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Fibonacci e a Seção Áurea
Na matemática, os Números de Fibonacci
são uma seqüência (sucessão, em
Portugal) definida como recursiva pela
fórmula abaixo:
Na prática: você começa com 0 e 1, e
então produz o próximo número de
Fibonacci somando os dois anteriores para
formar o próximo. Os primeiros Números de
Fibonacci (sequência A000045 em OEIS)
para n = 0, 1,... são
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946...
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Fibonacci e a Seção Áurea
Por que esse número é tão apreciado por
artistas, arquitetos, projetistas e músicos?
Porque a proporção áurea, como o nome
sugere, está presente na natureza, no corpo
humano e no universo.
Este número, assim como outros, por exemplo o
Pi, estão presentes no mundo por uma razão
matemática existente na natureza.
Essa seqüência aparece na natureza, no
comportamento da refração da luz, dos átomos,
do crescimento das plantas, nas espirais das
galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas
no oceano, furacões, etc.
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Fibonacci e a Seção Áurea
Um retângulo áureo é facilmente obtido com compasso e
régua por este método:
1. Construir um quadrado
2. Desenhar a linha do ponto central de um lado para
um dos cantos no lado oposto
3. Usar essa linha como raio de uma circunferência
para definir a altura do rectângulo
4. Completar o retângulo
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Figuras Geométricas
Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem
os lados em relação dourada com o raio da
circunferência.
O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um
pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas
interseções das diagonais, está em proporção com o
pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A
razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é
igual ao quadrado da razão áurea.
Quando Pitágoras descobriu que as proporções no
pentagrama eram a proporção áurea, tornou este
símbolo estrelado como a representação da Irmandade
Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras
a afirmar que a natureza segue padrões matemáticos.
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Vegetais
Semente de girassol – A proporção em
que aumenta o diâmetro das espirais
sementes de um girassol é a razão áurea.
● Achillea ptarmica – Razão do
crescimento de seus galhos.
● Folhas das Árvores – A proporção em
que se diminuem as folhas de uma arvore
à medida que subimos de altura.
●
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Animais
População de Abelhas – A proporção
entre abelhas fêmeas e machos em
qualquer colméia.
● Concha do Caramujo Nautilus – A
proporção em que cresce o raio do interior
da concha desta espécie de caramujo. Este
molusco bombeia gás para dentro de sua
concha repleta de câmaras pra poder
regular a profundidade de sua flutuação.
● O phi está também nas escamas de
peixes, presas de elefantes, cauda de
vários animais etc...
●
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Corpo Humano
A altura do corpo humano e a medida do
umbigo até o chão.
● A altura do crânio e a medida da mandíbula até
o alto da cabeça.
● A medida da cintura até a cabeça e o tamanho
do tórax.
● A medida do ombro à ponta do dedo e a medida
do cotovelo à ponta do dedo.
● O tamanho dos dedos e a medida da dobra
central até a ponta.
● A medida da dobra central até a ponta dividido
e da segunda dobra até a ponta.
● A medida do seu quadril ao chão e a medida do
seu joelho até ao chão.
● Essas proporções anatômicas foram bem
representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de
Leonardo Da Vinci.
●
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Aplicação na Arte
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras
como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli,
em que Afrodite está na proporção áurea. Esta
proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor
representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento
da Última Ceia de Salvador Dalí, as dimensões do
quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão
numa Razão Áurea entre si. Na história da arte
renascentista a perfeição da beleza em quadros foi
bastante explorada com base nesta constante. Vários
pintores e escultores lançaram mão das possibilidades
que a proporção os dava de retratar a realidade com
mais perfeição.
A Mona Lisa de Leonardo da Vinci utiliza o número
áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e
também entre os elementos do rosto.
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Fibonacci e a Seção Áurea
Arquitetura
O Parténon é o mais perfeito e conhecido
exemplo da utilização da proporção áurea
na arquitetura. Os Egípcios fizeram o
mesmo com as pirâmides. Por exemplo,
cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes
maior que o bloco do nível a cima. As
câmaras no interior das pirâmides também
seguiam essa proporção, de forma que os
comprimentos das salas são 1,618 vezes
maior que as larguras.
O mesmo ocorre na arquitetura de Gaudí
na Catalunha (especialmente a Catedral da
Sagrada Família) e com a obra de Le
Corbusier.
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Literatura, Música e Cinema
Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais
notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra
os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem
o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as
menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.
Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as
estrofes maiores e menores.
O número de ouro está presente nas famosas sinfonias
Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em
outras diversas obras.
O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número Phi no
filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de
cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho
das fitas de película.
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Formato A
O "formato A" usado em papéis e como
"modelo" para outros objetos foi definido
pela ISO - International Standarts
Organisation e começa em "A0" com
dimensões de "1189mm x 841mm", que
corresponde a 1 metro quadrado. A relaçao
entre o lado maior e o lado menor é sempre
"raiz de 2". Na prática, o lado maior é
dividido por dois e o menor é repetido.
* A0: 1189mm x 841mm (cabem 2 folhas A1 em um
A0)
* A1: 841mm x 594mm (cabem 2 folhas A2 em um A1)
* A2: 594mm x 420mm (cabem 2 folhas A3 em um A2)
* A3: 420mm x 297mm (cabem 2 folhas A4 em um A3)
* A4: 297mm x 210mm (cabem 2 folhas A5 em um A4)
* A5: 210mm x 148,5 (cabem 2 folhas A6 em um A5)
* A6: 148,5mm x 105mm
e assim por diante...
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Grades
O formato define as dimensões externas de uma
página (retrato, paisagem ou quadrado)
já suas dimensões internas são definidas através
da grade.
Em relação à página a grade pode se apresentar
de forma simétrica ou assimétrica.
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Grades
Área de texto definida através de uma moldura simples, sempre tomando cuidado
com o correto espaçamento com relação a canaleta central.
Desenhando uma grade com formato e caixas de texto com proporções constantes.