Números n-Bonacci e Fluxos de Caixa em Matemática Financeira
Antônio Carlos da Silva Filho
Centro Universitário de Franca – Departamento de Matemática
14401-135, Franca, SP
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Letícia Faleiros Chaves
Mestranda em Matemática - Departamento de Matemática – Universidade Estadual Paulista
13506-900, Campus de Rio Claro, SP
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Fabiano Guasti Lima
Universidade de São Paulo – Departamento de Contabilidade/FEARP
14040-900, Campus Ribeirão Preto, SP
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RESUMO
Introduzidas na literatura ocidental no século XIII pelo italiano Pisano no seu livro “Líber
Abaci” e assim nomeadas pelo matemático Francês Édouard Lucas no século XIX, as
sequências de Fibonacci têm encontrado uma vasta gama de aplicações na Matemática e nas
ciências em geral.
A razão entre números sucessivos nestas seqüências converge para o número conhecido
como Razão Áurea. Várias generalizações destas seqüências foram propostas, sendo que as
razões entre termos sucessivos de várias delas também convergem para certos números,
denominados Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci e assim por diante, que são, neste sentido,
generalizações da Razão Áurea. Embora haja muitas interpretações e usos para a Razão Áurea,
o mesmo já não pode ser dito para estas outras constantes, denominadas, de uma maneira geral,
de constantes n-bonacci. Este trabalho explora uma nova interpretação para estes números em
termos das taxas de juros nos fluxos de caixa uniformes encontrados na Matemática Financeira.
Cada termo de uma sequência de Fibonacci pode ser obtido, a partir dos dois primeiros
termos, somando os dois anteriores. A razão entre termos sucessivos nesta sequência conduz à
assim chamada Razão Áurea: 1,61803... . Esta razão também pode ser obtida como uma das
raízes da equação:
x2 = x + 1
(1)
Um tipo de generalização leva a uma sequência onde, a partir de três termos iniciais arbitrários,
obtêm-se os próximos termos somando os três termos imediatamente anteriores. A razão entre
dois termos sucessivos desta sequência converge para o número 1,83928..., que passou a ser
conhecido como número Tribonacci [1, 2]. Este número também pode ser obtido como uma das
raízes da equação:
x 3 = x2 + x + 1
(2)
Generalizações posteriores levaram à construção de sequências a partir de quatro termos
arbitrários, cinco termos arbitrários, etc. Em cada uma destas sequências, a razão entre termos
consecutivos converge, respectivamente, para os números: 1,92756... (número Tetranacci),
1,96594... (número Pentanacci) etc. Estes números também são soluções, respectivamente, das
seguintes equações [3]:
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xn = xn-1 + xn-2 + ... + x2 + x + 1
(3)
onde n = 2, 3, 4, ...
Por outro lado, em Matemática Financeira, um fluxo de caixa representa uma série de
pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo [4].
Para um fluxo de caixa uniforme, com n períodos, chega-se à seguinte equação:
xn = k( xn-1 + xn-2 + ... + x2 + x + 1)
(4)
Aqui, k = PMT/PV é a razão entre o valor uniforme dos pagamentos ou recebimentos (PMT) e
o valor presente do fluxo (PV). Já
x=1+i
(5)
sendo i a taxa de juros do fluxo. As equações (4) assemelham-se às equações (3), diferindo das
mesmas pelo fator k. Fazendo-se k = 1, ou seja, fazendo-se PMT = PV, obtêm-se as mesmas
equações que geram os números n-bonacci.
Assim, as constantes n-bonacci podem ser interpretadas da seguinte maneira: subtraindo-se
um das mesmas, obtém-se a taxa de juros em um fluxo de caixa uniforme com n períodos, para
o caso em que o valor uniforme dos pagamentos ou recebimentos é igual ao valor presente do
fluxo. Esta interpretação ainda não existe na literatura.
Palavras-chave: Fibonacci, Tribonacci, n-bonacci, Fluxos de Caixa
Referências
[1] M. Elia, Derived Sequences, The Tribonacci Recurrence and Cubic Forms, Fibonacci
Quarterly, v. 39.2, pp. 107-109, (2001).
[2] M. Feinberg, Fibonacci –Tribonacci, Fibonacci Quarterly, v. 1, pp. 71-74, (1963).
[3] S. Mustonen, Extension of Golden Section to Multiple-Partite division of a Line Segment,
2005, 3 p. Disponível em http://www.survo.fi/papers/nsection.pdf. Acesso em: 29 abril
2010.
[4] A. A. Neto, “Matemática Financeira e suas Aplicações”, 11ª ed. São Paulo: Editora Atlas,
2009, 278 p.
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