentos de reta podiam ser representados por números (assim como os
gregos os conheciam). Por exemplo, dado um quadrado de lado unitário a sua
diagonal é justamente a raiz quadrada de 2, o que hoje chamamos número irracional
88
que não era conhecido pelos gregos. Além disso, como os gregos poderiam
interpretar x 4 , x 5 , e assim por diante? O que vemos aqui é uma tentativa de
representar objetos algébricos (números, neste caso) por meio de objetos
geométricos e as operações algébricas por meio de operações geométricas. Esta é a
idéia que podemos denominar ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
Tais problemas impediram os gregos de levarem adiante esta idéia,
atualmente eles estariam solucionados. Na realidade, a noção de congruência dos
gregos era a problemática que estava por trás dessa idéia, ou seja, definir quando dois
segmentos de reta eram congruentes. Para os gregos, bastava que tivessem o mesmo
comprimento.
A busca da álgebra geométrica se fez novamente presente nos tempos
modernos com Descartes, que também não logrou êxito, pois a noção de congruência
usada por Descartes era a mesma de Euclides. O mesmo problema preocupou
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646−1716), um dos criadores do cálculo diferencial
e integral. Na questão conceitual, Leibniz teve clara a idéia de uma álgebra
geométrica e a sua necessidade. Ele a denominou uma geometria de situs, que
podemos traduzir como uma geometria de posição. Leibniz escreveu um ensaio
sobre esse assunto que ficou esquecido por muito tempo. Quando redescoberto e
publicado, por volta de 1833, foi instituído um prêmio para quem desenvolvesse tais
idéias de Leibniz. Apenas um matemático não profissional se inscreveu: Grassmann,
que desenvolveu com êxito a idéia de uma álgebra geométrica, graças ao fato de não
ter usado a noção de congruência de Euclides, mas uma outra relacionada com o
conceito que atualmente conhecemos como vetores.
A idéia de Grassmann encontra-se na sua obra-prima Die Lineale
Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (A Teoria das Extensões
Lineares, um novo Ramo da Matemática), de 1843, da qual pouquíssimos
exemplares foram vendidos. Em 1873, houve não uma segunda edição, mas a
publicação desta mesma obra com um texto totalmente reescrito na tentativa de
torná-lo mais claro. Foi Grassmann quem finalmente conseguiu tornar tal idéia em
realidade.
Sabemos que duas retas não-paralelas determinam um plano, e
queremos definir um produto de “coisas” que representam retas (ou segmentos de
89
reta), tal que o resultado desse produto seja uma outra “coisa” que represente um
plano (ou fragmentos de plano). Essa foi a idéia de uma álgebra geométrica. O
grande passo de Grassmann não foi a representação de segmentos de reta por
números, mas por objetos matemáticos chamados vetores. Nesse caso, podemos
atribuir a um segmento de reta não apenas um número (dado pelo seu comprimento),
mas uma orientação e uma direção (que depende da noção de paralelismo).
Grassmann definiu um produto de vetores a e b, chamando-o produto exterior, cujo
resultado é um objeto que denominou bivetor que descreve um paralelogramo
orientado de lados a e b.
c
b
a
a+b=c
a×b=P
Em síntese, Grassmann ensinou como multiplicar vetores. No entanto,
em geral as suas idéias não foram bem entendidas, mesmo por matemáticos de
renome como August Ferdinand Möbius (1790−1868). Baseado no conceito de
conectividade, Grassmann aplicou a Teoria das Extensões Lineares na descrição de
uma nova teoria para o eletromagnetismo. Seu trabalho só recebeu reconhecimento
da comunidade científica, quando submeteu um artigo, sob sugestão de Möbius, em
1846, à Fürstliche Jablonowski'schen Gesellschaft der Wissenschaften (Sociedade
Jablonowski Gesellschaft de Ciências), em Leipzig. Em maio de 1847, escreveu ao
ministro da educação da Prússia candidatando-se a uma vaga de professor na
Universidade. O ministro pediu a opinião do matemático alemão Ernst Eduard
Kummer (1810−1893), o qual fez severas críticas aos trabalhos de Grassmann,
levando assim à rejeição de sua candidatura.
Salvo raras exceções, o trabalho de Grassmann passou quase
despercebido. Dessas exceções, citamos seu contemporâneo, o matemático inglês
William Kingdon Clifford (1845−1879). Antes de mencionarmos o trabalho de
90
Clifford, devemos observar que, também em 1844, o então famoso Hamilton havia
publicado um sistema que denominou quatérnions, que consistiam em uma
generalização dos números complexos. Os quatérnions mostraram-se ser objetos
extremamente adequados para descrevermos operações no espaço tridimensional tais
como rotações. Em 1878, Clifford publicou um trabalho em que mostrou como
unificar em uma única estrutura os sistemas de Grassmann e de Hamilton. Mais
ainda, aproveitando a estrutura bem geral da álgebra de Grassmann, o sistema de
Clifford permitiu a generalização do sistema dos quatérnions de Hamilton. A
denominação original de Clifford para essa estrutura foi álgebra geométrica, mas
atualmente denominamo-la álgebra de Clifford.
Em 2 de dezembro 1871, Grassmann tornou-se membro da Academia
de Ciências de Göttingen, o que o encorajou a publicar pequenos artigos durante os
últimos anos de sua vida. Em 1877, ele iniciou uma nova edição de seu livro
Ausdehnungslehre, que foi publicada após sua morte, em 1878. Somente no final de
sua vida seus trabalhos tiveram o real reconhecimento de vários matemáticos
importantes da época, tais como: Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833−1872),
August Ferdinand Möbius (1790−1868), Rudolf Mehmke (1857−1944), Rudolf
Hermann Lotze (1817−1881). Entretanto, foi o matemático americano Josiah Willard
Gibbs (1839−1903) quem mais propagou as idéias de Grassmann ao estudar o
problema dos quatérnions. Gibbs publicou vários artigos na revista Nature, no
período de 1891 a 1895, mostrando a correlação entre os quatérnions de Hamilton e
a Ausdehnungslehre de Grassmann.
O texto seguinte é um extrato do prefácio do Ausdehnungslehre
publicado por Grassmann em 1862:
Eu permaneço completamente confiante que o trabalho que
empreguei na ciência apresentado aqui, e que exigiu uma
significativa parte da minha vida com também a aplicação mais
árdua de meus poderes, não será perdido. É verdade que estou
ciente de que a forma que dei para a ciência é imperfeita e deve ser
imperfeita. Mas eu sei e sinto obrigado a indicar (embora corra
risco de parecer arrogante) que mesmo se este trabalho remanescer
outra vez não utilizado por outros dezessete anos ou mais, sem
participar no desenvolvimento real da ciência, ainda aquela hora
virá quando será trazido adiante da poeira do esquecimento e
quando as idéias agora dormentes produzirão frutos. Eu sei que se
não me recolher em torno de mim (como eu tenho até agora
91
desejado em vão) um círculo de estudantes a quem eu poderia
frutificar com essas idéias e quem eu poderia estimular
desenvolver e os enriquecer mais adiante, contudo virá o momento
em que essas idéias, talvez em uma nova forma, surgirão
novamente e entrarão em uma comunicação viva com os
desenvolvimentos contemporâneos. A verdade é eterna e divina e
nenhuma fase dela [...] pode passar sem um traço; ela permanece
em existência mesmo se o pano em que os fracos mortais vestem
desintegrar na poeira.
Cada vez mais, em Matemática, os conceitos geométricos são
generalizados de modo a incluir objetos que dificilmente imaginar-se-ia estuda-los
segundo o ponto de vista da Geometria. Existem formas de geometria muito mais
gerais do que se pensava que é denominada geometria ortogonal. Existe, por
exemplo, a chamada geometria simplética. Nesse caso também há uma estrutura
algébrica apropriada no sentido de uma álgebra geométrica. De qualquer forma, as
geometrias e as operações geométricas que muitas vezes se tem em mente são muito
mais complexas do que as mencionadas acima, e nesse caso a sua transcrição em
termos algébricos se faz fundamental e necessária.
92
CAPÍTULO 4
JEAN ROBERT ARGAND E A REPRESENTAÇÃO
GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Normalmente um objeto matemático não existe por si só, como uma
árvore ou uma folha de papel. Para que exista, é preciso adquirir existência por meio
de alguma forma de expressão matemática. A representação geométrica é uma dessas
formas, e foi a necessidade de realizar geometricamente os objetos matemáticos,
como raízes de números negativos, que motivou Argand a propor seu diagrama.
Como abordamos no capítulo II, somente no século XVII foi possível
expressar a fórmula para encontrar raízes de equações do segundo grau por meio de
símbolos, pois foi nessa época que ocorreu a introdução da simbolização para
representar os coeficientes genéricos de uma equação. No entanto, procedimentos
particulares − equivalentes à fórmula, mas para equações específicas − já eram
utilizados desde muito antes. Tratava-se de procedimentos que já tinham caráter
algébrico, ainda que fossem encarados em estreita ligação com métodos geométricos.
Desde a Idade Média, quando a álgebra conheceu um intenso
desenvolvimento, colocava-se o problema do estatuto das raízes de números
negativos que apareciam em procedimentos de resolução de equações, pois eles
esbarravam em dificuldades análogas às que exemplificamos anteriormente. Essas
dificuldades não diziam respeito apenas às raízes, mas aos próprios números
negativos. É claro que, se identificamos números a quantidades que aparecem no
processo de contagem, não faz sentido falar em números negativos. Mas números
desse tipo também apareciam na resolução de equações e eram chamados, assim
como suas raízes, de números impossíveis, absurdos, falsos ou imaginários,
nomenclaturas que exprimem bem a confusão que causavam na mente dos
matemáticos da época.
Embora toleradas por sua utilidade prática na realização de cálculos,
essas quantidades não eram consideradas rigorosas. Somente no final do século
XVIII e início do XIX é que começaram a ser sugeridas diferentes representações
geométricas para os números negativos e imaginários, o que garantiu sua plena
aceitação no universo dos números.
94
O trabalho elaborado por Jean Robert Argand (1768−1822), intitulado
Essai sur une manière de representer les quantités imaginaires dans les
constructions géométriques (Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades
imaginárias nas construções geométricas), de 1806, aborda a representação
geométrica dos números imaginários como pontos no plano, fazendo corresponder o
número a + bi (sendo i =
− 1 ) o ponto de coordenadas (a, b), dá as regras da adição
e da multiplicação desses números e apresenta como aplicar essa representação a
inúmeros teoremas.
Nosso estudo pautar-se-á na segunda edição do Ensaio, prefaciado
pelo matemático francês Guillaume Jules Hoüel (1823−1886), publicado em Paris,
em 1874, pela Gauthier-Villars. Composto de 126 páginas, o referido trabalho está
dividido em duas partes: a primeira, com páginas numeradas de 1 a 60, contém
representação geométrica feita por Argand e aplicações dessa representação a
inúmeros teoremas, e a segunda, com páginas numeradas de 61 a 126, um apêndice
extraído dos Annales de Mathématiques pures et appliquées de Gergonne (t.IV,
1813-1814, e t.V, 1814-1815), relativo à questão dos imaginários.
A obra de Argand, com sessenta páginas, não está organizada
convencionalmente em capítulos, mas em subdivisões numeradas de 1 a 32. Nosso
trabalho tem por objetivo apresentar a representação geométrica dos números
imaginários feita por Argand e, no sentido de enriquecê-lo ainda mais, também
incluiremos nessa apresentação as regras da adição e da multiplicação desses
números, que se encontram descritas nas subdivisões de 1 a 11, fechando esse
capítulo com a subdivisão 32.
Passaremos, a seguir, a apresentar especificamente essas subdivisões
tal qual se encontram no original do Ensaio de 1806, tecendo eventualmente, quando
necessário, comentários que remetam à linguagem atual.
O Ensaio de 1806
O Ensaio abre-se como uma espécie de recapitulação das idéias que
tinham os seus contemporâneos em relação às quantidades negativas. Argand
afirmou que não saberia se recusá-las pura e simplesmente era a maneira correta de
participar no estabelecimento e na evolução da matemática, sobretudo em razão do
95
imenso progresso propiciado por essas quantidades. Muitos exemplos que colocaram
em jogo essas entidades deveriam ser suficientes para bani-los dos raciocínios de
uma ciência em que primava o rigor: mas outros exemplos, não menos numerosos,
mostravam que estas quantidades negativas eram completamente reais. Portanto,
qual atitude deveria ser adotada para se evitar esta impossível escolha? Não se
poderiam recusar as quantidades negativas porque numerosos resultados obtidos
seriam postos em questão; não se poderia aceitá-las sem um desconto prévio em
questão dos princípios. Era esse o dilema de Argand que optou pela segunda
possibilidade. A teoria que ele esboçou chegou a atingir os objetivos, graças aos
conceitos e ao grau de abstração adquiridos no início do século XIX.
O ponto de partida da teoria de Argand começou sobre uma tentativa
de avaliação de diferentes situações que, nos problemas, conduziam à rejeição ou à
aceitação das quantidades negativas.
ENSAIO
SOBRE
UMA MANEIRA DE REPRESENTAR
AS QUANTIDADES IMAGINÁRIAS
NAS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
1. Seja a uma grandeza tomada à vontade. Se acrescentarmos a essa
grandeza uma segunda, que lhe seja igual, para formar somente um único todo,
teremos uma nova grandeza, que será expressa por 2a. Fazendo sobre esta última
grandeza uma operação similar, o resultado será expresso por 3a, e assim por diante.
Obteremos assim uma seqüência de grandezas
a, 2a, 3a, 4a,...,
96
entre as quais cada termo é obtido do anterior, por uma operação que é a mesma para
todos os termos, e que pode ser repetida indefinidamente.
Consideramos esta mesma seqüência ao contrário, ou seja:
..., 4a, 3a, 2a, a.
Podemos ainda conceber, nesta nova seqüência, cada termo como deduzido do
precedente, por uma operação inversa daquela que serve à formação da primeira
seqüência; mas existe uma diferença notável entre as duas seqüências: a primeira
pode ser levada tão longe quanto se quiser; não é a mesma coisa com a segunda.
Após o termo a, será achado o termo 0; mas para ir mais longe, é preciso que a
natureza da grandeza a seja tal, que se possa operar em relação a 0 como foi feito em
relação aos termos ..., 4a, 3a, 2a, a. Isso que não é sempre possível fazer.
Se a, por exemplo, designar um peso material, como o grama, a
seqüência das quantidades ..., 4a, 3a, 2a, a, 0 não pode ser continuada além de 0;
pois se retira realmente 1 grama de 3, de 2 ou de 1 grama, mas não seria possível
retirá-lo de 0. Assim os termos que deveriam seguir 0 não podem existir a não ser na
imaginação; eles podem, por isso mesmo, ser chamados de imaginários.
Mas, em vez de uma seqüência de pesos materiais, consideramos os
diversos graus de gravidade que agem sobre o prato A de uma balança que contém
pesos nos seus dois pratos, e vamos supor, para dar mais apoio às nossas idéias, que
os movimentos dos braços dessa balança sejam proporcionais aos pesos adicionados
ou subtraídos, efeito que aconteceria, por exemplo, por meio de uma mola adaptada
ao eixo. Se a adição do peso n no prato A faz variar da quantidade n’ a extremidade
do braço A, a adição dos pesos 2n, 3n, 4n,... ocasionará, sobre essa mesma
extremidade, variações 2n’, 3n’, 4n’,..., e essas variações poderão ser tomadas como
medida do peso agindo sobre o prato A: esta gravidade é 0 no caso de igualdade
entre os dois pratos. Será possível, acrescentando no prato A pesos n, 2n, 3n,..., obter
os pesos n’, 2n’, 3n’,..., ou, partindo do peso 3n’, obter, subtraindo pesos, os pesos
2n’, n’, 0. Mas esses diversos graus podem ser produzidos não somente retirando
pesos ao prato A, bem como acrescentando pesos ao prato B. A adição de pesos
sobre o prato B pode ser repetida indefinidamente; assim, continuando-a, formarão
97
novos graus de gravidade expressos por −n’, −2n’, −3n’,..., e esses termos, chamados
negativos, expressarão quantidades tão reais quanto os termos positivos. Então é
possível ver também que, se dois termos, de signos diferentes, têm o mesmo número
por coeficiente, como 3n’, −3n’, eles expressarão dois estados da alavanca tais que a
extremidade que marca os graus de gravidade será, num e no outro, igualmente
afastada do ponto 0. É possível considerar esse afastamento fazendo abstração do
sentido no qual ele acontece, e dar-lhe então o nome de absoluto.
Consideramos ainda numa outra espécie de grandeza a geração das
quantidades negativas. Se, para contar uma quantia de dinheiro, adotarmos por
unidade o franco, será possível operar diminuições sucessivas sobre essa quantia, e
reduzi-la a zero pela subtração de certo número de francos. Chegado a este termo,
vemos que a subtração cessa de ser possível, e que, conseqüentemente, −1 franco, −2
francos,..., são quantidades imaginárias.
Tomaremos agora o franco por unidade, a fim de avaliar a fortuna de
um indivíduo, a qual se compõe de valores ativos e passivos. O que chamamos de
diminuição nessa fortuna poderá acontecer seja pela supressão de um número de
francos ao ativo, seja pela adição de um número de francos ao passivo, e, levando a
certo termo essa diminuição por um desses dois meios, será possível chegar a uma
fortuna negativa, tal qual −100 francos, −200 francos,... . Essas expressões
significarão que o número de francos dos valores passivos considerado
abstratamente, é maior de 100, 200,..., que aquele dos valores ativos. Assim −100
francos, −200 francos,..., que expressavam no primeiro caso somente quantidades
imaginárias, representam aqui quantidades tão reais quanto àquelas que designam as
expressões positivas.
2. Essas noções são muito elementares; no entanto, não é tão fácil
quanto poderia parecer à primeira vista estabelecê-las de uma maneira muito
esclarecedora, e de dar-lhes esta generalidade que pede a sua aplicação aos cálculos.
Aliás, não podemos duvidar da dificuldade do assunto, se pensarmos que as ciências
exatas tinham sido cultivadas durante um grande número de séculos, e que elas
tinham feito enormes progressos antes que se concebessem as verdadeiras noções das
quantidades negativas, e que se concebesse a maneira geral de empregá-las.
98
De resto, não nos propusemos dar aqui princípios mais rigorosos ou
mais evidentes do que aqueles achados nas obras que tratam deste assunto; tivemos
simplesmente por meta fazer duas anotações sobre as quantidades negativas. A
primeira é que, de acordo com a espécie de grandeza à qual se aplica a numeração, a
quantidade negativa é real ou imaginária; a segunda é que, duas quantidades de uma
espécie suscetível de fornecer valores negativos sendo comparadas entre si, a idéia da
sua relação é complexa. Ela inclui: 1.º) a idéia da relação numérica dependendo das
suas grandezas respectivas consideradas absolutamente; 2.º) a idéia da relação das
direções ou sentidos aos quais elas pertencem, relação que é a identidade ou a
oposição delas.
3. Agora, se, fazendo abstração da relação das grandezas absolutas, se
consideramos os diferentes casos que a relação das direções pode apresentar,
acharemos que eles se reduzem a aqueles que oferecem as duas proporções
seguintes:
+ 1 : + 1 : : −1 : −1,
(+1 está para +1 assim como −1 está para −1, ou em notação atual,
+ 1 −1
=
)
+ 1 −1
+ 1 : −1 : : −1 : +1.
(+1 está para −1 assim como −1 está para +1, ou em notação atual,
+1 −1
=
)
−1 +1
A observação dessas proporções e daquelas que formaríamos pela
inversão dos termos mostra que os termos médios são de sinais iguais ou diferentes,
seguindo que os extremos sejam mesmos de sinais iguais ou diferentes.
Comentário: Sabemos que a média proporcional entre grandezas de
mesmo sinal é +1 ou −1, pois se −1 : + x :: + x : −1 (i.e.,
+ x : +1 (i.e.,
−1 + x
) ou +1 : + x ::
=
+ x −1
+1 + x
), a quantidade x deve ser +1 ou −1.
=
+ x +1
99
Propomos atualmente determinar a média proporcional entre duas
quantidades de sinais diferentes, quer dizer a quantidade x que satisfaça à proporção
+ 1 : + x : : + x : −1.
(+1 está para + x assim como + x está para −1, ou em notação atual,
+1 + x
=
)
+ x −1
Estamos parados aqui como estivemos querendo continuar além do 0
na progressão aritmética decrescente, pois não podemos igualar x a nenhum número
positivo ou negativo; mas, já que achamos acima que a quantidade negativa,
imaginária quando a numeração era aplicada a certas espécies de grandezas, tornavase real quando combinava-se, de certa maneira, a idéia de grandeza absoluta com a
idéia de direção, não seria possível obter o mesmo sucesso relativamente à
quantidade de que se trata, quantidade dita imaginária pela impossibilidade de onde
atribuir um lugar na escala das quantidades positivas ou negativas?
Refletindo sobre isso, pareceu que conseguiríamos chegar a esse
objetivo se fosse possível encontrar um gênero de grandezas ao qual pudéssemos
combinar a idéia de direção, de maneira que, adotando duas direções opostas, uma
para os valores positivos, outra para os valores negativos, existisse uma terceira na
qual a direção positiva é tratada como se esta fosse a direção negativa.
Comentário: O fato de afirmar “(...) existisse uma terceira direção na
qual a direção positiva é tratada como se esta fosse a direção negativa.”, deve ser
interpretada como uma rotação de 90°.
4. Se tomarmos um ponto fixo K (Figura 1) e adotarmos por unidade
positiva a linha KA considerada como tendo a sua direção de K em A, o que se
poderá designar por KA , para distinguir esta quantidade da linha KA na qual
consideramos aqui somente a grandeza absoluta, a unidade negativa será KI , o traço
superior tendo o mesmo significado daquele que está colocado sobre KA , e a
condição à qual se trata de satisfazer será preenchida pela linha KE, perpendicular às
anteriores e considerada como tendo a sua direção de K em E, e que expressaremos
também por KE .
100
E
F
D
C
G
B
H
I
A
K
Q
J
P
L
M
N
O
Figura 1
De fato, a direção de KA é, em relação à direção de KE , o que esta
última é em relação à direção de KI . Além disso, vemos que esta mesma condição é
preenchida tanto por KN quanto por KE , essas duas últimas quantidades que são
entre elas como + 1 e −1, assim como deve ser. Elas são então o que expressamos
habitualmente por + − 1 , − − 1 .
Por uma abordagem análoga, poderemos inserir novas médias
proporcionais entre as quantidades de que acabamos de tratar agora. De fato, para
construir a média proporcional entre KA e KE , será preciso desenhar a linha CKL
que divide o ângulo AKE em duas partes iguais, e a média buscada será KC ou KL .
A linha GKP dará igualmente as médias entre KE e KI ou entre KA e KN . Será
possível obter da mesma maneira as quantidades KB , KD , KF , KH , KJ , KM ,
KO , KQ por médias entre KA e KC , KC e KE , ..., e assim por diante. Poderemos
inserir da mesma maneira um maior número de médias proporcionais entre duas
quantidades dadas, e o número das construções que poderão resolver a questão será
igual ao número das relações que a progressão buscada apresenta. Se tratamos, por
exemplo, de construir duas médias, KP , KQ , entre KA e KB , o que deve produzir
três relações
KA : KP : : KP : KQ : : KQ : KB ,
101
( KA está para KP assim como KP está para KQ assim como KQ está para KB ,
ou em notação atual,
KA KP KQ
=
=
)
KP KQ KB
é preciso ter
ângulo AKP = ângulo PKQ = ângulo QKB ,
o traço superior indicando que esses ângulos estão em posição homólogas sobre as
bases AK, PK, QK. É possível chegar a isso de três maneiras, quer dizer, dividindo
em três partes iguais: 1.º) o ângulo AKB; 2.º) o ângulo AKB, mais uma
circunferência; 3.°) o ângulo AKB, mais duas circunferências, o que dará as três
construções representadas pelas Figuras 2, 2A, 2B.
P
B
B
B
Q
P
K
A
Q
K
Q
Figura 2
K
A
Figura 2A
A
P
Figura 2B
5. Observamos agora que, para a existência das relações que acabaram
de ser estabelecidas entre as quantidades KA , KB , KC ,... , não é necessário que a
partida da direção, que constitui uma parte da essência dessas quantidades, seja
fixada num único ponto K; mas que essas relações aconteçam igualmente, se
supusermos que cada expressão, como KA , designe, em geral, uma grandeza igual a
KA, e tomada na mesma direção, como K' A' , K" A" A" ' K" ' , BK , ... (Figura 3).
102
K’
K’’
B
A’
A’’
K’’’ K
A’’’ A
Figura 3
De fato, seguindo, em relação a essa nova espécie de grandezas, os
raciocínios que foram feitos acima, veremos que, se KA , K' A' , K" A" ,... são
unidades positivas AK , A' K' , A" K" ,... serão unidades negativas; que a metade
proporcional entre + 1 e −1 poderá ser expressa por uma linha qualquer, igual às
anteriores, perpendicular à sua direção, e que se poderá tomar a vontade num dos
seus dois sentidos, e assim por diante. É possível, para ajudar as idéias a se fixar,
considerar um caso particular, como, por exemplo, se designamos por KA uma força
determinada tomada por unidade, e cuja ação se exerce sobre todos os pontos
possíveis, paralelamente à KA e no sentido de K a A, essa unidade poderá ser
expressa por uma linha paralela a KA, tomada a partir de um ponto qualquer. A
unidade negativa será uma força igual em ação, cujo efeito acontece paralelamente à
mesma linha, mas no sentido de A a K, e poderá igualmente ser expressa por uma
linha partindo de um ponto qualquer, a qual será tomada no sentido contrário à
anterior. Basta que as qualidades de positivas e de negativas, que atribuímos às
grandezas de certa espécie, dependam de direções opostas entre as quais exista uma
média, para que se possa aplicar a ela as idéias desenvolvidas adiante em relação aos
raios partindo de um centro único, e conceber, entre todas as linhas que representarão
tal espécie de grandezas, as mesmas relações que esses raios ofereceram.
6. Conseqüentemente a essas reflexões, poderá se generalizar o
sentido das expressões da forma AB , CD , KP ,..., e toda expressão similar
designará, depois, uma linha de certo comprimento, paralela a certa direção, tomada
num sentido determinado entre os dois sentidos opostos que essa direção apresenta, e
103
cuja origem está num ponto qualquer, essas linhas podendo elas mesmas ser a
expressão de grandezas de outra espécie.
Como elas devem ser o assunto das pesquisas que estão a seguir, está
a propósito de aplicar-lhes uma denominação particular. Nós as chamaremos linhas
em direção ou, mais simplesmente. linhas dirigidas. Elas serão assim distinguidas
das linhas absolutas, nas quais se considera somente o comprimento, sem nenhuma
atenção com a direção.
7. Relacionando às denominações de uso as diversas espécies de
linhas em direção que se engendrem de uma unidade primitiva KA , podemos ver que
qualquer linha paralela à direção primitiva é expressa por um número real, que
aquelas que lhe são perpendiculares são expressas por números imaginários ou da
forma ± a − 1 , e, enfim, que aquelas que são traçadas numa direção diferente das
duas anteriores pertencem à forma ± a ± b − 1 , que se compõe de uma parte real e
de uma parte imaginária.
Mas essas linhas são quantidades tão reais quanto a unidade primitiva;
elas derivam dela pela combinação da idéia da direção com a idéia da grandeza, e
elas são, nesse respeito, o que é a linha negativa, que não é de jeito nenhum vista
como imaginária. Os nomes de real e de imaginário não são atribuídos em
conseqüência das noções que acabam de ser expostas. É supérfluo observar que
aqueles de impossível e de absurdo, que encontramos às vezes, estão aí ainda mais
contrários. Aliás, é possível surpreender-se de ver que esses termos são empregados
nas ciências exatas diferentemente que para qualificar o que é contrário à verdade.
Uma quantidade absurda seria aquela cuja existência ocasionaria a
verdade de uma proposição errada: tal seria, por exemplo, a quantidade x que
satisfaria ao mesmo tempo às duas equações x = 2, x = 3, de onde seguiria 2 = 3.
Admitindo tal quantidade no cálculo, chegaríamos a conseqüências tão contraditórias
quanto à equação 2 = 3; mas os resultados obtidos pelo emprego das quantidades
ditas imaginárias estão em muita conformidade a aqueles que se deduzem dos
raciocínios dos quais se faz uso somente de quantidades reais. Então, podia-se
pressentir um vício nas denominações que colocavam na mesma classe as
quantidades realmente absurdas e as raízes de ordem par das quantidades negativas, e
104
é o sentimento secreto dessa inconveniência que foi o primeiro germe das idéias que
recebem seu desenvolvimento no Ensaio. Estamos então levados a empregar outras
denominações.
Observamos que, apesar de existir uma infinidade de espécies
diferentes de linhas derivadas da unidade primitiva, voltam-se, na prática do cálculo,
e pelos meios de que falaremos daqui a pouco, todas as linhas em direção às espécies
KA , KC , KB , KD . KA é a unidade primitiva ou positiva; KC é a unidade
negativa; KB e KD são as unidades médias (Figura 4).
B
C
K
A
D
Figura 4
Além disso, é conveniente reunir sob um mesmo nome as espécies
opostas, positivas e negativas recíprocas. A reunião de duas espécies assim relativas
formará uma ordem. Chamaremos ordem prima aquela que compõe a espécie
primitiva KA e sua negativa KC , e ordem mediana aquela que contém as espécies
médias KB e KD . Diremos também quantidade prima, quantidade mediana, para
quantidade da ordem prima, da ordem mediana. Essas denominações são tiradas da
geração dessas quantidades e da maneira como concebemos a existência delas.
Podemos dar o nome geral de intermedianas a todas as outras, que não é necessário
designar em particular.
8. Poderíamos também, de acordo com as idéias precedentes,
modificar a expressão das quantidades ditas imaginárias, de maneira a dar mais
simplicidade a essa parte da notação.
Quando escrevemos + a − 1 ou − a − 1 , indicamos explicitamente a
geração da quantidade
− 1 , o que pode ser bom em certos casos; mas,
105
habitualmente fazemos abstração desta geração, e
− 1 não é outra coisa a não ser a
espécie particular de unidade à qual aplicamos o número a. Não é então
essencialmente necessário lembrar esta geração frente aos olhos. Aliás, a expressão
a − 1 apresenta
− 1 como um fator que multiplica a; mas, no fundo,
− 1 , em
a − 1 , não é mais um fator do que + 1 em + a ou −1 em −a. Não escrevemos +1⋅a,
−1⋅a, mas simplesmente +a, −a e o signo que precede a indica ele próprio qual
espécie de unidade este número expressa. É possível, então empregar um meio
similar relativamente às quantidades imaginárias, escrevendo, por exemplo, ~a e ~/ a,
em vez de + a − 1 , − a − 1 , os signos ~ e ~/ sendo positivos e negativos recíprocos.
Para a multiplicação desses signos, observamos que, multiplicados por
eles mesmos, eles dão −, e que, conseqüentemente, multiplicados um pelo outro, eles
dão +. É possível, aliás, estabelecer uma regra única para todos os signos, que se
estende para um número qualquer de fatores.
Que atribuamos o valor 2 a cada um dos traços retos, sejam
perpendiculares, sejam horizontais, que entrem nos signos a serem multiplicados, e o
valor 1 a cada um dos traços curvos: teremos, para os quatro sinais, os valores
seguintes:
~=1
−=2
~/ = 3
+=4
Isso posto, tomaremos a soma do valor de todos os fatores e
subtrairemos 4 quantas vezes for necessário para que o resto seja um dos números 1,
2, 3, 4; esse resto será o valor do sinal do produto; e da mesma maneira, para a
divisão, subtrairemos a soma dos traços do divisor da soma dos traços do dividendo,
à qual se terá acrescido, se necessário, um múltiplo de 4, e o resto indicará o sinal do
quociente. Devemos notar que essas operações são multiplicações e divisões por
logaritmos; essa analogia se esclarecerá melhor.
Esses novos sinais abreviariam a notação (a quantidade m+ n − 1
expressando-se por m ~ n ou por m ~/ n, um dos sinais ~ ou ~/ substituiria os quatro
106
sinais +,
, −, 1) e tornaria talvez mais cômodo o cálculo das quantidades
imaginárias, no qual é às vezes fácil de cometer erros relativamente aos sinais (que
trate, por exemplo, de multiplicar − m − c por + n − cd . O produto desses dois
coeficientes é −mn; o produto dos dois radicais é − c d ; enfim o produto final é
+ mnc d . Pelos novos signos, as duas quantias a serem multiplicadas se
expressariam por ~ m c , ~/ n cd , ou por ~/ m c , ∼ n cd , e, por meio da regra
das linhas, obter-se-ia imediatamente + mnc d . Essa vantagem, se, fosse uma
vantagem, estaria nula para um calculador experiente, que lê um produto pela
simples observação dos fatores; mas nem todo mundo tem essa faculdade.). Faremos
uso deles no que está a seguir, sem pretender por isso que eles mereçam ser adotados.
Não escondemos o fato de que há um inconveniente inerente a todas as inovações,
mesmo àquelas que são fundadas na razão; mas nada seria aperfeiçoado se
rejeitássemos essas inovações pelo único motivo que elas ferem os hábitos, e é pelo
menos permitido tentá-lo.
9. Vamos agora examinar as diferentes maneiras como as linhas
dirigidas se combinam entre si por adição e multiplicação, e determinar as
construções que resultam disso.
Em primeiro lugar, supomos que se tenha que acrescentar à linha prima positiva KP
(Figura 5) a linha igualmente prima positiva KQ ;
K
S
Q
P
R
Figura 5
a construção não será diferente daquela que seria empregada para achar a soma das
linhas absolutas KP, KQ; ela consiste em tomar sobre o prolongamento de KP o
comprimento PR = KQ, e a soma buscada será KR. Teremos então
KP + KQ = KP + PR = KR .
107
Para acrescentar a uma linha prima negativa PK outra linha negativa QK , a
construção se fará como acima, mas em sentido inverso, e teremos
PK + QK = PK + RP = RK .
Em geral, se trata de acrescentar duas linhas da mesma espécie AB , AC , tomar-seá, na direção que pertence a esta espécie, PQ = AB, QR = AC, e teremos
PQ + QR = AB + AC = PR .
Trata-se de acrescentar à linha positiva KP à linha negativa QK,
tomaremos, a partir do ponto P e no sentido negativo, PS = QK, e teremos
KP + QK = KS = QP .
Seria a mesma coisa para uma ordem qualquer.
O princípio dessas construções é olhar o ponto de chegada P da linha
KP como o ponto de partida da linha a ser acrescentada, e tomar respectivamente,
como pontos de partida e de chegada da soma, o ponto de partida de KP e o ponto
de chegada da linha a ser acrescentada. Aplicando esse mesmo princípio às linhas
das outras ordens, concluiremos que os pontos K, P, R, sendo quaisquer, sempre
teremos
KP + PR = KR ;
e, como cada uma das linhas KP , PR pode igualmente ser a soma de duas linhas,
como KM + MP , PN + NR , os pontos M, N sendo à vontade, tiraremos daí esta
conclusão geral, que, A, B; M, N, O, ..., R, S, T sendo pontos quaisquer, temos
AB = AM + MN + NO + O... + ..... + ...R + RS + ST + TB .
108
Os pontos A, B, M,... podem coincidir, ou ser colocados de tal maneira que as linhas
AM , MN ,... passem várias vezes pelo mesmo traço, se cruzam entre si etc. Todas
essas circunstâncias são indiferentes.
10. Toda linha em direção pode ser assim decomposta de uma
infinidade de maneiras.
Querendo, por exemplo, decompor a linha KP (Figura 6)
B
M
K
P
N
A
Figura 6
em duas partes, uma da ordem KA , a outra da ordem KB : tiraremos, sobre KA, PN
paralela a BK, e teremos
KP = KN + NP .
Também teria sido possível tirar PM paralela a KA, e teríamos tido
KP = KM + MP ;
mas essas duas expressões são idênticas, pois KM = NP e KN = MP . Assim,
como há somente essas duas maneiras de operar a decomposição proposta,
concluímos que, se A e A’ são da ordem a, B e B’ da ordem b, a sendo diferente de b,
e que temos a equação
A + B = A’ + B’,
resultem disso as duas equações A = A’, B = B’.
109
11. Vamos passar para a multiplicação das linhas dirigidas, e, em
primeiro lugar, vamos propor construir o produto KB × KC (Figura 7),
D
C
K
B
A
Figura 7
cujos fatores são unidades não primas. Seja tomado ângulo CKB = ângulo AKB .
De acordo com o que foi dito acima, teremos
KA : KB : : KC : KD ,
de onde
KA × KD = KB × KC ;
mas
KA = + 1,
então
KB × KC = KD .
Assim, para construir o produto de dois raios dirigidos, é preciso
tomar, a partir da origem dos arcos, a soma dos dois arcos que pertencem a esses
raios, e a extremidade do arco-soma determinará a posição do raio-produto: é de
novo uma multiplicação logarítmica. Não é necessário mostrar que essa regra
acontece para um número qualquer de fatores.
Se os fatores não são unidades, poderemos colocá-los sob a forma m⋅ KB , n⋅ KC ,...,
m, n,... sendo coeficientes ou linhas primas positivas; e o produto será
(mn...) ⋅ ( KB ⋅ KC ...) = (mn...) ⋅ KP .
110
O produto da linha prima positiva (mn...) pelo raio KP não é nada
senão esta mesma linha desenhada na direção desse raio.
A divisão se fará por uma abordagem inversa, que seria supérfluo
detalhar.
32. O método que o Ensaio acaba de expor repousa sobre dois
princípios de construção, um para a multiplicação, a outra para a adição das linhas
dirigidas; e foi observado que, esses princípios, resultando de induções que não
possuem um grau suficiente de evidência, podiam, até presentemente, ser admitidos
somente como hipóteses, que suas conseqüências ou raciocínios mais rigorosos
poderão fazer admitir ou rejeitar.
Poderíamos ter dado mais desenvolvimento às idéias que levaram a
esses resultados. Poderíamos, por algumas aproximações, ter mostrado que certos
pontos de teoria, em Álgebra e em Geometria, têm por objeto princípios admitidos
por indução, e cuja certeza é estabelecida mais pela exatidão das conseqüências que
decorrem deles do que pelos raciocínios sobre os quais os fundamos; mas essa
discussão não teria acrescentado nada de essencial ao que precede, e limitamo-nos a
propor o método das direções como um meio de pesquisas, que, em certos casos,
pode ser usado utilmente, por causa da vantagem que têm as construções geométricas
de apresentar um quadro próprio para facilitar às vezes as operações intelectuais.
Será, aliás, sempre possível traduzir na linguagem habitual as
demonstrações retiradas desse método.
111
CAPÍTULO 5
A GEOMETRIA E O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Neste capítulo apresentamos algumas reflexões sobre abordagens de
ensino dos números complexos, reflexões essas resultantes dos estudos dos capítulos
anteriores e também de observações de nossa experiência como docente.
O tópico dos números complexos, de um modo geral, faz parte dos
programas do Ensino Médio e também dos programas da Licenciatura e Bacharelado
em Matemática e, por essa razão, é freqüente ocorrer que esse tópico deixe de ser
devidamente desenvolvido nesses dois níveis de ensino. No Ensino Superior por ser
considerado um tema elementar do Ensino Médio e, no Ensino Médio, por ser
considerado um conceito muito abstrato, de difícil compreensão e por ter poucas
aplicações. De fato, como encontrar aplicação para os números complexos se a
própria existência deles é motivada, logo no primeiro contato, como solução
“imaginária” de equações que “sabemos” não terem solução, como foi antes
demonstrada várias vezes?
Em consulta a livros do Ensino Médio ou por meio de testemunhos de
professores e alunos, pudemos constatar que a maneira mais comum de se introduzir
os números complexos é por meio da seguinte definição: Um número complexo é um
objeto da forma a + bi , onde a e b são números reais, i =
− 1 os quais satisfazem as
leis da álgebra (essa última parte significando que são válidas as propriedades que
definem um corpo).
A partir dessa definição é solicitado aos alunos que resolvam
exercícios do tipo: calcule
(2 + i )(3 + 4i ) ;
calcule
(2 + 3i ) etc.
1− i
E a maioria das
questões de provas sobre números complexos, inclusive em concursos, não passam
de variantes mais ou menos complicadas desse tipo de exercício.
Não há o que corrigir na definição acima citada, sem dúvida ela é
correta, mas a dificuldades está em introduzir esse conceito dessa forma. Essa
abordagem corresponderia a introduzir o conceito de número racional, para um
estudante que conheça números inteiros assim: um número racional é um objeto na
113
forma
a c
a
, sendo a e b números inteiros, com b ≠ 0, com = ⇔ ad = bc , os quais
b d
b
satisfazem as seguintes leis da álgebra:
seqüência propor os exercícios: calcule
a c ad + bc
a c ac
e
. E na
⋅ =
+ =
b d
bd
b d bd
2 5
+ , etc. A definição é correta, mas ela não
3 9
possibilitaria resolver todas as operações no campo dos racionais.
Vale perguntar se alguém, em plena posse do seu bom senso e com
um mínimo de consideração pelos seus alunos, faria tal barbárie? Pois é, infelizmente
mais ou menos assim que, em geral, são introduzidos os números complexos.
Um outro comentário que desejamos fazer é sobre a introdução da
igualdade i =
− 1 , que por vezes vem acompanhada da “esclarecedora”
complementação: sendo i é a unidade imaginária. O que esperar dos estudantes que
até aquele momento tinham por conhecimento que o quadrado de um número não
pode ser negativo, e, como mágica, vê seu professor lhe apresentar um número cujo
quadrado é −1? E, ainda considerá-lo como um número “imaginário”? A resposta só
poderia ser: esperar que o estudante principiante não atribua alguma utilidade aos
números complexos na Matemática ou na Física, ou muito menos em outra área de
aplicação da Matemática. Pode-se mesmo esperar que eles duvidem da existência de
tais números e os considere uma invenção dos matemáticos sem muito significado.
Os capítulos anteriores desta dissertação possibilitam um estudo
aprofundado sobre os números complexos, e o porquê eles são tratados dessa
maneira. A História revela quão importante foi a representação geométrica para a
legitimação dos números imaginários.
É na obra Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio
secunda, de 1831, que Gauss apresenta seus estudos relacionados à representação dos
números complexos. É também nesse trabalho que surge pela primeira vez a forma
a + bi e a terminologia número complexo. Portanto, foi Gauss quem outorgou aos
números complexos o “direito de cidadania”.
Hoje em dia, é bastante claro, para todos que trabalham com
Matemática, o papel central que exercem os números complexos e suas inúmeras
aplicações. O “segredo” está na multiplicação dos complexos, que é essencialmente
uma composição de rotações. É por isso que os números complexos aparecem
114
inevitavelmente em muitos problemas que envolvem rotação, círculo, funções
circulares (trigonométricas), movimentos periódicos, etc. É por isso também que
encontramos os números complexos no estudo de circuitos elétricos, corrente
alternada, astronomia, motores e mecânica quântica.
Com subsídio aos estudos apresentados anteriormente vamos, de
maneira resumida, transpor para a linguagem e simbolismo atuais o que Wessel e
Argand perceberam. E, a partir disso, observarmos que, com um toque sutil da
geometria, é possível, dar à denominação números complexos apenas o significado
de um conceito matemático, e não, a atribuição do significado semântico da palavra
complexo.
Sem nos referirmos, por enquanto, à intrigante raiz quadrada de −1, o
número complexo z = a + bi fica perfeitamente determinado pelo par ordenado de
números reais (a , b ) . E esse, por sua vez, pode ser visto como um ponto P no plano
cartesiano (uma vez fixados os eixos), ou como pelo segmento orientado OP . Com
essa identificação, o seu módulo é a distância de P à origem, ou o módulo do vetor
cujo representante é OP . O conjugado de z é o simétrico de P em relação ao eixo das
abscissas, conforme mostra a Figura 1:
y
P = (a, b) = a + bi = z
1
1
O
x
(a, −b) = conjugado de z
Figura 1
O produto de z pelo número real t, ou seja, (ta , tb) , é a imagem de P
pela homotetia de centro na origem e razão t, conforme mostra a Figura 2:
115
y
tz
z
1
1
O
x
Figura 2
O unitário
z
do número complexo não nulo é o vetor representado
z
por OP , igual a (cos θ, senθ) , sendo θ o “argumento” de z conforme mostra a Figura
3:
y
z
1
z
= (cos θ, senθ)
z
θ
O
1
x
Figura 3
Segue que cada número complexo pode ser escrito na sua forma
trigonométrica: z = z (cos θ, senθ) .
116
Considerando os números complexos z = a + bi e w = c + di, a soma
z + w = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i traduz-se na soma vetorial (a , b ) + (c , d ) =
(a + c , b + d ) , e pode ser visualizada pelo clássico paralelogramo da Figura 4:
y
z+w
w
z
1
1
O
x
Figura 4
Considerando os números complexos z = a + bi e w = c + di, o
produto, pelas leis usuais da Álgebra, é
z ⋅ w = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc ) i .
Se considerarmos os números complexos z = a + bi e w = c + di na sua
forma trigonométrica e efetuarmos a multiplicação, podemos verificar que resulta na
multiplicação dos módulos e na soma dos argumentos, ilustrada pela Figura 5. Nela,
se vê que z⋅w está para w assim como z está para 1, ou seja, multiplicar seu módulo
pelo de z (uma homotetia de razão z ) e somar o argumento de z a seu argumento
(uma rotação de amplitude e sentido iguais ao argumento de z).
117
z⋅w
w
z
1
0
Figura 5
Por essa abordagem, o problemático i nada mais é do que o ponto P
(0, 1), ou o vetor definido representado pelo segmento orientado da origem a P, ou
ainda, o complexo unitário que tem argumento
π
rd (ou 90º). Mais importante: seu
2
papel na multiplicação é somar um angulo reto ao argumento de w, ou seja, girar esse
fator de um ângulo reto positivo, como se vê também algebricamente: i⋅z = (−b, a) =
−b + ai, conforme apresenta a Figura 6.
y
z
1
O
x
Figura 6
Assim, multiplicar um número complexo z = (a, b) = a + bi por
i 2 = i ⋅ i é girá-lo duas vezes de um ângulo reto positivo, o que equivale a girá-lo de
meia volta, obtendo i 2 ⋅ z = (− a , − b ) = − z = (− 1) ⋅ z , ou seja, o simétrico de z em
118
relação à origem, o mesmo que seria obtido se multiplicássemos z por −1, conforme
mostra a Figura 7:
y
i⋅z
z
i
1
x
i⋅i⋅z = −z
Figura 7
Dessa forma fica claro que i 2 = −1 , longe de ser uma monstruosidade
incompreensível. Traduz um fato geométrico bastante simples: aplicar duas vezes
uma rotação de um ângulo reto em torno da origem, o que é o mesmo que efetuar
uma simetria de centro na origem (ou uma reflexão em torno da origem).
Na realidade, podemos dizer que essa abordagem geométrica está
incorporada ao ensino, pois nada mais é do que a forma trigonométrica ou polar dos
números complexos. Mas não é o que, geralmente, se faz. Na realidade o ensino dos
números complexos permanece ainda excessivamente preso à sua origem histórica e
parece que ainda não se beneficiou como poderia ou deveria da revolução iniciada há
200 anos por Wessel, Argand e Gauss. O enfoque algébrico permite logo a operar
com os números complexos sem dificuldade. Mas a experiência tem mostrado que,
quando se perde a chance de introduzir os números complexos como entes
geométricos, em geral ela não é recuperada, mesmo quando, mais tarde, se introduz
(quando se introduz) a forma trigonométrica.
Na abordagem algébrica podem-se inferir certas conseqüências para a
aprendizagem: o iniciante pode permanecer com uma visão demasiadamente formal
e algebrizante, deixando de se beneficiar da riqueza da visualização e de emprestar
um “significado” aos números complexos; dificilmente ocorrerá ao estudante aplicar
119
números complexos a problemas de Geometria. O problema da ilha do tesouro
enunciado abaixo, ilustra esse argumento:
Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem
como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. A partir da árvore, medem o
número de passos até a primeira pedra. Em seguida dobram segundo um ângulo de
90o à direita, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde
fazem uma marca. Voltam à árvore, medem o número de passos desde a árvore até a
segunda pedra, dobram à esquerda, segundo um ângulo de 90o, e caminham o mesmo
número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca. Finalmente,
enterram o tesouro exatamente no ponto médio entre as duas marcas.
Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o
tesouro, mas, para sua decepção, constatam que a árvore não existe mais (o vento, a
chuva e os depredadores a haviam arrancado). Então um dos piratas decide arriscar.
Escolhe ao acaso um ponto da ilha e diz: “Vamos imaginar que a árvore estivesse
aqui.” Repete então os mesmos procedimentos de quando havia enterrado o tesouro:
conta os passos até a primeira pedra, dobra à direita, etc., e encontra o tesouro.
A pergunta é: esse pirata era sortudo ou um matemático?
Esse problema foi apresentado num curso sobre números complexos
(CARNEIRO, 2001, p.3.), e para “alunos” que tinham bastante experiência –
professores de Matemática, e causou uma comoção. Na verdade, todos admitiram
que, se o curso não fosse sobre números complexos, a nenhum dos presentes teria
ocorrido a idéia de resolver esse problema usando a álgebra dos números complexos.
E, mesmo depois da sugestão para fazê-lo, quase ninguém conseguiu.
Qual é a relação entre o problema e os números complexos? Tudo se
baseia em dois fatos fundamentais:
1) no plano complexo, a diferença entre dois complexos traduz o vetor
com um representante com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo; é o
que se costuma formular por: AB = B − A ;
2) multiplicar um complexo pelo número i (a “unidade imaginária”)
equivale a girá-lo de um ângulo reto no sentido positivo.
A Figura 8:
120
Q
P
A
Q’
T
P’
Figura 8
Essa figura ilustra a situação do problema. Sendo A a árvore, e P e Q
as pedras, o tesouro está no ponto T , ponto médio do segmento de extremidades P ' e
Q ' . Considerando os pontos pertencentes ao plano complexo, não importando onde
esteja situada a origem, tem-se:
T=
P ' +Q ' P − i( P − A ) + Q + i( Q − A ) P + Q Q − P
=
=
+i
2
2
2
2
Esse resultado não só demonstra que a localização do tesouro
independe da posição da árvore (o pirata era um matemático...), como também
permite localizá-lo como o terceiro vértice de um dos triângulos retângulos isósceles
com hipotenusa PQ.
Q
P
T
A adoção de uma abordagem geométrica dos números complexos não
exclui o uso algébrico dos números complexos, aspecto importante. À primeira vista,
pode parecer que se os números complexos forem apresentados como pares
ordenados de números reais, como se faz na abordagem geométrica, não seria
perceptível como o corpo dos complexos é uma extensão do corpo dos reais.
121
Na realidade, o corpo dos complexos tem uma cópia perfeita dos reais,
o eixo das abscissas do plano cartesiano.
Na seqüência, buscaremos mostrar como um assunto tão abstrato
revela suas raízes na vida comum, tornando absolutamente compreensíveis e até
intuitivas as idéias e procedimentos que levaram ao surgimento desse novo tipo de
número. Vale destacar que não há, nessa exposição preocupação com o formalismo.
Primeiramente, vamos nos colocar na posição de Gauss e definir as
operações com os números complexos. Temos um novo conjunto de números que foi
chamado C (conjunto dos números complexos), formado por todos os pares
ordenados
(a , b) ,
onde a e b são números reais. Esses pares ordenados são
representados no plano, facilitando sua visualização.
No conjunto C existe um par ordenado muito particular, que é
i = (0,1) . Por algum motivo, vamos supor que esse número i é tal que i 2 = −1 ; por
enquanto, porém, nada temos que nos autorize afirmar que i é efetivamente a raiz
quadrada de −1. Para isso, será preciso definir as operações nos números complexos,
ou seja, no conjunto dos pares ordenados.
Enumeremos o que se deve esperar da definição das operações em C
de modo que a transição do “mundo antigo” para o “mundo novo” seja o mais suave
possível. Vejamos:
1. Queremos que C contenha ℜ
Essa condição já fica satisfeita mediante a identificação que se pode fazer do
número real a ao par ordenado (a , 0) , ambos representados pelo mesmo ponto no
plano de Argand-Gauss. É o mesmo que dizer que a reta está contida no plano.
Notemos que o fato de que um número real a tem a mesma representação
geométrica que o par ordenado (a , 0) foi suficiente para identificar a com (a , 0) .
Escrevemos
a = (a , 0) , embora formalmente tenhamos à esquerda um elemento de um espaço
de dimensão um e à direita, um elemento de um espaço de dimensão dois.
2. Queremos que C preserve as propriedades já válidas para os números reais.
Por que desejamos preservar tais propriedades no campo complexo? Porque, de
acordo com o item 1 queremos garantir que ℜ seja imerso em C, mediante a
122
identificação que se faz entre o número real a e o par ordenado (a , 0) . Não teria
sentido que uma operação de adição em C, isto é, entre pares ordenados, não
funcionasse no sentido usual, quando restrita à reta real.
Mas estender as propriedades do campo real ao campo complexo dependerá da
forma como forem definidas as operações em C, como adição, multiplicação,
potenciação etc.
As propriedades de um corpo tais como a associativa, a existência do elemento
neutro, a existência do inverso que as duas operações adição e multiplicação
satisfazem para o conjunto dos reais entre outras, certamente é desejável que
também sejam válidas no novo conjunto de números que estenda o antigo.
Entretanto (e esse é um fato curioso e muitas vezes ignorado), como veremos
mais adiante, nem todas as propriedades dos números reais, como, por exemplo,
as propriedades de ordem, poderão ser estendidas para o conjunto dos números
imaginários.
3. Queremos que em C os problemas propostos inicialmente, sobre raízes quadradas
de números negativos, insolúveis em ℜ, possuam solução em C.
O nosso ponto de partida é o que sabemos a respeito de operações no conjunto
dos reais e as propriedades que essas satisfazem.
Igualdade
Inicialmente, há necessidade de se estabelecer o significado de
igualdade entre dois números complexos são iguais. Definimos então da seguinte
forma:
(a , b) = (c , d )
⇔
a=c e b=d .
Notemos que não há nada arbitrário nessa definição: ela apenas exige que os dois
pares sejam representados pelo mesmo ponto no plano.
Adição de pares ordenados
Agora, precisamos dizer o que é
(a , b ) + (c , d ) .
A definição é a
seguinte:
(a , b) + (c , d ) = (a + c , b + d )
123
Essa definição é “boa”, no sentido que veremos a seguir: primeiro, ela
garante que a soma de dois números complexos é ainda um número complexo
(propriedade do fechamento); em seguida, ela permite verificar todas as propriedades
usuais da operação adição do corpo dos reais: associatividade, comutatividade,
elemento neutro, existência do oposto.
Por exemplo, o elemento neutro da adição, face à definição acima,
será o par (0, 0) . Isto é:
(a , b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a , b) .
Existência do oposto
Notemos que o oposto do par (a , b ) é (− a , − b ) , visto que a soma
deles resulta em (0, 0) .
Representamos esse fato, escrevendo: – (a , b ) = (− a , − b ) .
A forma algébrica do número complexo
Observemos que, dado um número complexo z =
(a , b) ,
então
podemos também escrever:
z = (a , 0) + (0, b ) = (a , 0) + b⋅ (0,1) = a + b.i
Essa é a maneira mais comum de escrever um número complexo:
z = a + b.i (que é a denominada forma algébrica do número complexo).
Devemos observar que está implícita nessa forma a identificação entre
(a , 0) e a, por motivo já explicado anteriormente. Outra coisa interessante de se notar
é a identificação do par (0, b ) com o produto do número real b pelo par (0,1) .
De fato, o produto de um número real por um par ordenado é definido
dessa maneira, ou seja, resulta no par ordenado cujos membros são os respectivos
membros do par ordenado original multiplicados pelo coeficiente b.
Isto é, por definição, se λ é um número real qualquer, temos:λ⋅ (a , b ) =
(λ ⋅ a , λ ⋅ b ) .
Subtração de pares ordenados
Agora podemos definir facilmente a subtração de números complexos:
se z1 = (a , b ) e z 2 = (c , d ) , então
124
z1 – z 2 = z 2 + (– z 2 )
isto é, definimos a subtração entre z1 e z 2 como a soma de z1 com o oposto de z 2 .
Isso, naturalmente, equivale a escrever:
(a , b) − (c , d ) = (a − c , b − d )
Multiplicação de pares ordenados
Consideremos agora dois números complexos
z1 =
(a , b)
e
z 2 = (c , d ) ; como deveríamos definir o produto z1 ⋅ z 2 ? Há uma certa “tentação” de
definir assim:
z1 ⋅ z 2 = (a ⋅ c , b ⋅ d )
ou seja, multiplicando-se as primeiras coordenadas, e depois as segundas
coordenadas, para com esses produtos formar o par ordenado resultante. Afinal, na
adição foi feito algo semelhante e lá funcionou bem. Além disso, parece mais
simples, e de fato é. Nesse caso, porém, a simplicidade é enganosa.
De acordo com essa definição, teríamos, por exemplo:
(3, 0)⋅(0, 5) = (3⋅0, 0⋅5) = (0, 0)
Ou seja, teríamos o produto de dois números não nulos sendo nulo, quando entre os
números reais isso não ocorre, vigorando ali a chamada “Lei do Cancelamento”, que
diz: se o produto de dois números vale zero, então pelo menos um deles deve valer
zero.
Não é desejável que a multiplicação em C deixe de satisfazer qualquer
propriedade do corpo ℜ dos reais. Poderíamos mostrar ainda muitos outros
inconvenientes da “definição” sugerida inicialmente.
Se essa definição não serve, então qual devemos adotar?
Sejam z = (a , b ) e w = (c , d ) . Sabemos que também podemos escrever assim:
z = a + b.i
e
w = c + d.i
125
Se admitirmos que i 2 = −1 , podemos ter uma noção de como deveria ser definido o
produto de números complexos. Vejamos:
z⋅w = (a , b ) ⋅ (c , d ) = (a + b⋅i)⋅(c + d⋅i)
(a + b⋅i)⋅(c + d⋅i) = a⋅c + a⋅d⋅i + b⋅c⋅i + b⋅d⋅i⋅i
Como estamos supondo que i⋅i = –1, podemos escrever, agrupando os termos em i:
(a + b⋅i)⋅(c + d⋅i) = (a⋅c – b⋅d) + (a⋅d + b⋅c)⋅i
Ou, em notação de pares ordenados:
(a , b) ⋅ (c , d ) = (a⋅c – b⋅d) + (a⋅d + b⋅c)
Essa, efetivamente, é a definição de produto de números complexos, ou de pares
ordenados de reais.
Para chegarmos a essa definição, utilizamos um processo em que,
além de identificar cada número real a com o par ordenado (a , 0) , já consideramos
também como hipótese que i 2 = (0,1) = −1 e, além disso, foi usada também a
2
propriedade associativa da multiplicação antes mesmo de definir essa operação em
C.
O fato é que a definição adotada corresponde ao que se espera, ou seja
que os complexos satisfaçam para a operação multiplicação as mesmas do corpo dos
reais!
É uma tarefa simples, porém, cheia de detalhes, verificarmos que a definição acima é
inteiramente compatível com as propriedades associativa, comutativa, distributiva,
existência do inverso de um par ordenado não nulo etc.
Para encaminhar, vejamos a propriedade comutativa. Temos:
(a, b) ⋅ (c, d) = (a⋅c – b⋅d) + (a⋅d + b⋅c)
(c, d) ⋅ (a, b) = (c⋅a – d⋅b) + (c⋅b + d⋅a)
Mas, entre números reais, a propriedade comutativa da multiplicação e da adição é
válida. Podemos então escrever
126
(c, d) ⋅ (a, b) = (a⋅c – b⋅d) + (a⋅d + b⋅c)
Obtemos, então, o mesmo resultado, mostrando que (a, b) ⋅ (c, d) = (c, d) ⋅ (a, b).
A solução do enigma
Mas, será verdade que, com a definição adotada, teremos afinal i 2 = –1?
Vejamos:
i 2 = i ⋅ i = (0, 1) ⋅ (0, 1) = (0⋅0 – 1⋅1, 0⋅1 + 1⋅0) = (–1, 0) = – 1
Isso mostra que está resolvido, em C, o problema da raiz quadrada de números reais
negativos. Além disso, ganhamos outra raiz para a resolução de equações, que é – i:
(–i)2 = (–i)⋅(–i) = (0, –1)⋅(0, –1) = (0⋅0 – (–1)⋅(–1), 0⋅ (–1) + (– 1)⋅0) = (–1, 0) = – 1
Finalmente, mostraremos como, do exposto até agora, derivam-se
facilmente outros conceitos importantes da teoria dos números complexos. Veremos
também que a identificação entre um número real a e o par ordenado (a, 0), que são
representados pelo mesmo ponto no plano de Argand-Gauss, o que permite a
expressão a = (a, 0), pode ser melhor fundamentada.
Um pouco de álgebra dos números complexos
a) Conceito de conjugado de um número complexo
Por definição, chama-se conjugado de um número complexo
z = a + b ⋅ i o número complexo: z = a − b ⋅ i . Em termos de pares ordenados, sendo z
= (a, b), tem-se z = (a , − b ) . Observemos que o afixo de z (isto é, a representação
gráfica do conjugado de z) consiste num ponto do plano que é simétrico ao afixo de
z, em relação ao eixo real.
Esse
conceito
apresenta
uma
propriedade
interessante:
2
z ⋅ z = a 2 + b2 (ou, equivalentemente, z ⋅ z = z ). Por exemplo, se z = 1 + 2⋅i, então
seu conjugado é z = 1 − 2⋅i, e o produto z⋅ z vale 5. Vamos conferir:
(1 + 2⋅i) ⋅ (1 − 2⋅i) = 12 + 22= 5
127
b) Divisão de números complexos
Vejamos como a abstração está presente: queremos dividir, por
exemplo, z1 = 2 + 3 ⋅ i por z2 = 1 + 2 ⋅ i . Em termos de pares ordenados, isso significa
dividir (2, 3) por (1, 2) .
Dividir pares ordenados − observemos onde estamos sendo conduzidos com
desenvolvimento da teoria dos números complexos!
Recapitulemos um pouco:
ƒ
Primeiro, tivemos que definir o produto de dois pares ordenados, coisa que já deu
bastante trabalho, pois precisávamos encontrar uma definição que estendesse a
multiplicação de números reais para o campo dos números complexos, tendo em
vista ainda que era nosso objetivo obter, nesse novo conjunto de números, a raiz
quadrada de −1.
ƒ
Depois, tivemos que verificar que as propriedades associativa, comutativa,
distributiva, etc., da multiplicação e da adição de números reais, continuavam
válidas no campo complexo. Finalmente, tivemos que verificar que a unidade
imaginária i merecia mesmo esse nome, ou seja, i2 = −1.
ƒ
E agora estamos querendo dividir pares ordenados... felizmente, essa divisão é
definida em termos da multiplicação, aliás seguindo o caminho do campo real,
quando dizemos: dividir o número d1 pelo número d2 diferente de zero significa
obter o número m tal que d1 = m⋅d2.
ƒ
Por exemplo: 19 dividido por 2 vale 9,5 porque 9,5 ⋅ 2 = 19.
De maneira inteiramente análoga definimos esse conceito em C, ou
seja, dividir um número complexo z1 = a + b ⋅ i pelo número complexo não nulo
z2 = c + d ⋅ i significa obter um terceiro número complexo w = p + q ⋅ i de modo que
z1 = w ⋅ z2 . Nesse caso, escrevemos:
z1
= w.
z2
Portanto, a divisão de z1 por z2 (não nulo) implica em obter um
terceiro número, w, tal que z1 = w ⋅ z2 . Será que sempre existe esse número? Nesse
caso, como é ele?
128
Operacionalmente, a determinação de w utiliza o conceito de
conjugado de um número complexo, visto acima. Isto é, precisamos obter
w = p + q ⋅ i tal que:
w⋅z2 = z1
ou seja:
(p + q⋅i) ⋅ (c + d⋅i)= a + b⋅i.
Multipliquemos a igualdade membro a membro pelo conjugado de z 2 , isto é, por
(c − d ⋅ i ) :
( p + q ⋅ i ) ⋅ (c + d ⋅ i ) ⋅ (c − d ⋅ i ) = (a + b ⋅ i ) ⋅ (c − d ⋅ i )
( p + q ⋅ i ) ⋅ (c 2 + d 2 ) = (a ⋅ c + b ⋅ d ) + (b ⋅ c − a ⋅ d ) i
p + q ⋅i =
(a ⋅ c + b ⋅ d ) + (b ⋅ c − a ⋅ d ) i
c2 + d 2
Observação: Isto é possível, pois z2 = c + d ⋅ i não é nulo.
Identificando as partes reais e imaginárias, temos:
p=
(a ⋅ c + b ⋅ d )
2
c +d
2
e q=
(b ⋅ c − a ⋅ d )
c2 + d 2
m termos de pares ordenados, podemos escrever:
(a , b ) = ⎛ a ⋅ c + b ⋅ d , b ⋅ c − ad ⎞
⎜
⎟
(c , d ) ⎝ c 2 + d 2 c 2 + d 2 ⎠
Essa fórmula demonstra que sempre existe, em C, o resultado da
divisão de um número complexo por outro, desde que esse último seja diferente de
(0, 0).
Observação: Na prática, para dividir dois números complexos, basta multiplicar
numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo:
129
(
)
2 + 3 ⋅ i (2 + 3 ⋅ i )(1 − 2 ⋅ i ) 2 − 4 ⋅ i + 3 ⋅ i − 6 ⋅ i 2 8 − i 8 1
=
= − ⋅i
=
=
1 + 2 ⋅ i (1 + 2 ⋅ i )(1 − 2 ⋅ i )
5
5 5
12 + 22
(
)
⎛8 1 ⎞
Podemos “tirar a prova” facilmente; basta multiplicar (1 + 2 ⋅ i ) por ⎜ − ⋅ i ⎟ ; o
⎝5 5 ⎠
resultado será realmente (2 + 3 ⋅ i ) .
Embora o conceito de divisão de números complexos tenha se
inspirado nos números reais, o desenvolvimento da teoria dos números complexos
realmente abre caminhos inteiramente novos de percepção e significado.
c) A forma polar (ou trigonométrica) dos números complexos
Inicialmente, vejamos o que se entende por módulo de um número
complexo z = a + b ⋅ i .
Define-se módulo de z e denota-se por z o seguinte número positivo ou nulo
z = a2 + b2 .
Agora, observemos a Figura 9:
y
P (a, b)
b
z
α
O (0, 0)
a
x
Figura 9
z = a2 + b2
Temos:
cos α =
a
z
senα =
b
z
130
a = z ⋅ cos α
Logo:
b = z ⋅ senα
z = a + b ⋅ i = z ⋅ cos α + z ⋅ senα ⋅ i
A forma polar (ou trigonométrica) de z = a + b ⋅ i é:
z = z ⋅ (cos α + i ⋅ senα )
Vemos que um número complexo não nulo z = a + b ⋅ i (ou z = (a, b)), ao ser
representado no plano de Argand-Gauss, dá origem a uma figura na qual se forma
um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida exatamente igual ao módulo de z,
sendo α o ângulo formado pelo eixo real e o segmento que une a origem O = (0, 0)
com o ponto do plano que representa z (ponto esse denominado afixo de z).
A Figura 9, de forma bem detalhada, mostra que um número complexo não nulo
z = a + b ⋅ i pode ser representado na forma polar, (ou forma trigonométrica), que é a
seguinte: z = z ⋅ (cos α + i ⋅ senα ) .
Essa fórmula permite resolver completamente a potenciação e a
radiciação no campo dos números complexos, operações essas que são definidas de
maneira análoga às correspondentes operações do campo real.
Isso se deve ao fato de que, para elevar um número complexo ao
quadrado, por exemplo, obtemos um resultado incrível que facilita grandemente esse
tipo de operação.
Temos:
z = z ⋅ (cos α + i ⋅ senα )
z2 = z
z2 = z
2
2
⋅ (cos α + i ⋅ senα )2
(
⋅ cos 2 α − sen 2 α + 2 ⋅ i ⋅ senα ⋅ cos α
)
Lembrando, da trigonometria, que
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
e
sen2α = 2 ⋅ senα ⋅ cos α
podemos escrever:
131
z2 = z
2
⋅ (cos 2α + i ⋅ sen2α )
Uma fórmula incrível: ela nos informa que, para elevar um número
complexo ao quadrado, não apenas o seu módulo deve ser elevado ao quadrado, mas
também se deve duplicar seu argumento (isto é, o ângulo formado pelo segmento OP
e o eixo real, sendo O = (0, 0) e P = afixo de z = a + b⋅i).
E o mais importante: essa fórmula se preserva para qualquer outro
expoente inteiro, positivo ou negativo.
Em outras palavras, pode-se provar que:
zn = z
n
⋅ (cos nα + i ⋅ sen nα )
Curiosidades:
• Notemos que essa fórmula confirma um fato comum para números reais, isto é:
números reais positivos elevados a qualquer expoente resultam em valores positivos,
mas números reais negativos somente quando elevados a expoentes pares resultam
em valores positivos; quando elevados a expoentes ímpares resultam em valores
negativos.
Podemos verificar esse fato na última fórmula acima, pois: os números reais
positivos, “vistos” como números complexos, formam ângulo de 0o com o eixo x, por
isso, quando elevados a qualquer expoente sempre estarão sobre o lado positivo do
eixo x, visto que sem 0o = 0 e cós 0o = 1
Já os números reais negativos, “vistos” como números complexos, formam ângulo de
180o com o eixo x, e por isso, quando elevados a expoentes pares, estarão sobre o
lado positivo do eixo x, já que formarão ângulos congruentes com 0o, portanto com o
seno valendo zero e o cosseno valendo 1.
Mas, se elevados a expoentes ímpares estarão sobre o lado negativo do eixo x, visto
que formarão ângulos congruentes com 180o, portanto com o seno valendo zero e o
cosseno valendo −1.
• Suponha que z = 1, isto é, o número complexo possui módulo unitário. Nesse
caso, seu afixo (o ponto que o representa no plano de Argand-Gauss) estará numa
132
circunferência de raio unitário centrada na origem. Substituindo
z
por 1 na
fórmula da potenciação, temos:
(cos α + i ⋅ senα )n = (cos nα + i ⋅ sen nα )
• Um resultado notável é a denominada fórmula de De Moivre (em homenagem ao
notável matemático francês). Se imaginarmos números complexos de módulo
unitário como um vetor que tem como representante um segmento centrado na
origem e com extremidade em uma circunferência também de raio unitário, essa
fórmula mostra que ao elevar tais números ao quadrado, cubo etc., tais segmentos
giram no sentido anti-horário, respectivamente duplicando, triplicando etc. os
ângulos que originalmente eles formavam com o eixo real.
Em particular, temos: i = 0 + 1⋅i = cos 90o + i⋅sen 90o
Vejamos as cinco primeiras potências de i:
i1 = cos 90o + i⋅sen 90o = 0 + 1⋅i = i
(é a própria unidade imaginária)
i2 = cos 180o + i⋅sen 180o = −1 + 0⋅i = −1
(seu afixo está sobre o eixo real,
formando ângulo de 180o com o eixo real)
i3 = cos 270o + i⋅sen 270o = 0 + (−1)⋅i = −i (seu afixo está sobre o eixo imaginário,
formando ângulo de 270o com o eixo real)
i4 = cos 360o + i⋅sen 360o = 1 + 0⋅i = 1
(seu afixo está sobre o eixo real,
formando ângulo de 360o com o eixo real)
i5 = cos 450o + i⋅sen 450o = 0 + 1⋅i = i
(seu afixo está sobre o eixo imaginário,
formando ângulo de 450o com o eixo real)
e assim por diante, ciclicamente, pois os ângulos obtidos ficam congruentes com os
já obtidos em etapas anteriores.
d) Radiciação em C
A fórmula z n = z
n
⋅ (cos nα + i ⋅ sen nα ) , da potência enésima de
z = z ⋅ (cos α + i ⋅ senα ) , não será aqui demonstrada; apenas verificamos a validade
para o caso particular n = 2. Ela é válida, porém, para qualquer valor inteiro de n e
sua demonstração pode ser conferida em bons livros de Matemática do Ensino
Médio.
133
Consideremos agora o problema da extração de raízes não apenas
quadradas, mas de qualquer índice, no campo complexo.
Seja z um número complexo genérico, na forma trigonométrica
z = z ⋅ (cos α + i ⋅ senα ) .
Queremos obter outro número complexo,
w = w ⋅ (cos β + i ⋅ senβ) ,
que seja uma raiz enésima de z. Isto é, w deve ser tal que satisfaça a seguinte
igualdade: wn = z.
Solução:
Pela fórmula da potenciação, podemos escrever que:
w n = w ⋅ (cos nβ + i ⋅ sen nβ)
n
Logo:
w
n
= z
cos nβ = cos α ( I )
sen nβ = sen α ( II )
A solução será dada por:
w = z
1
n,
ou seja, o módulo de w será a raiz enésima do módulo de z, o que não é nenhum
problema, pois trata-se da extração de raiz de um número positivo.
E quanto ao ângulo β que o vetor representado por OW forma com o
eixo real? (OW é o segmento que une a origem do plano de Argand-Gauss ao afixo
do número complexo w).
Revisando um pouco de Trigonometria, não é difícil ver que a solução
do sistema de equações trigonométricas ( I ) e ( II ) será dada por:
nβ = α + k ⋅ 360 o ,
Logo, β =
onde
k = 0, 1, 2, 3, ...
(α + k ⋅ 360 )
o
n
Por exemplo, determinemos as raízes cúbicas da própria unidade imaginária i.
134
Temos:
i = 0 + 1⋅i = cos 90o + i⋅sen 90o
Seja w = w ⋅ (cos β + i ⋅ senβ) . Então, se w é uma raiz cúbica de i, e como i tem
módulo 1, teremos necessariamente w = 1. Portanto, w = cos β + i ⋅ senβ .
Tudo que precisamos é obter os valores de β. Pela aplicação da fórmula de De
Moivre, teremos:
w 3 = cos 3β + i ⋅ sen 3β
Logo,
3β = 90 o + k ⋅ 360 o
assim,
β = 30 o + k ⋅120 o ,
com k variando de 0 a 2, porque valores de 3 em diante não representam novas
soluções.
Portanto, as soluções são:
k = 0 ⇒ w0 = cos 30o + i ⋅ sen 30o
k = 1 ⇒ w1 = cos 150 o + i ⋅ sen 150 o
k = 2 ⇒ w2 = cos 270 o + i ⋅ sen 270 o
Finalizando, queremos mais uma vez recordar que, embora seja
repleto de descobertas fascinantes, não nos interessa tanto abarcar, neste trabalho,
todo o desenvolvimento da teoria dos números complexos, a dedução das fórmulas, a
aplicação delas na resolução de problemas etc.
Interessa-nos principalmente desvendar os mistérios do assunto, como
tudo isso surgiu e se desenvolveu ao longo dos séculos. E foram séculos mesmo.
Hoje, como herdeiros de todas essas descobertas, desse intenso trabalho
desenvolvido por matemáticos geniais, não podemos ser meros aplicadores de
fórmulas!
Vejamos, porém, dois pontos interessantes, que raramente são
comentados.
135
Imersão de ℜ em C
Um ponto que ficou pendente é a melhor fundamentação da identidade
que se faz entre um número real x e o número complexo (x , 0) .
O que permitiu tal identificação, até agora, foi simplesmente o fato de
que um número real x tem a mesma representação gráfica que o par ordenado (x , 0) ,
escrevendo-se então: x = (x , 0) . Mas, como já dissemos, devemos ter em mente que x
é um elemento de um espaço vetorial de dimensão um, e (x , 0) é um elemento de um
espaço vetorial de dimensão 2.
Quem nos garante que toda e qualquer operação que se faça com
(x , 0) , no campo complexo, conduzirá aos mesmos resultados que as correspondentes
operações, restritas ao campo real, dariam com o número real x? Essa é uma pergunta
sutil, porém, de fundamental importância. Ela tende a passar despercebida;
simplesmente consideramos que x = (x , 0) e vamos em frente.
Tomemos, por exemplo, a fórmula da potenciação em C:
zn = z
n
⋅ (cos nα + i ⋅ sen nα )
Notemos que essa fórmula confirma um fato comum para números reais, isto é:
números reais positivos elevados a qualquer expoente resultam em valores positivos,
mas números reais negativos somente quando elevados a expoentes pares resultam
em valores positivos; quando elevados a expoentes ímpares resultam em valores
negativos.
O que está em causa é o seguinte: será que as operações em C, por
exemplo, a potenciação acima, quando aplicadas a números reais, dará sempre os
mesmos resultados que a potenciação comum de números reais?
Idêntica pergunta podemos fazer em relação à radiciação de números
complexos. Trata-se de uma fórmula razoavelmente complicada, que envolve
elementos trigonométricos. Ela permite inclusive extrair raízes quadradas de
números negativos, o que a radiciação não permite fazer em ℜ. Precisaríamos saber
se as raízes complexas de números reais positivos sempre resultam os mesmos
valores que as raízes reais comuns desses mesmos números.
136
Para responder a essas perguntas, definimos a função x → (x , 0) , que
associa a cada número real x, o par ordenado em que esse número x figure como
primeira coordenada, sendo nula a segunda. Trata-se de uma função biunívoca, que
possui as seguintes propriedades:
f (x + y ) = f (x ) + f ( y )
e
f (x ⋅ y ) = f (x ) ⋅ f ( y )
A demonstração da primeira propriedade é simples:
f (x + y ) = ( x + y , 0) = ( x , 0) + ( y , 0) = f (x ) + f ( y )
Quanto à segunda, lembremos que a definição de produto de pares
ordenados é dada pela seguinte expressão:
(a , b) ⋅ (c , d ) = (a⋅c – b⋅d) + (a⋅d + b⋅c)
Logo:
f ( x ⋅ y ) = ( x ⋅ y , 0) = ( x , 0) ⋅ ( y , 0) = f ( x ) ⋅ f ( y )
Isso significa basicamente que, ao somarmos números reais x e y,
obtendo resultado z, a adição em C com os números complexos (x , 0) e ( y , 0) dará o
resultado (z , 0) . E inversamente.
Da mesma forma, ao multiplicarmos números reais x e y, obtendo
resultado z, a multiplicação em C com os números complexos (x , 0) e ( y , 0) dará o
resultado (z , 0) . E inversamente.
Portanto, o conjunto dos números reais e o conjunto dos números
complexos da forma (x , 0) , para todo x real, comportam-se do mesmo modo no que
diz respeito às operações de adição e multiplicação, o mesmo ocorrendo com as
operações de divisão e potenciação, visto que estas são definidas a partir das duas
anteriores.
137
Assim, os dois conjuntos numéricos, embora formalmente diferentes,
não apenas admitem a mesma representação geométrica − pontos do eixo real −
como também se comportam do mesmo modo em relação às operações de adição e
multiplicação. Dizemos então que os dois conjuntos são isomorfos (possuem a
mesma forma), e a função x →
(x , 0) ,
definida anteriormente, é chamada de
isomorfismo, isto é, uma função biunívoca que preserva aquelas operações. Dizemos
assim que ℜ está “imerso” em C.
A expressão x = (x , 0) agora tem um significado muito mais preciso;
operar em C com
(x , 0)
conduz aos mesmos resultados que aplicar a mesma
operação em ℜ, sobre a variável x.
Há relações de ordem em C?
Um fato muito interessante no plano complexo é o seguinte: não se é
possível definir uma relação de ordem em C. Em outras palavras, dados os números
complexos z e w, não há entre eles nenhuma relação do tipo z > w ou z < w.
Em particular, um número complexo não é positivo ou negativo! E por quê?
Consideremos, por exemplo, a unidade imaginária i. Se acaso tivermos i > 0, isto é,
se i for positivo, então deveríamos poder multiplicar os dois lados da desigualdade
pelo próprio i, sem inverter o sentido dessa desigualdade. Pelo menos é assim que se
comportam os números reais. Se x for um número real positivo, então x2 também será
positivo.
Mas vejamos o que aconteceria:
i>0
i⋅i > i⋅0
−1 > 0 (absurdo!)
Idêntica contradição ocorre se considerarmos que i seja negativo. Em
ℜ se tivermos um número negativo, seu oposto será positivo. Certamente desejamos
que isto se estenda ao campo complexo, então teríamos –i > 0. Nesse caso ao
multiplicarmos ambos os membros da desigualdade por –i ela deveria manter seu
sentido. Como veremos a seguir, porém, tal situação não ocorre em C:
138
i< 0
i⋅ (–i)< 0
–i⋅i < 0
– (–1) = 1 < 0(absurdo!)
Não deixa de ser irônico que o problema que levou à descoberta dos
novos números, ou seja, a extração de raízes quadradas de números negativos,
simplesmente inexiste no novo campo numérico, visto que ali não há números
negativos.
Fazendo uma pequena incursão ao campo filosófico, seria o caso de
pensar se muitos dos problemas que nos atormentam, enquanto seres humanos
falíveis e limitados, não ficariam resolvidos numa dimensão superior, pelo simples
fato de ali não existirem. Que dimensão é essa? – pergunta o homem. E, de imediato,
nesse tipo de assunto, uma dúzia de “soluções” nos são apresentadas pelos fiéis de
qualquer tipo de crença... não podemos, porém, fazer como Bombelli em seu
algoritmo, que afinal foi uma pseudo-solução com a qual ele fugiu da necessidade de
descobrir o desconhecido.
Finalmente, esperamos que este capítulo possa contribuir para
esclarecer dúvidas talvez já antigas, ou despertar o interesse para buscar com rigor e
profundidade o entendimento de qualquer conteúdo científico, sem desprezar o
estudo minucioso das descobertas, das dificuldades, dos insights dos estudiosos
considerados ao longo deste trabalho.
139
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Na sociedade a matemática é estigmatizada como conhecimento onde
tudo é certo e não há divergências na interpretação de conceitos ou afirmações, nem
dúvidas sobre provas ou afirmações e, conseqüentemente, na escola são ensinadas
como se as teorias estivessem prontas cabendo aos alunos dominarem definições,
teoremas, regras, modelos.
Como foi mostrado nesse trabalho, um tema relativamente elementar
como os números complexos poderiam estimular um grande número de reflexões
bastante complexas sobre a matemática e seu desenvolvimento histórico e cognitivo.
Nessas considerações finais, não vamos tentar harmonizar e sintetizar
tudo que fora discutido nas páginas anteriores, mas chamar atenção para um
problema epistemológico grave: por que o movimento do rigor aritmético prevaleceu
tanto no ensino e o pensamento relacional da axiomática abstrata foi quase ignorado
mesmo sendo a única maneira de dar uma interpretação satisfatória dos números
complexos?
O pensamento relacional é uma das noções pelas quais a Matemática e
a ciência se tornaram caracterizadas, desde o famoso livro de Ernst Cassirer
Substanzbegriff und Funktionsbegriff (Substância e Função) de 1910. Relações ou
funções, no entanto, são comumente identificadas com esquemas operativos pelos
Neo-Kantianos ou idealistas, como Cassirer, ou são consideradas como regularidades
meramente empíricas por positivistas.
Na escola, essas duas faces da função matemática permanecem pouco
conectadas uma com a outra. O pensamento relacional é o maior obstáculo do
conhecimento cotidiano e da atitude natural da assim chamada gente da rua, que
tende, ao contrário e positivamente, a identificar o conhecimento com a realidade ou
como um mero instrumento. A história da matemática como da matemática escolar
sempre tem prevalecido a concepção instrumental do conhecimento e da linguagem
matemática. Mas os números complexos foi um tema que realmente exigiu um
pensamento relacional na matemática, como a seguinte reflexão de Gauss mostra
claramente.
141
A idéia geral de coisas em que cada uma tem relações somente
com mais duas é representável por pontos numa única reta. Se
um ponto mantém relações com mais de dois pontos diferentes,
uma representação possível seria a colocação de pontos num
plano, que seria coberto por retas e cada ponto teria uma relação
com três outros pontos. (GAUSS, 1831)
Acreditamos que essa é a questão por trás da afirmação de Thom de
que o problema real com o qual a Educação Matemática se confronta é o problema
“do desenvolvimento do significado, da ‘existência’ de objetos matemáticos”
(THOM, 1973, p. 202). E, como vimos anteriormente, esse tem sido o problema da
filosofia matemática desde a Revolução Científica, pelo menos.
Com a interpretação geométrica dos números imaginários, que até
então formavam meras marcas para operações algébricas, não só se mostrou um novo
entendimento da álgebra e da matemática em geral, ou seja, a transformação da
álgebra de uma linguagem formal para uma teoria de estruturas, mas também uma
nova concepção da objetividade matemática em termos da teoria de modelos.
Vale
a
pena
desenvolver
as
conseqüências
de
uma
“complementaridade” (Otte, 2003) no pensamento matemático que poderia ser
considerada em analogia à coexistência das funções denotativa e conotativa de
qualquer linguagem para qualquer ensino da matemática.
Neste sentido, apresentamos este estudo de um capítulo da história da
álgebra e dos números.
142
BIBLIOGRAFIA
ARGAND, J. R. Essai sur une manière de representer les quantités imaginaires
dans lês constructions géométriques. 2.ª ed. Paris: Gauthier-Villars, 1874.
BELL, E. T. Men of Mathematics.Simon and Schuster, 1986, p.234.
BOMBELLI, R. L’Algebra. Prima edizione integrale, Milano: Feltrini Editore,
1966.
BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ª ed. 6.ª Reimpressão. Tradução: Elza F.
Gomide, São Paulo: Edgard Blücher, 2005.
BUÉE, A. Q. Mémoire sur les quantités imaginaries. Philosophical Transactions.
Londres: Royal Society (20 juin 1805), 1806.
CAJORI, F. A History of Matematical Notations. New York: Dover, 1993. This
book was originally published in 1929.
CARDANO, G. Ars Magna or the rules of Algebra. New York: Dover
Publications, 1993.
CARNEIRO, J. P. Q. A Ilha do Tesouro. Revista do Professor de Matemática n.º
47. São Paulo: SBM, 2001.
CASSIRER, E. Substanzbegriff und Funktionsbegriff. Berlin: Bruno Cassirer,
1910.
CROWE, M. J. A History of Vetctor Analysis. New York: Dover, 1985.
DANTZIG, T. Number: the language of science. London: George Allen & Unwin
LTD, 1962.
144
DAVIS, P. J. et alii. A Experiência Matemática. 2.ª Edição. Tradução: João Bosco
Pitombeira. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.
EVES. H. W. Introdução à História da Matemática. 3.ª ed., Campinas-SP:
UNICAMP, 2002.
FLAMENT, D. Histoire des nombres complexes. Paris: CNRS ÉDITIONS, 2003.
FREUDENTHAL, H. Weeding and sowing. Reidel Dordrecht, 1978.
GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria Física, 2006.
GAUSS, C. F. Theoria Residuorum Biquadraticorum. Citado de acordo com: H.
D. Ebbingghus et alii Zahlen. Berlim: Springer-Verlag, 1983.
GILLINGS, Richard. Mathematics in the time of the Pharaohs. New York: Dover
Publications, Inc., 1982
HALL, M. B. The Scientific Renaissance: 1450-1630. New York: Dover
Publications, INC, 1994.
HANKEL, H. Theorie der Complexen Zahlensysteme. Leipzig: Voss, 1867.
HINTIKKA, H. Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator: Na Ultimate
Pressupposition of 20th Century Logic. Selected Papers 2. Dordrecht: Kluwer,
1997.
HOFMANN, J. E. The History of Mathematics to 1800. Totowa, New Jersey:
Littlefield, Adms & CO, 1967.
145
HOFMANN, J. E. A Concise History of the Classical Era in Mathematics.
Totowa, New Jersey: Littlefield, Adms & CO, 1967.
KARLSON, P. A Magia dos Números. Editora Globo, Rio de Janeiro - São Paulo Porto Alegre, 1961.
KÖCHE, J. C. Fundamentos de Metodologia Científica: Teoria da ciência e
prática da pesquisa. 17.ª Edição. Petrópolis-RJ: Vozes, 2000.
LIMA, E. L. Matemática Universitária. n.º 5, Rio de Janeiro: IMPA, 1987.
MILIES, C. P. A Emergência do Números Complexos. Revista do Professor de
Matemática n.º 24. São Paulo: SBM, 1994.
MILIES, C. P. A Solução de Tartáglia para a Equação do Terceiro Grau. Revista
do Professor de Matemática n.º 25. São Paulo: SBM, 1994.
NAHIN, P. J. An Imaginary Tale: The Story of
− 1 . New Jersey: Princeton,
1998.
NGO, V. & WATSON, S. The College Mathematics Journal. Vol. 29, n.º 2, Mar.
1998.
OTTE, M. Aritmetics and Geometrie – Some Remarks on the Concept of
Complementarity. Occasional Paper 102, 1988.
OTTE, M. Complementary, Sets and Numbers. Educational Studies in
Mathematics, Netherlands, v. 53, p. 203-228, 2003.
OTTE, M. O Formal, o social e o subjetivo: uma introdução à filosofia e à
didática da matemática. Tradução: Raul Fernando Neto. São Paulo: Editora da
UNESP, 1993.
146
OTTE, M. The Ideas of Hermann Grassmann in the context of the Mathematical
and Philosophical Historia Mathematica. Vol. 16, 1989, p. 1-35.
PLAYPAIR, J. Resenha de Bueé, The Edinburgh Review, April 1808.
SMITH, D. E., History of Mathematics. Vol II, Boston: Ginn and Company, 1925.
STRUIK, D. J. História Concisa das Matemáticas. 4.ª ed. Tradução: João Cosme
Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1986.
THOM, R. Modern mathematics: Does it exist?, in: A. G. Howson (ed),
Development in Mathematical Education, Cambrige University Press, 1973.
147
ANEXO
GALERIA DE IMAGENS
Papiro de Berlim
Aproximadamente do ano 1800 a.C.
http://www.malhatlantica.pt/mathis/Egipto/berlin.jpg
Papiro de Rhind
Aproximadamente do ano 1650 a.C.
Comprimento: 6 m × Largura: 33 cm
http://suanzes.iespana.es/suanzes/papiro.htm
Hippocrates de Chios
Geômetra grego
Nasceu em 460 a.C.
Faleceu em 370 a.C.
http://www.math.sfu.ca/histmath/Europe/Euclid300BC/Hippocrates.jpg
Euclides de Alexandria
Professor, Matemático e Escritor grego
Nasceu em 360 a.C.
Faleceu em 295 a.C.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Euklid2.jpg
149
Ptolomeu de Alexandria
Astrônomo, Matemático, Geógrafo grego
Nasceu em 100 d.C.
Faleceu em 178 d.C.
http://br.geocities.com/saladefisica3/fotos/ptolomeu.jpg
Pappus de Alexandria
Matemático grego
Nasceu em Alexandria, Grécia – 290
Faleceu em Alexandria, Grécia – 350
http://www.latein-pagina.de/index.html?http://www.lateinpagina.de/iexplorer/colloquium.htm
Diophantus de Alexandria
Matemático grego
Nasceu em Alexandria, Grécia – 200
Faleceu em Alexandria, Grécia – 284
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1120951804.html
Mohammad ibn-Musa Al-Khowarizmi
Matemático e Astrônomo árabe
Nasceu em Bagdá, Iraque – 780
Faleceu em Bagdá, Iraque – 850
http://jeff560.tripod.com/khowar.jpg
150
Omar Khayyám
Matemático árabe
Nasceu em Nishapur, Irã – 1048
Faleceu em Nishapur, Irã – 1131
http://www.nndb.com/people/043/000031947/
Lucca Pacioli
Frade Franciscano e Matemático italiano
Nasceu em Sansepolcro, Itália – 1445
Faleceu em Sansepolcro, Itália – 1514 ou 1517(?)
http://www.eumed.net/cursecon/economistas/Paciolli.htm
Leonardo Pisano Fibonacci
Matemático italiano
Nasceu em Pisa, Itália – 1170
Faleceu em Pisa, Itália – 1250
http://www.iisalessandrini.it/progetti/medioevo/fibo.htm
Nocolò Fontana (Tartaglia)
Matemático italiano
Nasceu em Brescia, Itália – 1500
Faleceu em Venice, Itália – 1557
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Tartaglia.html
151
Girolamo Cardano
Médico, Matemático, Astrônomo italiano
Nasceu em Pavia, Itália– 1501
Faleceu em Roma, Itália– 1576
http://www.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Cd.html
Rafael Bombelli
Matemático italiano
Nasceu em Bologna, Itália – 1526
Faleceu em Roma, Itália – 1572
http://maurice.bichaoui.free.fr/Histoire36.gif
Robert Recorde
Matemático e Astrônomo francês
Nasceu em Tenby, País de Gales – 1510
Faleceu em Londres, Inglaterra – 1558
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Recorde.html
Fraçois Viète
Matemático e Astrônomo francês
Nasceu em Vendée, França – 1540
Faleceu em Paris, França – 1603
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Posters/1213c.html
152
René Descartes
Filósofo e Matemático francês
Nasceu em Touraine, França – 1596
Faleceu em Stockholm, Suécia – 1650
http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Ren%C3%A9_Descartes
Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático alemão
Nasceu em Braunschweig, Alemanha– 1777
Faleceu em Gönttingen, Alemanha – 1855
http://portrait.kaar.at/Deutschsprachige%20Teil%203/image49.html
Adrien-Marie Legendre
Matemático francês
Nasceu em Paris, França – 1752
Faleceu em Paris, França – 1833
http://www.nndb.com/people/891/000093612/
Augustin Louis Cauchy
Matemático francês
Nasceu em Paris, França– 1789
Faleceu em Sceaux, França– 1857
http://ar.geocities.com/matematicamente/cauchy.htm
153
Karl Gustav Jacob Jacobi
Matemático alemão
Nasceu em Potsdam, Alemanha – 1804
Faleceu em Berlim, Alemanha – 1851
http://www.iisalessandrini.it/progetti/medioevo/fibo.htm
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
Matemático alemão
Nasceu em Ostenfelde, Alemanha – 1815
Faleceu em Berlin, Alemanha – 1897
http://www.matematikk.org/artikkel/biografi/vis.html?id=86
Sir William Rowan Hamilton
Matemático e Astrônomo irlandês
Nasceu em Dublin, Irlanda – 1805
Faleceu em Dublin, Irlanda – 1865
http://www.kosmologika.net/Scientists/Hamilton.html
Hermann Hankel
Matemático alemão
Nasceu em Halle, Alemanha – 1839
Faleceu em Tübingen, Alemanha – 1873
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Hankel.html
154
Giuseppe Peano
Matemático italiano
Nasceu em Cuneo, Itália – 1858
Faleceu em Turin, Itália – 1932
http://www.u.lodz.pl/~wibig/hieronim/hie03p1ok.htm
Alfred North Whitehead
Matemático inglês
Nasceu em Ramsgate, Inglaterra – 1861
Faleceu em Cambridge, USA– 1947
http://www.anthonyflood.com/whitehead.htm
Bertrand Arthur William Russell
Matemático britânico
Nasceu em Ravenscroft, País de Gales – 1872
Faleceu em Penrhyndeudraeth, País de Gales – 1970
http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/en/russell1.htm
Otto Neugebauer
Historiador das Ciências austríaco
Nasceu em Innsbruck, Áustria – 1899
Faleceu em Princeton, USA – 1990
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Neugebauer.html
155
156