Ciência e arte: da Cristalografia
convencional aos quase-cristais
A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas.
A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas.
DNA
A difração é utilizada no estudo de arranjos de
átomos e moléculas
YBa2Cu3O6
Antiferromagnético
YBa2Cu3O7-x (0 < x < 0.5)
Superconductor
Densidade eletrônica
 xyz
Resolução
Radiação Eletromagnética
2 e 2
  1

2
 mc
  10 8 cm
  10 cm
24
3
R e  2.82  10 13 cm
n    1

2
 0.9999
Como então, observar uma molécula?
B
O
Si
Orgn
C
A
Experimento de Young
As fendas agem como
fontes secundarias
Onda Plana incidente
Interferência construtiva
quando as ondas estão
em fase

 (r )

s0
 
2

1   2   2

  
r  s  s0 

s

 r  O

r


s0  s  1
S
  2 r  S
1 2
 
s  s 0 

d F   (r )dV

 2 i rS 3
F S     r e d r


 2 i rS 3

 r    F S e
d S
Para o átomo isolado j


 2 i rS 3
F S    j r  e d r
f j S 
Fator de forma
Para uma molécula
 

2 i S . r j
F S   f j S e

j
Porque um cristal?
Convolução
Multiplicação
Diffraction Geometry
O que faz um cristalógrafo?
B
O
Si
Orgn
C
h k l
Io (Io)
-1 -9 -3 557 6
-1 -3 -9 543 8
A
O problema, tem solução?
Problema das fases
F hkl   f j hkle

2 i hx j  ky j  lz j

j
I  hkl  ~ F  hkl 
I hkl  
j

k
f j fk e

2

2i[ h x j  xk )  k ( y j  yk )l ( z j  zk ]
Complexo de Mercúrio
Os cristais
Cristais imperfeitos, condição fundamental
para a validade da 1ª aproximação de Born
Um pouco da parte experimental
Luz Polarizada
Luz Incidente
polarizador
Cristal
Isotrópico
analisador
Não passa a luz
Não passa a luz
Cristal
Anisotrópico
passa a luz
Como montar um cristal
crystal
glass fibre
Cabeça goniométrica
Simetria cristalina
A simetria se manifesta nos
diagramas de difração
von Laue (1912) junto com Friedrich e Knipping
descobriram a difração de raios-x por um
cristal de sulfeto de cobre pentahidratado.
Isso confirmou:
i) A natureza ondulatória dos raios-x
ii) A natureza periódica e regular dos cristais.
A simetria se manifesta na
morfologia externa dos cristais
Hextetrahedral Forms (4i3m)
Tetrahedron
Diploidal Forms (2/m3i)
Pyritohedron
Pyritohedron
A pyritohedron has 30 edges, divided into two lengths: 24 and 6 in each group.
Face polygon
irregular pentagon
Faces
12
Edges
30 (6+24)
Vertices
20 (8+12)
Symmetry group
Th, [4,3+], (3*2)
Dual polyhedron
Pseudoicosahedron
Properties
convex
This crystal is a 'pyritohedron'. It looks similar to regular
dodecahedron—but it's not! At the molecular level, iron pyrite has little
cubic crystal cells. But these cubes can form a pyritohedron
dodecahedron
icosahedron
Dodecahedron e Icosahedron possuindo simetria pentagonal são
incompatíveis com a simetria traslacional
Porém, em 1984... Daniel Shechtman
As velocidades de esfriamento alcançáveis pelo método de
“melt-spinning” são da ordem de 104–107 graus kelvin por
segundo (K/s).
Electron diffraction pattern of an icosahedral
Ho-Mg-Zn quasicrystal
Padrão de Difração
O primeiro “tiling” de Penrose's usa pentágonos e outras três
formas: uma “estrela” de cinco pontas,um “barco“ e um
“diamante”
Será uma pseudo-periodicidade?
Teoria de twinning de Linus Pauling
Nature,317, 512-514, 1985
Schectman's is an interesting story, involving a
fierce battle against established science, ridicule
and mockery from colleagues and a boss who
found the finding so controversial, he asked him
to leave the lab.
Penrose “tilings” com só dois motivos
Roger Penrose in the foyer of the Mitchell Institute for Fundamental
Physics and Astronomy, Texas A&M University, standing on a floor with
a Penrose tiling
Pipas e Dardos (Kites and Darts)
φ
1
Losangos
Uma variante de “tiling” que não é quseperiódica. Não é um Penrose tiling
porque a sistemática de empacotamento não foi seguida
A “Proporção Divina” ou Razão Áurea (Golden Rate)
Razão áurea e números de Fibonacci
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9 F10
F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
55
Números de Fibonacci
 Fn
=Fn-1+Fn-2
Retângulos com a “razão áurea”
Comprimento das arestas seguem a sequência de Fibonacci
Uma curva conectando números de Fibonacci consecutivos da origem a uma
forma muito especial chamada a “Espiral Áurea”
 Razão
Áurea, Números de Fibonacci e o
mundo que habitamos
Galáxias
Orelha humana
Over the centuries, it has been designed by trial and error, without the aid of computers.
What is interesting is that it was not made to the Golden Ratio intentionally. What the
designers found was that the closer the design was to the Golden Ratio, the better the
quality of sound. It appears that even sound waves and harmonics tend to the Golden
Ratio.
Os anéis de Saturno estão na razão áurea
Número de espirais na alcachofra
Obtenção de uma sequência quase periódica com
a repetição periódica de uma dada operação.
1
1
2
3
5
8
13
21
Sequência de Fibonacci e quasicristais de
“quasesimetria” pentagonal
Se a inclinação da reta é irracional, por exemplo na razão áurea, a estrutura projetada
unidimensional é um conjunto denso, não periódico, de sitios discretos. Limitando a
projecão a uma faixa de largura finita, o subespaço pode ser “tiled” com dois
segmentos cujos comprimentos estão, precisamente, na razão áurea.
Neste exemplo a rede recíproca coincide com a rede “direta”
(quadrada de lado unitário). A transformada de Fourier antes da
projeção na rede direta é a convolução da rede recíproca com a
transformada da função escalão.
Projeção num espaço corresponde a nível zero no espaçp conjugado
Mas,
Fator de Estrutura
Al-Pd-Mn by Yamamoto (1993)
octagonal QC:
V-Ni-Si
Cr-Ni-Si
Mn-Si
Mn-Si-Al
Mn-Fe-Si
decagonal QC:
Al-TM (TM=Ir,Pd,Pt,Os,Ru,Rh,Mn,Fe,Co,Ni,Cr)
Al-Ni-Co *
Al-Cu-Mn
Al-Cu-Fe
Al-Cu-Ni
Al-Cu-Co *
Al-Cu-Co-Si *
Al-Mn-Pd *
V-Ni-Si
Cr-Ni
dodecagonal QC:
Cr-Ni
V-Ni
V-Ni-Si
icosahedral QC:
Al-Mn
Al-Mn-Si
Al-Li-Cu *
Al-Pd-Mn *
Al-Cu-Fe
Al-Mg-Zn
Zn-Mg-RE * (RE=La,Ce,Nd,Sm,Gd,Dy,Y)
Ti-TM (TM=Fe, Mn, Co, Ni)
Nb-Fe
V-Ni-Si
Pd-U-Si
Então, essa nova forma da matéria condensada
existe no Universo só como criação tecnológica?
Proceedings of the National Academy of Sciences
Evidence for the extraterrestrial origin of a natural
quasicrystal.
PNAS January 31, 2012 vol. 109 no. 5 1396-1401
Luca Bindi
John M. Eiler
Yunbin Guan
Lincoln S. Hollister
Glenn MacPherson
Paul J. Steinhardt
Nan Yao
The rock sample consists of grains of more ordinary metallic and
silicon compounds interspersed with the quasicrystal grains, so it's
not wholly a quasicrystal. Some structures in the rock are only
formed under high shocks (unlike sedimentary or volcanic rocks),
and one particular silicate structure, known as stishovite, is most
strongly associated with meteorites. To confirm this suspicion, the
researchers investigated the ratios of various oxygen isotopes,
18O/16O and 17O/16O, and compared them to the ratios found on
Earth in analogous minerals. Because of the differences in formation
and environment, meteorites have a distinctive isotope signature
compared to their chemically similar terrestrial cousins. The
scientific team found the sample containing the quasicrystals looked
like it had an extraterrestrial source.
Extraterrestial quasicrystal of Al63Cu24Fe13, first
synthesized in a lab in 1987
Fim de esta estória, mais este século
será verá o desenvolvimento de uma
fascinante área na pesquisa de novos
materiais.