Secções Cônicas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Ana Paula Pedroso
Secções Cônicas
Elipse
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só
uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.
Definição: Dados dois pontos F1 e F2 do plano, chama-se
elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que
d  P, F1   d  P, F2  é constante.
ANIMAÇÕES
ou
Fazendo o esboço com um lápis...
Verificando a soma...
Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva
simétrica em relação à reta F1 F2 , e também à mediatriz do
segmento F1 F2 , conforme mostra a figura.
Mediatriz de F1 F2
.
.P
P
.F
1
.O
.F
2
.P
Equações de Elipses na posição-padrão
a
a
.
.
b
b
c
c
b2  c 2
.Q
.
b
c
. .P
c
b2  c 2
a  c
a  c
 a  c 
b2  c 2  b2  c 2
2a  2 b2  c 2
a
b2  c 2
a 2  b2  c 2
dist  F1 , Q   a 
 dist  F1 , Q   dist  F2 , Q   2a
dist  F2 , Q   a 
y
. P   x, y 
.
.F  c,0
F2   c,0 
1
d  F1 , P  
 x  c  y2
d  F2 , P  
 x  c
x
2
2
 y2
sabemos que
dist  P, F1   dist  P, F2   constante
dist  P, F1   dist  P, F2   2a 
 x  c
2
y 
2
 x  c
2
 y 2  2a
 x  c
2
 x  c
y 
2



2
 y 2  2a
2
 x  c
2



2
2
 y    2a  ( x  c )  y 



2
2
( x  c )  y  4a  4a ( x  c )  y   x  c   y 2
2
2
2
2
2
2
x  2 xc  c  4a  4a ( x  c) 2  y 2  x 2  2 xc  c 2
2
2
2
2

 2

2
2
 a ( x  c)  y    a  xc 

 

a
2
 x  c 
2
y
2
a
4
2
 2a xc  x c
2
2
2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2c 2
a 2 x 2  x 2c 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2
a
2
 c2  x2  a2 y 2  a2  a2  c2 
2
2
2
2 2
2
2
2
a

c
x

a
y

a
a

c




lembrando que a 2  b 2  c 2 , resulta
b 2 x 2  a 22 y 22  aa22bb22
a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2
x2 y 2
 2 1
2
a
b
com focos em Ox,
centro  0,0  e b  a.
ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃO
y
y
a
.
b
a
.
.
 c, 0 
 c, 0 
 c, 0
b
x
a
b
b
.
a
x2 y 2
 2 1
2
a
b
y 2 x2
 2 1
2
a
b
  c, 0 
x
Uma técnica para esboçar elipses
Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso
pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na
equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo
maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e
está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os
denominadores forem iguais, a elipse é um círculo.
Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a
unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior,
e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo
menor.
Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu
centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados
interseccionam os eixos coordenados.
Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses.
x2 y 2
(a)

1
9 16
(b) x 2  2 y 2  4
Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos
 0, 2  e o eixo maior com extremos  0, 4 .
Hipérbole
Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta
ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos F1 e F2 do plano, chama-se
hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano tais que
d  P, F1   d  P, F2  é constante.
Equações da hipérbole na posição-padrão
c

F1
a
c
a

F2
Do triângulo retângulo obtido no
esquema ao lado, chamaremos
de b o cateto ainda indefinido e
escreveremos que
a
b

F1
c

F2
b2  c 2  a 2
b  c2  a2

c  a 2  b2
P


a
ca
V

Pela definição de hipérbole
dist  P, F1   dist  P, F2   constante:
 c  a   2a    c  a   2a
a
ca
daí
dist  P, F1   dist  P, F2   2a
para
dist  P, F1   dist  P, F2 
P   x, y 

  c, 0 
V


a
 c, 0 
a
sabemos que
dist  P, F1   dist  P, F2   2a,
então vale que
 x  c  y2 
2
 x  c   y 2  2a
2
 x  c
2
 x  c
y 
2



2
 y 2  2a
2
 x  c
2



2
2
 y    2a  ( x  c )  y 



2
2
( x  c )  y  4a  4a ( x  c )  y   x  c   y 2
2
2
2
2
2
2
x  2 xc  c  4a  4a ( x  c) 2  y 2  x 2  2 xc  c 2
2
2
2
2


2
2 
2
a ( x  c)  y    xc  a 

 

2
a x  2a xc  a c  a y  x c  2a 2 xc  a 4
2 2
2
2 2
2
2
2
2
a 2 x 2  x 2c 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2
2
2
2
2 2
2
2
2
a

c
x

a
y

a
a

c




2
2
2
2 2
2
2
2
a

c
x

a
y

a
a

c




lembrando que c 2  a 2  b 2 , resulta
2
2
2 2
2
2

b
x

a
y

a

b
 
 
b 2 x 2 a 2 y 2  aa22bb22
 a 2b 2  a 2b 2  a 2b 2
x2 y 2
 2 1
2
a
b
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
y
b
y x
a
y
b
y x
a
..
b
  c, 0
a
a
y x
b
a
. .
. .
0, c 
a
b
x2 y 2
 2 1
2
a
b
c, 0 
x
b
..

b
a
0, c 
y 2 x2
 2 1
2
a
b
x
a
y x
b
Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo x ou eixo y .
Determine os valores a e b e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o
gráfico da hipérbole.
Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
x2 y 2
(a)

1
4 16
(b) y 2  x 2  1
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
4
 0, 8 e assíntotas y   x.
3
Parábola
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica
é uma parábola.
Definição: Dados um ponto F e uma reta d (diretriz) de um
plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano
que equidistam do ponto F e da reta d . Ou seja,
dist  P, F   dist  P, D 
Equações de parábolas na posição-padrão
 p
. p.
2p
Eixo de Simetria
2p
Diretriz
x  p
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO
Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox
y
y
. .

. .
p, 0 
y 2  4 px
x
  p, 0
y 2  4 px
x  p
x
PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO
Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy
y
y
y p
 0, p 
.
.
 0,  p
.
.
x
y  p
x 2  4 py
y 2  4 px
x
y
Pela definição de parábola,
sabemos que
D    p, y 
.
.
PF  PD
P   x, y 
dito de outra forma
.
F   p, 0 
x
dist  PF   dist  PD 
considerando que
PF 
 x  p  y2
PD 
 x  p
 x  p
2
2
y 
2
2
 x  p
2



2
 x  p
2
 x  p


2
 y     x  p 



2
2
2
 y   x  p
2
2
x 2  2 xp  p 2  y 2  x 2  2 xp  p 2
2 xp  y 2  2 xp
y 2  4 px
Uma técnica para esboçar parábolas
Determine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y.
O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um
termo y2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2.
Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de
simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à
direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à
esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de
simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para
cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo
se forem negativos.
Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p
unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na
qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do
eixo de simetria.
Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu
vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.
Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas.
(a) x 2  12 y
2
y
 8x  0
(b)
e mostre o foco e a diretriz de cada um.
Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é
simétrica em relação ao eixo y, tem vértice na origem e passa
no ponto  5,2  .
CÔNICAS TRANSLADADAS
Parábolas com vértice h, k  e eixo paralelo ao eixo x
y k
2
y k
2
 4 p  x  h
[aberta à direita]
 4 p  x  h 
[aberta à esquerda]
Parábolas com vértice h, k  e eixo paralelo ao eixo y
x  k
2
x  k
2
 4 p  y  h
[aberta para cima]
 4 p  y  h 
[aberta para baixo]
Elipse com centro  h, k  e eixo maior paralelo ao eixo x
 x  h
a
2
2
y k


b
2
1
2
b  a 
Elipse com centro  h, k  e eixo maior paralelo ao eixo y
 x  h
b
2
2
y k


a
2
2
1
b  a 
Hipérbole com centro  h, k  e eixo focal paralelo ao eixo x
 x  h
a
2
2
y k


b
2
1
2
Hipérbole com centro  h, k  e eixo focal paralelo ao eixo y
 y k
a
2
2
x  h


b
2
2
1
Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que
tenha seu vértice em 1, 2  e o foco em  4,2 .
Exemplo 8: Determine o gráfico da equação
y 2  8 x  6 y  23  0
Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação
16 x 2  9 y 2  64 x  54 y  1  0
Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação
x 2  y 2  4 x  8 y  21  0
CÔNICAS ROTACIONADAS
Uma equação da forma
ax2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0
É chamada de uma equação de segundo grau em x e y . O
termo bxy nesta equação é chamado de termo misto. Se o
b  0 , então a
termo misto estiver ausente da equação
equação se reduz ax 2  cy 2  dx  ey  f  0 a e, neste
caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente
degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada.
Pode ser provado que se o termo misto estiver presente ,
então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada)
rodada de sua orientação-padrão.
PROPRIEDADES DA REFLEXÃO
DAS
SEÇÕES CÔNICAS
TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta
tangente em um ponto P sobre a parábola faz ângulos iguais
com a reta que passa por P paralela ao eixo de simetria e
com a reta que passa por P e o foco.
Eixo de
simetria




Foco
P
Reta tangente em
P
TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta
tangente a uma elipse em um ponto P faz ângulos iguais com
as retas que unem P aos focos.
Reta tangente em
P

.
.P

.
TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma
reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais
com as retas que unem P aos focos.

.
.P
.

Reta tangente em
P
ANIMAÇÕES
Propriedade de Reflexão da Elipse
Propriedade de Reflexão da Hipérbole
Propriedade de Reflexão da Parábola