10.5 – Momento angular L r p r mv v L O r l (momento angular de uma partícula) m Unidades S.I.: kg.m2/s Direção e sentido: regra da mão direita Módulo: L L m rvsen m vl Relação entre momento angular e torque: dr dL d dv r mv mv r m dt dt dt dt v mv r ma r F 0 dL dt (análogo a dp F dt ) Momento angular de corpo rígido girando em torno de um eixo: Dividimos o CR em fatias: Li Li mi ri vi sen90 Fatia do CR girando em torno do eixo z mi ri ri mi ri2 Somando por todas as partículas da fatia: 2 L mi ri I i Momento angular da i-ésima partícula (análogo a p mv ) Somando por todas as fatias: Outra fatia do CR girando em torno de z Partícula movendo-se para fora do plano Se o eixo de rotação for um eixo de simetria, o momento angular terá a mesma direção do eixo Assim: L I Partícula movendo-se para dentro do plano De maneira semelhante, partindo da equação para uma partícula: dL dt E somandopor todas as partículas do CR, obtemos: dL dt (aqui contribuem apenas os torques externos) 10.6 – Conservação do momento angular dL Se a resultante dos torques externos for nula: dt dL 0 L constante dt Exemplo: patinadora no gelo Lz Iii, z I f f , z Ao fechar os braços, a patinadora reduz o momento de inércia (I f I i ), de modo que a velocidade angular aumenta ( f i ). http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-9” Demonstração: cadeira giratória Exemplo: Y&F 10.11 Um gato em queda livre conserva o momento angular? http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ Análise do movimento: http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk Exemplo: Y&F 10.14 Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-11” Problema: Y&F 10.98 (centro de percussão) 10.7 – Giroscópios e precessão Demonstração: roda de bicicleta Caso 1: roda parada Caso 2: roda girando Momento angular inicial da roda Vista de cima Vista de cima Precessão do momento angular Outros exemplos: precessão do eixo de rotação da Terra, precessão do pião (demonstração) Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics VI-5” Cálculo da velocidade angular de precessão: Em um intervalo dt, o momento angular e o eixo de rotação da roda precessionam por um ângulo dφ Velocidade angular de precessão (no caso do eixo de rotação ortogonal ao eixo de precessão): d dt dL L dt mgr L I Exemplo: torque na precessão do eixo de rotação da Terra 2 rad -12 1 rev/26.000anos 7 , 66 10 rad/s 11 8,210 s 2 2 rad kg.m 2 33 L I MR2 7,0710 s 5 24h Lsen(26,5 ) Lsen(26,5 ) 2,421022 N.m Completando a analogia cinemática linear e rotação de CR: Cinemática de uma partícula Posição Velocidade Aceleração Massa Energia cinética Força 2a. Lei Rotação de um CR x vx Ângulo ax Aceleração angular Velocidade angular Momento de inércia m 1 2 m vx 2 Fx F x , ext Energia cinética Torque m ax 2a. Lei z z I 1 2 I z 2 z z ,ext I z Trabalho dW Fx dx Trabalho dW z d Potência P Fx v x p mv dp F dt Potência P z z L I dL Momento linear 2a. Lei Momento angular 2a. Lei Próximas aulas: 6a. Feira 18/11: Aula de Exercícios (sala A-327) 4a. Feira 23/11: Aula de Exercícios (sala A-327) 6a. Feira 25/11: Aula de Revisão e Testes dos Caps. 9 e 10 (sala A-327) 2a. Feira 28/11: P2