LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, às 13:06
Exercı́cios Resolvidos de Dinâmica Clássica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica,
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı́sica
Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
8
8.1.2
Conservação da Energia
8.1 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
8.1.1 Determinação da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . .
2
2
8.1.3
8.1.4
2
8.1.5
Usando a Curva de Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . .
Conservação da Energia . . . .
Trabalho Executado por Forças
de Atrito . . . . . . . . . . . .
Massa e Energia . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
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jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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8 Conservação da Energia
8.1
Problemas e Exercı́cios
8.1.1 Determinação da Energia Potencial
E 8-1 ( na 6 edição)
Uma determinada mola armazena J de energia potencial quando sofre uma compressão de cm. Qual
a constante da mola?
Como sabemos que a energia potencial elástica armazenada numa mola é , obtemos facilmente que
!
$# %'&)(*"+ N/m
" " 2 de Dezembro de 2004, às 13:06
(J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa
para que a velocidade do caminhão chegue a zero antes do final da rampa? As rampas de escape são quase
sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou
cascalho. Por quê?
Nota: uso o valor (KI!" km/h da sexta edição do livro, em
vez dos (*" km/h da quarta, já que na quarta edição não
é fornecida nenhuma resposta.
Despreze o trabalho feito por qualquer força de
fricção. Neste caso a única força a realizar trabalho é
a força da gravidade, uma força conservativa. Seja ,.- a
energia cinética do caminhão no inı́cio da rampa de escape e ,0/ sua energia cinética no topo da rampa. Seja
2- e / os respectivos valores da energia potencial no
inı́cio e no topo da rampa. Então
,0/ 3
2/6$,.- 3
1-L
Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no
inı́cio da rampa, então 2/MN709O , onde O é a altura
E 8-6 (8-3/6 )
final do caminhão em relação à sua posição inicial. TeUm pedacinho de gelo se desprende da borda de uma mos que ,.-P$7@> , onde > é a velocidade inicial do
taça hemisférica sem atrito com ! cm de raio (Fig. 8- caminhão, e ,0/0Q" já que o caminhão para. Portanto
22). Com que velocidade o gelo está se movendo ao 7:9O.R7@> , donde tiramos que
chegar ao fundo da taça?
S(*I"&T(K" + CI!U""S
>
=U!UI m
O:
A única força que faz trabalho sobre o pedacinho de
C9
5%5 #
gelo é a força da gravidade, que é uma força conservativa.
Se chamarmos de V o comprimento da rampa, então teChamando de ,.- a energia cinética do pedacinho de ge- remos que V sen (J)WO , donde tiramos finalmente
lo na borda da taça, de ,0/ a sua energia cinética no que
fundo da taça, de 1- sua energia potencial da borda e de
O
U!UI
2/ sua energia potencial no fundo da taça, temos então
VX
"U m
sen (* J
sen (* J
, /43 / $, -53 - Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como
Consideremos a energia potencial no fundo da taça co- um “fluido”, tem mais atrito que uma pista sólida, ajumo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo dando a diminuir mais a distância necessária para parar
o veı́culo.
vale 1-687:9; , onde ; representa o raio da taça e 7
representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que
,.-<=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- E 8-10 ( na 6 )
mando de > a velocidade do pedacinho de gelo ao atingir o fundo, temos então, da equação da conservação da Um projétil com uma massa de G Y kg é disparado para cima do alto de uma colina de ( m de altura, com
energia acima que 709;?=7@> , o que nos fornece
uma velocidade de (" m/s e numa direção que faz um
ângulo de Y(*J com a horizontal. (a) Qual a energia
>'BA C9;D A % #!E "!F$GH( m/s
cinética do projétil no momento em que é disparado?
(b) Qual a energia potencial do projétil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial é nula na baE 8-8 (8-13/6 )
se da colina (Z$[" ). (c) Determine a velocidade do
Um caminhão que perdeu os freios está descendo uma projétil no momento em que atinge o solo. Supondo que
estrada em declive a (*I" km/h. Felizmente a estrada a resistência do ar possa ser ignorada, as respostas acima
dispõe de uma rampa de escape, com uma inclinação de dependem da massa do projétil?
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(a) Se 7 for a massa do projétil e > sua velocidade (b) Como a energia mecânica é conservada, a energia
após o lançamento, então sua energia cinética imediata- da mola comprimida deve ser a mesma que a enermente após o lançamento é
gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,
G*lm709O[Fi , onde é a constante da mola.
(
(
Portanto,
,.-\
7@> Y"!]S(*"! $!G "'&T(K" + J
i
" %Y#!
(b) Se a energia potencial é tomada como zero quando
RI" N/m
" "# o projétil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo
for chamada de O , então sua energia potencial inicial é
Observe que
- R7:9O.^_G YE % #!]S(*!F$ %Y&)(*" + J
I!" N/m n=IH(D&)(*" N/m =I5o( N/cmg
(c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia potencial é zero e a energia cinética pode ser escrita co- que é a resposta oferecida pelo livro-texto.
mo sendo , / `7@>/ , onde > / é a velocidade do
projétil. A energia mecânica é conservada durante o voo
E 8-13 (8-5/6 )
do projétil de modo que , / R7@>/ D=, -a3 - donde
tiramos facilmente que
Uma bola de massa 7 está presa à extremidade de uma
b
barra de comprimento V e massa desprezı́vel. A outra
,0- 3 2- extremidade da barra é articulada, de modo que a bo>/
7
la pode descrever um cı́rculo plano vertical. A barra é
mantida na posição horizontal, como na Fig. 8-26, até
b
receber um impulso para baixo suficiente para chegar
cH !G " 3 G %Y&T(K" +ed
f(*% m/s
ao ponto mais alto do cı́rculo com velocidade zero. (a)
G Y!"
Qual a variação da energia potencial da bola? (b) Qual
Os valores de ,.-Lgh,0/5ga2- e / dependem todos da mas- a velocidade inicial da bola?
sa do projétil, porém a velocidade final >/ não depende (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o
da massa se a resistência do ar puder ser considerada ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola está
desprezı́vel.
inicialmente a uma distância vertical V acima do ponObserve que o tal ângulo de Y(*J não foi usado para na- to mais baixo, a energia potencial inicial é 1-p^7:9GV ,
da! Talvez seja por isto que este exercı́cio já não mais sendo a energia potencial final dada por 2/qR7:9_Vp .
apareça nas edições subsequentes do livro...
A variação da energia potencial é, portanto,
r
E 8-12 (8-17/6 )
Uma bola de gude de g é disparada verticalmente para cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser
comprimida de # cm para que a bola de gude apenas alcance um alvo situado a " m de distância. (a) Qual a
variação da energia potencial gravitacional da bola de
gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?
(a) Neste problema a energia potencial possui dois
termos: energia potencial elástica da mola e energia potencial gravitacional.
Considere o zero da energia potencial gravitacional como sendo a posição da bola de gude quando a mola está
comprimida. Então, a energia potencial gravitacional da
bola de gude quando ela está no topo da órbita (i.e. no
ponto mais alto) é Fij=7:9GO , onde O é a altura do ponto mais elevado. Tal altura é O0" 3 " "#6"5 "!# m.
Portanto
1i?B '&T(K"Gk + E % #!] "5 "!#!1R"5 %Y!# J
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s2/?tu1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv
(b) A energia cinética final é zero. Chamemos de
,0-lw7@> a energia cinética inicial, onde > é a
velocidade inicial procurada. A barra não faz trabalho algum e a força da gravidade é conservativa, de
modo que ar energia mecânica
é conservada. Isto sigr
nifica que ,xyt
ou, em outras palavras, que
tz7@>*Dftz709GV de modo que temos
>
A C9Vv
P 8-16 (8-19/6 )
Um bloco de kg é encostado numa mola num plano inclinado sem atrito e com uma inclinação de I"J graus. A
mola em questão, cuja constante vale (*% U N/cm, é comprimida " cm sendo depois liberada. A que distância
ao longo do plano inclinado é arremessado o bloco?
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Quando o bloco é liberado, toda energia potencial (pois é perpendicular à direção do movimento), de moelástica armazenada na mola transforma-se em energia do que a energia mecânica é conservada. Isto significa
potencial gravitacional, que é usada para levantar o cor- que 7:
9 O0= , donde tiramos que
po verticalmente de uma altura O . A conservação de
L( I!'&T(K" ‚ E " "!! energia nos diz que {
O0
$"H(Y m
C7:9
L(*!E%5 #
G R709O|
Se o bloco viajasse uma distância } pelo plano inclinado
abaixo,
então } sen I"JƒO , de modo que
Portanto,
O:
709
S(K%5 U&T(K"!]E "L
] !E%5 #
}4
O
sen I" J
" o(CY
5
=" I! m
sen I" J
(b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dista "5 " m do ponto onde irá estar em repouso, e as
sim está a uma distância vertical de " "!! sen I!"!J6
"5 "! m acima da sua posição final. A energia poChamando de } a distância percorrida ao longo do pla- tencial é então 7:9GO„j…L(*]%5 #E"5 "!.NII J.
no, temos que O~s} sen I"J , donde tiramos a resposta Por outro lado, sua energia potencial inicial é 7:9GOR
procurada:
L(*!E%5 #E "H(Yv†"5 J. A diferença entre este dois
valores fornece sua energia cinética final: ,:/‡="zt
O
I5 I?^(G J. Sua velocidade final é, portanto,
}v
Y m
(C
sen I!" J
b
b
,0/
5S(G !
>'
f(! m/s
7
(
S(K"!K]Y]S(*" k *
$ m
P 8-17 (8-21/6 )
Uma mola pode ser comprimida cm por uma força de
!" N. Um bloco de ( kg de massa é liberado a partir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito
cuja inclinação é I"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprime
a mola G cm antes de parar. (a) Qual a distância total
percorrida pelo bloco até parar? (b) Qual a velocidade
do bloco no momento em que se choca com a mola?
A informação dada na primeira frase nos permite calcular a constante da mola:
P 8-18 ( na 6 )
Um projétil de " é lançado da borda de um penhasco
com uma energia cinética inicial de (" J e, no ponto
mais alto da trajetória, está a (KY!" m acima do ponto de
lançamento. (a) Qual a componente horizontal da velocidade do projétil? (b) Qual a componente vertical da
velocidade do projétil no momento do disparo? (c) Em
um certo instante, a componente vertical da velocidade
do projétil é U! m/s. Neste momento, a que altura ele se
encontra acima ou abaixo do ponto de lançamento?
!C"
€ f( I!q&T(K"‚ N/m
(a) A energia cinética inicial do projétil é ,0-M
"5 "
7@>- , e a energia potencial gravitacional é tomada co(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se mo sendo zero. No topo da trajetória a velocidade do
ele parte do repouso a uma altura O acima do ponto projétil apenas possui a componente horizontal da veloonde ele para momentaneamente, sua energia cinética cidade, que chamamos
{
de{ >ˆ . Portanto
é zero e sua energia potencial gravitacional inicial é
7:9GO , onde 7 é a massa do bloco. Tomamos o zero
7@> - 7@> ˆ 3 7:9Z max g
da energia potencial gravitacional como sendo o ponto
onde o bloco para. Tomamos também a energia poten- donde tiramos que
cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su> ˆ
‰ > - tX9Z max
ponha que o bloco comprima a mola uma distância b
antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener,.gia cinética final é zero, a energia potencial gravitacio
tX9Z max
7
nal final é zero, e a energia potencial final da mola é
b
. O plano inclinado não tem atrito e a força nor_]S(*!"
tX % #!]S(]Y"!1=Y m/s
mal que ele exerce sobre o bloco não efetua trabalho
"5 !
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(b) Quando a bola se move com uma velocidade > a uma
distância OT^I m abaixo da janela, sua energia potencial é menor que o seu valor inicial, a diferença sendo
{
{ da energia então fornece
igual a tz7:9GO . Conservação
(b) A componete vertical é dada por
>Š‹
‰ > - tT> ˆ
b
,.tT> ˆ
7
b
]S("
tŒYq= m/s
"
(c) No tal instante
a energia
{ cinética ,
{
,
7@> { 7Nc > ˆ t)> Š d
do projétil é
"!Ž Y 3
U e
(K%!UY J
7:> š 7@> tT7:9GO\g
donde obtemos
>'B‰ > š 3 9O.
A # 3
!E % #!E I!1^(( m/s
(c) e (d) Da expressão para > acima, fica bem claro que
> não depende nem da massa da bola nem do ângulo
inicial.
P 8-20 ( na 6 )
A mola de uma espingarda de mola tem uma constanChamemos de ‘ o deslocamento vertical desde o ponto te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um ângulo de
I!" J para cima em relação h̀orizontal, uma bala de " g
inicial até o instante
em questão. Então,
{
é disparada e atinge uma altura de m acima do cano
’
da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar
-<
7@> - =, 3 “R, 3 709G‘5g
o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no
momento do disparo?
o que nos fornece
{
(a) Chamando-se de >Cš o módulo da velocidade ini(
cial
da bala de massa 7 , temos que a componente ho‘
7:> - tŒ,–•
7:96” rizontal da velocidade é > ˆ 8>Cš<›Eœ!5I" J . No topo da
(
trajetória, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por("˜t(K%!UY™
"5 !]% #!|—
{
{ energia mecânica nos diz que
tanto, a conservação
da
t˜CU5 # m
7:> { 7@> ˆ 3 709Z max
J
Portanto o ponto ‘ em questão encontra-se ABAIXO da
7 > š ›Eœ!5I" J 3 709Z max
posição inicial de lançamento.
—
o que nos fornece
b
P 8-19 ( na 6 )
9Z max
> š (ztŒ›Eœ! I" J
Uma bola de " g é arremessada de uma janela com uma
velocidade inicial de # m/s e um ângulo de I"J para ciA !E % #!E_
ma em relação à horizontal. Determine (a) a energia
=Y¡ % #6f(G m/s
cinética da bola no ponto mais alto da trajetória e (b) a
sen I!" J
sua velocidade quando se encontra a I m abaixo da ja(b) A mola estava comprimida de tal que, pela
nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da
{
{
conservação da energia,
tenhamos
bola ou (d) do ângulo de arremesso?
G 7@> š g
(a) No topo da trajetória, a componente vertical da
velocidade da bola é zero enquanto que sua componente donde obtemos
horizontal continua sendo > ˆ s>Cš\›EœI" J , onde >Cš é o
b
b
módulo da velocidade da bola. A energia cinética , da
7
"5 ""
@> š
fL(*G
R"5 # m
bola de{ massa 7 { é, portanto,
(K"!"
,
7ž> ˆ _"&T(K" k +]'Ÿ#E ›Eœ!I" J  f( J
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P 8-21 ( na 6 )
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Uma bala de morteiro de kg é disparada para cima com
uma velocidade inicial de (*"" m/s e um ângulo de IYJ
em relação à horizontal. (a) Qual a energia cinética da
bala no momento do disparo? (b) Qual é a variação na
energia potencial da bala até o momento em que atinge
o ponto mais alto da trajetória? (c) Qual a altura atingida
pela bala?
(a) Seja 7 a massa da bala e > š sua velocidade inicial.
A energia cinética inicial é então
Qual é a velocidade da bola (a) quando está passando
pelo ponto mais baixo da trajetória e (b) quando chega
ao ponto mais alto da trajetória depois que a corda toca
o pino?
Chame de ¥ o ponto mais baixo que a bola atinge
e de ¦ o ponto mais alto da trajetória após a bola tocar no pino. Escolha um sistemas de coordenada com
o eixo Z originando-se no ponto ¥ e apontando para cima. A energia inicial da bola de massa 7 ’ no campo
gravitacional da Terra antes de ser solta vale 7:9GV .
(
(
Conservação
da energia fornece-nos então uma equação
,.-\
7:> š !ES(*"" $ q&Œ(K"‚ J
para a velocidade > da bola em qualquer lugar especifi(b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como cado pela coordenada Z :
sendo o ponto de tiro e chame de / a energia potencial
’
(
=709GVu
7:> 3 7:9Z
no topo da trajetória. / coincide então com a variação
{
da energia potencial deste o instante do tiro até o instante em que o topo da trajetória é alcançada. Neste ponto (a) Com Z§ls" em 709GVM
7:>§ 3 7:9Z§ , obtemos
a velocidade da bala é horizontal e tem o mesmo valor facilmente que
que tinha no inı́cio: > ˆ s>Cš\›]œ!G¢š , onde ¢š é o ângulo
> § A 9GVŒ A ]%5 #ES(! !1RY # m/s
de tiro. A energia cinética no topo é
(
,0/‡
(
7:> ˆ 7@> š ›Eœ ¢ š Como a energia mecânica é conservada
(
7@> š / 3
(
7:> š ›]œ! ¢ š Portanto
(
2/
(
7@> š S(ztŒ›Eœ! ¢ š (
7@> š sen ¢ š
!EL(K"" sen IY J
#&)(*" + J
(b) Importante aqui é perceber que o tal ponto mais alto
da trajetória depois que a corda toca o pino não é o ponto Vt'‘ (como a figura parece querer indicar) mas sim o
ponto Z¨l$V@t@‘ , pois a bola tem energia
suficiente
{
para chegar até ele! É neste detalhezito que mora o perigo... :-) Substituindo Z¨ em 7:9Vl
7:>¨ 3 7:9Z!¨ ,
obtemos então facilmente que
> ¨ A 9© ‘DtTVpª
A % #!Ec "«!|tM( d
Y m/s
Qual a razão deste último valor ser a metade do anterior?...
P 8-25 (8-25/6 )
(c) A energia potencial no topo da trajetória é também Deixa-se cair um bloco de kg de uma altura de Y!" cm
dada por /£7:9GO , onde O é a altura (desnı́vel) do sobre uma mola cuja constante é f(*%U" N/m (Fig. 8topo em relação ao ponto de tiro. Resolvendo para O , 32). Determine a compressão máxima da mola.
encontramos:
Seja 7 a massa do bloco, O a altura da queda e a
compressão
da mola. Tome o zero da energia potencial
/
G #&T(K" +
O0
^(KU!" m
como sendo a posição inicial do bloco. O bloco cai uma
7:9
_]% #!
distância O 3 e sua energia potencial gravitacional final
é tz709© O 3 . Valores positivos de indicam ter havido compressão da mola. A energia potencial da mola
P 8-23 (8-23/6 )
é inicialmente zero e C no final. A energia cinética
A corda da Fig. 8-31 tem VMQ(*" cm de comprimento é zero tanto no inı́cio quanto no fim. Como a energia é
e a distância ‘ até o pino fixo ¤ é de cm. Quando conservada, temos
a bola é liberada em repouso na posição indicada na fi(
"6^tz709©¬ 3 3
gura, descreve a trajetória indicada pela linha tracejada.
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{
As soluções desta equação quadrática são
7:9?­
A 709 3 C7:9GO
(*% Uz­
A
S(K%5 U 3 L(K% U!]_#Y
(K%!U"
que fornece dois valores para : "5o(*" m ou tv" "#!" m.
Como procuramos uma compressão, o valor desejado é
"H(K" m.
P 8-27 (8-27/6 )
Duas crianças estão competindo para ver quem consegue acertar numa pequena caixa com uma bola de gule disparada por uma espigarda de mola colocada sobre
uma mesa. A distância horizontal entre a borda da mesa
e a caixa é de m (Fig. 8-34). João comprime a mola
(H( cm e a bola cai ! cm antes do alvo. De quando deve
Maria comprimir a mola para acertar na caixa?
A distância que a bola de gude viaja é determinada pela sua velocidade inicial, que é determinada pela
compressão da mola.
Seja O a altura da mesa e a distância horizontal até o
ponto onde a bola de gude aterrisa. Então “m> š*® e
Om9 ® K , onde >Cš é a velocidade inicial da bola de
gude e ® é o tempo que ela permanece no ar. A segunda
equação fornece
® A !O9
de modo que
@š A O*9
{
{ {
então > š °±} *} S> š . Combinando isto com o resul
{
{
tado anterior encontramos } [ } . Tomando
agora ² "tM"5 )[( %I m, } [(H(K" cm, e
$ m, encontramos a compressão } desejada:
" m
• S(!o(*" cmf( cm
} ” (! %!I m
P 8-31 (8-26/6 )
Tarzan, que pesa U!## N, decide usar um cipó de (K# m
de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36).
Do ponto de partida até o ponto mais baixo da trajetória,
desce I5 m. O cipó é capaz de resitir a uma força
máxima de %!" N. Tarzan consegue chegar ao outro lado?
Chamando de 7 a massa do Tarzan e de > a sua velocidade no ponto mais baixo temos que
(
7@> 7:9GO\g
onde O é a altura que Tarzan desce. Desta expressão
tiramos que
> =C9GO. I9'$U Y9
Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda
lei de Newton, que a força centrı́peta está relacionada
com a tensão no cipó através da equação
7
> ³W=´£tT709g
A distância até o ponto de aterrisagem é diretamente
³
{
{
proporcional à velocidade inicial pois Q[>Cš ® . Seja onde é o raio da trajetória. Portanto, temos que
>Cš a velocidade inicial do primeiro tiro e a distância
>
U5 Y!709
horizontal até seu ponto de aterrisagem; seja >Cš a velo³
´RR
709 3 7 ³
7:9 3
cidade inicial do segundo tiro e a distância horizontal
U5 Y
até seu ponto de aterrisagem. Então
U#!# ( 3
•
{
(K#
”
{
> š > š %IG U N
Quando a mola é comprimida a energia potencial é Como ´`µ%" N, vemos que Tarzan consegue atra}]C¯ , onde } é a compressão. Quando a bola de gude vessar, porém estirando o cipó muito perto do limite
perde contato da mola a energia potencial é zero e sua máximo que ele agüenta!
energia cinética é 7@>š . Como a energia mecânica é
conservada, temos
P 8-32 (8-29/6 )
(
(
7@> š } g
Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com
pleta em torno do pino, então ‘$¶mI!Vp . (Sugestão:
de modo que a velocidade inicial da bola de gude é dire- A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao
{
tamente proporcional à compressão original da mola. Se ponto mais alto da trajetória. Você saberia explicar por
} for a compressão do primeiro tiro e } a do segundo, quê?)
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2 de Dezembro de 2004, às 13:06
Antes de mais nada, este problema é uma continuação t67»Vº¼9Z6‘!Z . A energia potencial total é
do problema 8-23. Releia-o antes de continuar.
‚
7
( 7
V Use conservação da energia. A energia mecânica deve
sft
9v½u¾5¿ ZG‘!Z
t
9
•
ser a mesma no topo da oscilação quanto o era no inı́cio
V
V
” Y
š
do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve(
t
709GVv
locidade (energia cinética) no topo. No topo a tensão
I!
´ na corda e a força da gravidade apontam ambas para
baixo, em direção ao centro do cı́rculo. Note que o raio O trabalho necessário para puxar a corrente para cima
da mesa é, portanto, t˜=7:9VƒCI! .
do cı́rculo é ;D$VTtT‘ , de modo que temos
´ 3 7:9R7
> g
VŒtT‘
onde > é a velocidade e 7 é a massa da bola. Quando a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor
velocidade possı́vel) a tensão é zero. Portanto, 7:9M
7@> G V)tŒ‘ e temos que >' A 9©VŒtŒ‘ .
Tome o zero da energia potencial gravitacional como
sendo no ponto mais baixo da oscilação. Então a energia potencial inicial é 7:9V . A energia cinética inicial
é " pois a bola parte do repouso. A energia potencial
final, no topo da oscilação, é 7:9G5Vt‘ e a energia
cinética final é 7@>*6=7:9 VŒtŒ‘h . O princı́pio da
conservação da energia fornece-nos
709GVuR7:9G5VTtŒ‘ 3
(
7:9 VŒtT‘e
Desta expressão obtemos sem problemas que
‘q
+· Vv
P 8-37¸ (8-35¸ /6 )
Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um
pequenı́ssimo empurrão e começa a escorregar para baixo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser desprezado, ele
³ perde o contato com o gelo num ponto cuja
altura é I . (Sugestão: A força normal desaparece
no momento em que o menino perde o contato como o
gelo.)
Chame de À a força normal exercida pelo gelo no
menino e desenhe o diagrama de forças que atuam no
menino. Chamando de ¢ o ângulo entre a vertical e o
raio que passa pela posição do menino temos que a força
que aponta radialmente para dentro é 7:9p›]œ!G¢2tÀ que,
de acordo com a segunda
³ lei de Newton, deve ser igual
a força centrı́peta 7@>* , onde > é a velocidade do menino. No ponto em que o menino se desprende do gelo
temos ÀmR" , de modo que
>
Se ‘ for maior do que I!Vp , de modo que o ponto mais
9ƒ›EœG¢‡ ³=
alto da trajetória fica mais abaixo, então a velocidade da
bola é maior ao alcançar tal ponto e pode ultrapassa-lo.
Precisamos agora determinar a velocidade > . Tomando
Se ‘ for menor a bola não pode dar a volta. Portanto o
a energia potencial como zero quando o menino está no
valor IVƒ é um limite mais baixo.
topo do iglu, teremos para ¢! a expressão
³
¢ftz7:9 L(ƒtT›]œ!G¢!E
P 8-35¸ (8-33¸ /6 )
Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com
um quarto de seu comprimento pendurado para fora da
mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um comprimento V e uma massa 7 , qual o trabalho necessário
para puxá-la totalmente para cima da mesa?
O trabalho necessário é igual à variação da energia
potencial gravitacional a medida que a corrente é puxada para cima da mesa. Considere a energia potencial como sendo zero quando toda a corrente estiver
sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente
num número grande de segmentos infinitesimais, cada um com comprimento ‘Z . A massa de um tal segmento é _¹=CVºL‘Z e a energia potencial do segmento a uma distância Z abaixo do topo da mesa é ‘G[
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O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia
cinética na hora que se desprende vale 7:>* . Portanto, a conservação da energia nos fornece "7:>Cjt
³
7:9 L(ƒtT›]œ!G¢! , ou seja,
³
> 9 S(ƒtT›]œ!G¢e
Substituindo este resultado na expressão acima, obtida
da força centrı́peta, temos
9º›EœG¢‡$C9L(ƒtT›]œ!G¢!Eg
ou, em outras palavras, que
›EœG¢‡
I
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A altura do menino acima do plano horizontal quando 8.1.3 Conservação da Energia
se desprende é
8.1.4 Trabalho Executado por Forças de Atrito
³
³
›]œ!G¢‡
I
8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial
E 8-45 (8-48/6 )
Aproximadamente :&M(K" Á kg de água caem por segundo nas cataratas de Niágara a partir de uma altura de
P 8-39 (8-37/6 )
" m. (a) Qual a energia potencial perdida por segunA energia potencial de uma molécula diatômica (H ou do pela água que cai? (b) Qual seria a potência gerada
O , por exemplo) é dada por
por uma usina hidrelétrica se toda a energia potencial
{
¥
¦
da água fosse convertida em energia elétrica? (c) Se a
“
t
companhia de energia elétrica vendesse essa energia pe; ;CÁ
onde ; é a distância entre os átomos que formam a lo preço industrial de ( centavo de dólar por quilowattmolécula e ¥ e ¦ são constantes positivas. Esta energia hora, qual seria a sua receita anual?
potencial se deve à força que mantém os átomos unidos. (a) O decréscimo na energia potencial gravitacional
(a) Calcule a distância de equilı́brio, isto é, a distância
por segundo é
entre os átomos para a qual a força a que estão submetidos é zero. Verifique se a força é repulsiva (os átomos
G'&T(K" Á E%5 #E_"!2$G«q&)(*"Å J
tendem a se separar) ou atrativa (os átomos tendem a se
aproximar) se a distância entre eles é (b) menor e (c)
(b) A potência seria
maior do que a distância de equilı́brio.
(a) A força é radial (ao longo a line que une os
¤f^_G«q&)(*" Å JEL( s=q&T(K" Å W
átomos) e é dada pela derivada de em relação a ; :
{
‘G
(*¥
U!¦
(c) Como a energia total gerada em um ano é
ft
t
€
‘;
; +
;Â
{
’
$¤ ® q&T(K" Á kWEL( ano]#CU" h/ano
A separação ; š de equilı́brio é a separação para a qual
š
G Y&)(*"
kWÃ hg
temos ; š =" , ou seja, para a qual
€
(¥MtTU!¦6; š Á $"
o custo anual seria
{
Portanto a separação de { equilı́brio é dada{ por
š
_G Y&)(*" E " "(*2$G Y&)(*" Ä dólaresg
¥
¥
Á
Á
; š • ¿ f(!o(
• ¿ ” ¦
” ¦
ou seja, Y!" milhões de dólares.
(b) A derivada da força em relação a ; , computada na
separação de equilı́brio vale
{
‘
(˜Ã(KI!¥
Y¦
E 8-50 ( na 6 )
€
t
3
‘!;
; š ‚
;Cš Ä
{
Um menino de ( kg sobe, com velocidade constante,
L(*U¥Mt)Y¦‡; Á J
por uma corda de U m em (*" s. (a) Qual o aumento da
t
; š ‚
{
energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a
¥
potência desenvolvida pelo menino durante a subida?
t
g
; š ‚
(a)
onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que
r
“R7:9O.^_G(*]%5 #EU1=I5 "&T(K"!+ J
; š Á …¥?C¦ . A derivada é negativa, de modo que a
força é positiva se ; for um pouco menor que ; š , indicando uma força de repulsão.
(b)
(c) Se ; for um pouco maior que ; š a força é negativa,
r
I"!""
indicando que a força é de atração.
¤s
RI!"" W
®
(*"
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E 8-51 ( na 6 )
P 8-66 (8-51/6 )
Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada
de Y5 m de altura em I5 s. Qual a potência desenvol- Um bloco de I kg é empurrado a partir do repouso
por uma mola comprimida cuja constante de mola é UY"
vida pela mulher?
N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra totalmente relaxada, o bloco viaja por uma superfı́cie hori !E % #!]Y5
zontal com um coeficiente de atrito dinâmico de "5 ! ,
¤s
$U%!I W
I
percorrendo uma distância de # m antes de parar. (a)
Qual a energia mecânica dissipada pela força de atrito?
(b) Qual a energia cinética máxima possuı́da pelo bloE 8-55 ( na 6 )
co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o
Um nadador se desloca na água com uma velocidade bloco fosse liberado?
média de " m/s. A força média de arrasto que se opõe (a) A magnitude da força de fricção é É@RÊ\ËCÀ , onde
a esse movimento é de ((K" N. Qual a potência média deÊ\Ë é o coeficiente de atrito dinâmico e À é a força norsenvolvida pelo nadador?
mal da superfı́cie sobre o bloco. As únicas forças verti
Para nada com velocidade constante o nadador tem cais atuantes no bloco são a força normal, para cima, e
que nadar contra a água com uma força de (!(K" N. Em a força da gravidade, para baixo. Como a componente
relação a ele, a água passa a "5 ! m/s no sentido dos vertical da aceleração do bloco é zero, a segunda lei de
seus pés, no mesmo sentido que sua força. Sua potência Newton nos diz que ÀmR709 , onde 7 é a massa do bloé
co. Portantor É~Ê Ë 7:9 . A energia mecânica dissipada
’
é dada por
ÌÉ}ÍÎÊ Ë 709} , onde } é a distância
¤fRÆMÃEÇ)
^L((K"E "FCY W
que
o
bloco
anda
antes de parar. Seu valor é
€6È
r ’
B"5 !E I]% #!]_G #P$UU5 #!# J
E 8-64 (8-43/6 )
Um urso de kg escorrega para baixo num troco de
árvore a partir do repouso. O tronco tem ( m de altura e a velocidade do urso ao chegar ao chão é de G U
m/s. (a) Qual a variação da energia potencial do urso?
(b) Qual a energia cinética do urso no momento em que
chega ao chão? (c) Qual a força média de atrito que agiu
sobre o urso durante a descida?
(a) Considere a energia potencial gravitacional inicial
como sendo 1-^" . Então a energia potencial gravitacional final é / ftz7:9GV , onde V é o comprimento da
árvore. A variação é, portanto,
2/?tu1-\^tz709GV
t6_]%5 #ES(
t4 %Y'&T(K" + J
(b) O bloco tem sua energia cinética máxima quando
perde contato com a mola e entra na parte da superfı́cie
onde a fricção atua. A energia cinética máxima é igual
à energia mecânica dissipada pela fricção: UU5 #!# J.
(c) A energia que aparece como energia cinética estava ariginalmente armazenada como energia
r ’ potencial
elástica, da mola comprimida. Portanto
†* ,
onde é a constante da mola e é a compressão. Logo,
b
b
r ’
5U!U ##!
@
$" Y! m n=Y!U cm
UY!"
P 8-69 (8-55/6 )
Dois montes nevados têm altitudes de #" m e " m
em relação ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis(
(
ta de esqui vai do alto do monte maior até o alto do
,
7:> !E_G U! =I% J
monte menor, passando pelo vale. O comprimento to(c) De acordo com a Eq. 8-26, a variação da energia tal da pista é I km e a inclinação média é I"!J . (a)
mecânica é igual a t4ÉV , onde É é a força de atrito Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior.
média. Portanto
Com que velovidade chegará ao alto do monte menor
r
r
sem se impulsionar com os bastões? Ignore o atrito. (b)
, 3
I%˜tŒ%Y!"
É@ft
“t
G(K" N
Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito
V
(*
(b) A energia cinética é
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dinâmico entre a neve e os esquis para que o esquiador
pare exatamente no alto do pico menor?
(a) Tome o zero da energia potencial gravitacional como estando no vale entre os dois picos. Então a energia
potencial é - 7:9O - , onde 7 é a massa do esquiador
e O - é a altura do pico mais alto. A energia potencial
final é / ^7:9O / , onde O / é a altura do pico menor.
Inicialmente o esquiador tem energia cinética , - †" .
Escrevamos a energia cinética final como , / 7@> ,
onde > é a velocidade do esquiador no topo do pico menor. A força normal da superfı́cie dos montes sobre o
esquiador não faz trabalho (pois é perpendicular ao movimento) e o atrito é desprezı́vel, de modo que a energia
mecânica é conservada: 2- 3 ,0-1°2/ 3 ,0/ , ou seja,
7:9GO-\R7:9O/ 3 7@> , donde tiramos
>'
‰ C9_O5-tXO/!
m
A 5%5 #E#"jtu"1YY
s
(b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam
em planos inclinados, a força normal da superfı́cie inclinada dos montes no esquiador é dada por À
7:9l›Eœ!¢ , onde ¢ é o ângulo da superfı́cie inclinada em
relação à horizontal, I"J para cada uma das superfı́cies
em questão. A magnitude da força de atrito é dada por
É~Ê\ËCÀNÊ\Ë*7:9M›]œ!G¢ . A energia mecânica dissipada pela força de atrito é É}jsÊ\Ë7:9!}~›]œ!G¢ , onde } é o
comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge
o topo do monte mais baixo sem energia cinética, a energia mecânica dissipada pelo atrito é igual à diferença de
energia potencial entre os pontos inicial e final da trajetória. Ou seja,
Ê\Ë*7:9}:›EœG¢q7:9_O - tŒO / Eg
donde tiramos Ê Ë :
Ê Ë
O-©tŒO/
}@›]œ!G¢
#!"˜tu"
$" "IU5
I5 '&T(K" + '›Eœ'I!" J
P 8-74 ( na 6 )
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l²( " . Em seguida, a partı́cula é liberada sem velocidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em
que a distensão da mola diminuiu para w"5 m.
(c) A força exercida pela mola é conservativa ou nãoconservativa? Explique sua resposta.
(a) Para distender a mola aplica-se uma força, igual
em magnitude à força da mola porém no sentido oposto.
Como a uma distensão no sentido positivo de exerce
uma força no sentido negativo de , a força aplicada tem
que ser BG # 3 I# Y , no sentido positivo de .
€
Ð
O trabalho que ela {erealiza
é
Ï
½
Ð š
!G # 3 I#5 Y! e{ Ð L‘
š ·
К
I5
# Y
!G #
3
+  · =
I5( " J
Ž
š
I
(b) A mola faz I( J de trabalho e este deve ser o aumento da energia cinética da partı́cula. Sua velocidade
é então
b
b
,
5I5( "!
>'
= I m/s
7
GH(
{
(c) A força é conservativa pois o trabalho que ela faz
{
quando a partı́cula vai de um ponto para outro pon{
to depende apenas de e , não dos detalhes do
movimento entre e .
P 8-79 (8-61/6 )
Uma pedra de peso Ñ é jogada verticalmente para cima
com velocidade inicial >Cš . Se uma força constante É devido à resistência do ar age sobre a pedra durante todo o
percurso, (a) mostre que a altura máxima atingida pela
pedra é dada por
O0
>š C9L( 3 |
É Cј
(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo
é dada por
{
>R>Cš
Ñ=tXÉ
•
” Ñ 3 É
¿ Uma determinada mola não obedece à lei de Hooke. A
força (em newtons) que ela exerce quando distendida
de uma distância (em metros) é de G # 3 I!# Y , (a) Seja O a altura máxima alcançada. A energia
no sentido oposto ao da distensão. (a) Calcule o traba- mecânica dissipada no ar quando a pedra sobe até a altur ’
lho necessário para distender a mola de u†"5 m até ra O é, de acordo com a Eq. 8-26,
^t4É©O . Sabemos
^`(! " m. (b) Com uma das extremidades da mola que
mantida fixa, uma partı́cula de GH( kg é presa à our ’
tra extremidade e a mola é distendida de uma distância
B,0/ 3 2/Pt,.- 3 1-eg
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onde ,.- e ,0/ são as energias cinéticas inicial e final, e
1- e 2/ são as energias poetenciais inicial e final. Escolha a energia como sendo zero no ponto de lançamento
da pedra. A energia cinética inicial é ,.-˜Ò7@>š , a
energia potencial inicial é - “" , a energia cinética final é , / 8" e a energia potencial final é / ÎјO .
Portanto t4ɩO:јO.t)7@> , donde tiramos
J
7@>š Ñv>š >š O0
g
Ñ 3 É©
9©Ñ 3 É©
C9L( 3 É|Ñj
8.1.5 Massa e Energia
E 8-92 ( na 6 )
(a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa
de (*"! g? (b) Durante quantos anos esta energia atenderia às necessidades de uma famı́lia que consome em
média ( kW?
’
(a) Usamos a fórmula R7ÍÔE :
{
onde substituimos 7 por Ñ?*9 e dividimos numerador e
denominador por Ñ .
·
’
J
f "H(K"!!E_G %%#q&T(K" Ä =%H(‡&)(*"
(b) Note que a força do ar é para baixo quando a pedra sobe e para cima quando ela desce. Ela é sempre
’
(b) Usamos agora R¤ ® , onde ¤ é a taxa de consumo
oposta ao sentido da velocidade.
A
energia
dissipada
r ’
Ót4!É©O . A ener- de energia e ® é o tempo. Portanto,{
durante o trajeto no ar todo é
’
·
gia cinética final é , / B7@>C , onde > é a velocida%H(‡&T(K"
de da pedra no instante que antecede sua colisão com
® {
¤
(D&)(*" +
o solo. A energia potencial final é / ²" . Portanto
t4É©O.=7@>5tv7:>š . Substituindo nesta expressão
%H(‡&T(K" segundos
a expressão encontrada acima para O temos
·
G %(?&T(K" anos!
É>š (
(
t
7:> t
7@> š C9L( 3 É|Cј
Deste resultado obtemos
> => š t
É> š 7:9L( 3 |
É Cј
> š t
> š
> š
”
É> š Ñ S( 3 É|Cј
‡
(zt
!É
•
Ñ 3 É
ÑRtXÉ
•Fg
” Ñ 3 É
{
de onde obtemos o resultado final procurado:
>'=> š
ÑRtXÉ
• ¿ ” Ñ 3 É
Perceba que para ÉRÎ" ambos resultados reduzem-se
ao que já conheciamos, como não podeia deixar de ser.
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P 8-96 ( na 6 )
{
Os Estados Unidos produziram cerca de G I(@&(*" kWÃ h de energia elétrica em 1983. Qual a massa equivalente a esta energia?
’
Para determinar tal massa, usamos a relação
7ÍÔE , onde ԇB %!%#&l(K" Ä m/s é a velocidade da luz.
Primeiro precisamos
converter kWÃ h{ para Joules:
{
{
I5(˜&T(K" kWà h G I(?&T(K" S(K" + WE IU"!" s
# I!q&T(K" Ä J
{
Portanto
’
78
Ô #5 I‡&T(K" Ä
$%! kg
_G %%#q&T(K" Ä Página 12 de 12