Matemática e
Suas Tecnologias
Matemática
Prof.: Fabrício Maia
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nº
PROPORÇÃO ÁUREA
PROPORÇÃO ÁUREA NA ARTE
É bastante frequente encontrar a proporção áurea em
pinturas renascentistas ou em grandes obras de arte, como,
por exemplo:
Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as
dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm)
estão numa razão áurea entre si.
No nascimento de Vênus, de Boticceli:
“
O Homem
Vitruviano é
um desenho
famoso que
acompanhava
as notas que
Leonardo da
Vinci fez em
1490 num dos
seus diários.
”
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Em Monalisa ou Autorretrato, de Leonardo da Vinci:
O Homem Vitruviano é um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da
Vinci fez em 1490 num dos seus diários.
Descreve uma figura masculina nua separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas
com os braços inscritos num círculo e num quadrado.
Às vezes, o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções.
PROPORÇÃO ÁUREA NA ARQUITETURA
O retângulo de ouro, proveniente da montagem sucessiva das medidas da Série de Fibonacci,
foi apropriada em grandes construções desde as eras primórdias até as cidades de hoje.
Exemplo disso é a Pirâmide de Queóps, centrada nas 3 pirâmides designadas de Gize no
Cairo, capital do Egito.
Cada bloco da pirâmide era 1,618 vez maior que o bloco do nível logo acima.
As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618
vez maiores que as larguras.
O Parthenom, construção grega que resistiu parcialmente ao tempo e onde são notadas inúmeras presenças da razão áurea.
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PROPORÇÃO ÁUREA NA LITERATURA
Na literatura, o número de ouro encontra a sua aplicação mais notável no poema épico grego
Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia.
Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número
próximo a 1,618, o número de ouro.
Luís de Camões, na sua obra Os Lusíadas,
colocou a chegada à Índia no ponto que divide a
obra na proporção áurea.
Virgílio, na obra Eneida, constituiu a razão
áurea com as estrofes maiores e menores.
PROPORÇÃO ÁUREA NA NATUREZA
Os números de Fibonacci estão presentes na vegetação.
É possível encontrá-los no arranjo das folhas de um ramo de
uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de
pétalas das flores.
Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas
sementes das flores, em frutos e pinhas.
Uma planta em particular mostra os números da sucessão de
Fibonacci nos seus “pontos de crescimento“. Quando a planta
tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as
ramificações fiquem suficientemente fortes. Se a planta ramifica
todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos
uma figura semelhante às ao lado.
Na fruta, também encontra-se presente este fenômeno.
Se cortarmos uma maçã ao meio, iremos deparar-nos com
5 caroços em forma de um pentagrama, mais uma vez os números
de Fibonacci e uma figura geométrica adjacente ao número de ouro.
PROPORÇÃO ÁUREA NO SER HUMANO
Em toda a Natureza, seja ela cósmica, biológica ou catalizadora, segue um
só padrão, que é a proporção áurea, resultante da série de Fibonacci e o número
de ouro, Phi.
As medidas das nossas articulações resultam no número Phi, já o número
de ossos segue o padrão de números de Fibonacci.
Se medirmos os ossos de forma crescente e dividirmos uma medida pela
sua antecessora, iremos encontrar o número Phi, algo em redor de 1,618...
Estão em proporção áurea:
• a altura do corpo humano e a medida do umbigo ao chão;
• a altura do crânio e a medida da mandíbula ao alto da cabeça;
• a medida da cintura à cabeça e o tamanho do tórax;
• a medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo;
• o tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
Ainda hoje, existem pesquisadores que associam a beleza do rosto humano às proporções áureas.
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EXERCÍCIOS
1. Sejam a e b números reais positivos. Considere a igualdade
a+b a
=
a
b
. O número positivo
é chamado “número de ouro“ ou “número áureo“. O valor do número de ouro é:
5 −1
A)
5 +1
B) π
C)
5 +1
D)
E)
a
que satisfaz essa igualdade
b
5 −1
5 +1
2
5 −1
2
2. O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x = 2m, e o divide em dois segmentos cujas medidas são
y e z e satisfazem a relação y2 = xz. A razão x/y (denominada de número de ouro ou razão áurea) é igual a:
A)
1+ 3
2
C)
−1+ 3
2
B)
1+ 5
2
D)
−1+ 5
2
3. O retângulo de ouro é utilizado em Arquitetura desde a Grécia Antiga. A razão entre as medidas do maior e do menor
lado desse retângulo é o número de ouro, representado por φ.
Sabendo que φ é uma das raízes da equação x2 = x + 1, então φ4 – 3φ é igual a:
A) 0
D) 1,618...
B) 0,618...
E) 2
C) 1
4. Dois números positivos, m e n, com m > n, estão em uma proporção de ouro se ocorre que
m+n m
= . Se é este o caso,
m
n
quando o menor número é igual a 1, o maior número é chamado de número de ouro e é denotado pela letra grega
ϕ – homenagem ao arquiteto grego Phidias (490 – 430 a.C.). Qual dentre os valores abaixo é o número de ouro?
A) ϕ = 3,14159265...
D) ϕ = 1,70796327...
1− 5
2
1+ 5
C) ϕ =
2
E) ϕ = 2,01010101...
B) ϕ =
5. Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou
seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:
1+ 5
a 1+ 5
. Observe a figura e demonstre que =
.
2
b
2
GABARITO (V. 14)
1
2
3
4
5
D
B
A
E
C
Professor Colaborador: Sérgio Rosa
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OSG: 45590/11 - A.J - REV.: AR