VETORES
VETORES
Quantidades com magnitude e direção
Magnitude: Quanto
(representado pelo comprimento de uma linha)
Direção: Qual direção ele aponta
Pode ser represntado por um segmento de reta (seta)
Exemplos:




Velocidade
Aceleração
Deslocamento
Força
É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO
É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO
SITUAÇÃO EXPERIMENTAL
Figura 1: Câmera 1
Figura 3: Câmera 3
Figura 2: Câmera 2
Figura 4: Câmera 4
Posição em 2 dimensões
Y
P=(x,y)
X
TRAJETÓRIA E DISTÂNCIA PERCORRIDA
Goleiro
Lateral
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
10
20
30
ATAQUE
40
50
60
70
80
90
100
DEFESA
Distância percorrida: 1969 m
0
0
10
20
30
ATAQUE
40
50
60
70
80
90
100
DEFESA
Distância percorrida: 4925 m
Zagueiro
Volante
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
0
10
20
30
ATAQUE
40
50
60
70
80
90
100
DEFESA
Distância percorrida: 4558 m
0
10
20
30
ATAQUE
40
50
60
70
80
90
100
DEFESA
Distância percorrida: 4280 m
TERMINOLOGIA DE VETORES


Dois ou mais vetores atuando em um pesmo ponto
são denominados vetores concorrentes.
A soma de dois ou mais vetores é chamada de
resultante (R).



Um vetor simples pode substituir vetores concorrentes
Qualquer vetor pode ser descrito como tendo
componentes “x” e “y” em um sistema de
coordenadas.
O processo de quebra de um vetor em componentes
“x” e “y” é chamado de resolução de vetor.
TERMINOLOGIA DE VETORES

Vetores são ditos em “equilibrio” se a soma for
igual a zero.
E=5N
at 180 °
R=5N
at 0°
QUAL A RESULTANTE DOS SEGUINTES VETORES?
E= 10 N a 0 graus
 R = 20 N a 0 graus

E =20 N a 45 graus
 R = 10 N a 225 graus


Nem sempre os vetores estão “em linha”, mas
em um ângulo entre eles
TIP TO TAIL – 3 VETORES
Podemos adicionar 3 ou mais
vetores ao colocá-los
agrupados (tip to tail) em
qualquer ordem, desde que
sejam de mesmo tipo (força,
velocidade, deslocamento,
etc.).
METODO GRAFICO DE ADIÇÃO DE VETORES


Vetores podem ser desenhados em escala e a
resultante pode ser determinada com uma régua e
um transferidor.
Vetores são adicionados ao desenhar a ponta do vetor
à extremidade do segundo vector (“tip to tail”).


A ordem não importa.
A resultante é sempre desenhada da ponta para a
extremidade do último vetor.
EXEMPLO
Uma força de 50 N a 0° age concorrentemente a uma força de
20 N force a 90°.
R


R e  são iguais em cada diagrama.
ADICIONE ESSES VETORES
a
b
b
a
R= a+b
UM NADADOR ATRAVESSA UM RIO A 8.00 M/S
QUE TEM UA CORRENTEZA DE 5.00 M/S.
5.00 m/s
8.00 m/s
5.00 m/s
8.00 m/s
R = 9.43 m/s a 32°
Largura do Rio
RESOLUÇÃO TRIGONOMÉTRICA
sen  = y / h
y = h sen 
h
y
cos  = x / h

x
x = h cos 
-+
++
--
+-
EXEMPLO:
x
6 N a 135°
5 N a 30°
y
5 cos 30° = +4.33
5 sin 30° = +2.5
6 cos 45 ° = - 4.24
6 sin 45 ° = + 4.24
+ 0.09
R = (0.09)2 + (6.74)2
= 6.74 N
 = arctan 6.74/0.09
= 89.2°
+ 6.74
CÁLCULO PELOS COMPONENTES DOS VETORES
A
2
(9, 9)
B
A
C
XA, YA
(9 , 9)
(6 , 2)
(3 , 7)
B
-4
A
B
XB, YB
(11 , 5)
(9 , 9)
(2, - 4)
(11, 5)
7
3
(6, 2)
C= A – B
R (5 , 3)
3
R
5
R2 = 52 +32 = 5.83 m
ORIGEM DA LEI DOS COSSENOS
cosΘ = d/b  d=b.cosΘ
a
e= c – d
e= c - b.cosΘ
m
senΘ= m/b  m=b.senΘ
b
Θ
c
d
e
a2 = m2+e2 (=> Norma)
a2 = (b.senΘ)2 + (c - b.cosΘ)2
a2 = b2.senΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘ+ b2cosΘ2
a2 = b2.senΘ2 + b2cosΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘ
a2 = b2.(senΘ +cosΘ) 2 + c2 – 2 cb.cosΘ
a2 = b2.(1) 2 + c2 – 2 cb.cosΘ
a2 = b2+ c2 – 2 cb.cosΘ
CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
LEI DOS COSSENOS
c2 = a2+ b2 – 2|a.b|cos θ
c = a-b
y1
(a-b)2 = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
(a-b) *(a-b) = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
a*a – a*b – b*a + b*b = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
|a2|- 2 (a*b) +| b2| = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ
-(a*b) = - |a.b|cos θ
(*-1)
(a*b) = |a.b|cos θ
c
a
y2
Θ
b
x1
x2
cos θ = (a*b) /|a.b|
cos Θ = a . b
|a|.|b|
ÂNGULOS ENTRE VETORES
Cos Θ = A . B
|A|.|B|
A
B
(XA, YA) (XB, YB)
y1
Cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB)
(√XA2 YA2)*(√XB2 YB2)
y2
Θ
x1
x2
VETORES EM 3 D
Cos Θ = A . B
|A|.|B|
cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB) +(ZA * ZB)
(√XA2+ YA2 + ZA2 )*(√XB2 + YB2+ ZB2)
ÂNGULO ENTRE 2 VETORES
A (10, 60)
B (40, 40)
C (25, 15)
A (10, 60)
B (40, 40)
C (25, 15)
Cos Θ = A . B
|A|.|B|
X
y
AB = (10-40) (60-40)
= -30
20
CB = (25-40) (15-40)
= -15
-25
Cos Θ =(X1* X2) + (Y1 * Y2)
(√X12 Y12)*(√X22 Y22)
Cos Θ =(-30* -15) + (20 * -25)
(√-302 202)*(√-152 -252)
Cos Θ = -0.04757 = 92.72o