Seções Cônicas
Cônicas não degeneradas
Estudaremos as (seções)
cônicas, curvas planas que são
obtidas da intersecção de um
cone circular com um plano.
Vamos estudar a elipse, a
hipérbole e a parábola, que são
chamadas de cônicas não
degeneradas.
No Gráfico:
Vamos definí-las como conjunto
de pontos que satisfazem certas
propriedades e determinar as
equações na forma mais simples.
Cônicas não
degeneradas
Elipse
Elipse
Definição: A elipse é a curva que se obtém
seccionando-se um cone com um plano que não
passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz
(reta que gira em torno do eixo do cone de forma a
gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da
superfície.
Elipse
Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Elipse
Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos
P = (x, y) do plano tais que a soma das
distâncias de P a dois pontos fixos
F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se
dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto
dos pontos P = (x, y) tais que
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a,
em que a > c.
Elipse
Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a
Elipse
Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a
Elipse
Hipérbole
Elementos da Elipse:
F1, F2: focos. A distância entre os Focos
F1 e F2, igual a 2c, denomina-se
distância focal.
O: centro da elipse; é o ponto médio do
segmento F1, F2.
A1, A2, B1, B2: vértices da elipse.
Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo
comprimento é 2a.
Eixo menor: é o segmento B1B2 e cujo
comprimento é 2b.
Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado
na figura, obtemos a relação notável:
a b c
2
2
2
Elipse
Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos
focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é
Elipse
Figura 1.1: Elipse com focos nos pontos F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0)
Elipse
Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos
focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é
Elipse
Figura 1.2: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c)
Elipse
Nas Figuras 1.1 e 1.2, os pontos A1 e A2 são
chamados vértices da elipse. Os segmentos A1A2
e B1B2 são chamados eixos da elipse.
Elipse
Parábola
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Aplicações práticas da Elipse:
(a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o
deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria.
No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde
podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que
correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente.
Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma
circunferência e o meridiano de uma elipse.
(b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de
concreto e de pedras (desde os antigos romanos)
(c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia.
Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são
utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.
Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).
(d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos
pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região
intermediária aos dois focos.
(e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta
baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a
ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à
altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de
chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos
gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave,
César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam).
Parábola
Parábola
Definição: A parábola (do grego παραβολή) é uma
seção cônica gerada pela intersecção de uma
superfície cônica de segundo grau e um plano
paralelo a uma linha geradora de cone (chamada
geratriz.
Parábola
Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano
Parábola
Algebricamente: Uma parábola é o conjunto dos
pontos P = (x, y) do plano equidistantes de uma
reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não
pertencente a r, ou seja,
a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y)
chamados de vértices da parábola,
tais que dist(P, F) = dist(P, r)
Parábola
Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r)
Parábola
Parábola que o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F) = dist(P, r)
Parábola
Elementos da Parábola:
F: foco
D: diretriz
V: vértice
p: parâmetro, que representa a
distância do foco à diretriz reta VF: eixo
de simetria da parábola.
LATUS RECTUM: é a corda AA’ que
passa pelo foco e é perpendicular ao
eixo de simetria. Também chamada de
corda focal mínima.
Parábola
Proposição 1. (a) A equação de uma parábola
com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = -p é
Parábola
Parábola com foco no ponto
F = (p, 0) e p > 0
Parábola com foco no ponto
F = (p, 0) e p < 0
Parábola
Proposição 1. (b) A equação de uma parábola
com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = -p é
Parábola
Parábola com foco no ponto
F = (0, p) e p > 0
Parábola com foco no ponto
F = (0, p) e p < 0
Parábola
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Aplicações práticas de Parábola
(a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície
espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios
luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma
direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
(b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo
da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de
calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).
Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de
radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na
antena e conluem para o retransmissor).
(c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde
que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso
da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento.
Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos
assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal
curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA.
(d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga
submetida a uma carga uniforme é uma parábola.
(e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da
gravidade, a trajetória é uma parábola.
(f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se
o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma
parábola.
Hipérbole
Hipérbole
• Definição: A hipérbole é a curva que se obtém
seccionando-se um cone com um plano que não
passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta
geratriz e que corta as duas folhas da superfície.
Hipérbole
Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Hipérbole
Algebricamente: Uma hipérbole é o conjunto dos
pontos
P = (x, y) do plano, tais que o módulo da diferença
entre as distâncias de P a dois pontos fixos
F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se
dist(F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto
dos pontos P = (x, y) tais que
|dist(P,F1 – P, F2)| = 2a,
em que a < c.
Hipérbole
Hipérbole que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a
Hipérbole
Elementos da Hipérbole:
F1, F2: focos. A distância entre os focos
F1, F2, igual a 2c, denomina-se
distância focal.
O: centro da Hipérbole; é o ponto médio
do segmento F1, F2.
A1, A2: vérices da Hipérbole.
Eixo real ou transversal: é o segmento
A1, A2 e cujo comprimento é 2a.
Eixo imaginário ou conjugado: é o
segmento B1B2 e cujo comprimento é
2b.
Do triângulo B2OA2, hachurado na
figura, obtemos a relação notável:
c 2  a 2  b2
Hipérbole
Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos
são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é
e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima,
quando ) são
Hipérbole
Figura 1.3: Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0)
Hipérbole
Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são
F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é
e das assíntotas são
Hipérbole
Figura 1.4: Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0; - c) e F2 = (0; c)
Hipérbole
Nas Figuras 1.4 e 1.5, os pontos A1 e A2 são
chamados vértices da hipérbole.
Hipérbole
Parábola
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Aplicações práticas de Hipérbole:
(a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita
elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
(b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário
de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
(c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação
aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de
rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo
de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim
obtêm a característica da hipérbole na qual está P.
Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema
RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para
observações de grande precisão).
Caracterização das Cônicas
Caracterização
das Cônicas
Hipérbole
Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com
exceção da circunferência, podem ser descritas de
uma mesma maneira.
Caracterização
das Cônicas
Hipérbole
Proposição 1. Seja s uma reta fixa (diretriz) e F um ponto fixo (foco) não
pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y) tais que
dist(P, F) = e dist(P, s)
em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica.
(a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola.
(b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse.
(c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole.
Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser
descrita por uma equação da forma.
Caracterização
das Cônicas
Hipérbole
A excentricidade da elipse é o número
.
Como c < a, a excentricidade de uma elipse é um
número real não negativo menor que 1. Observe
que se F1 = F2, então a elipse reduz-se ao círculo
de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0.
Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade
nula.
Caracterização
das Cônicas
Hipérbole
Quanto mais próximo de 0 for o valor de e, mais a
elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro
lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o
valor de e se aproxima de 1.
Exemplo:
Caracterização
das Cônicas
Hipérbole
A excentricidade da hipérbole é o número
Como c > a, a excentricidade de uma hipérbole um
número real maior que 1.
.
Bibliografia
Bibliografia
• STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica /
Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. - 2.ª edição –
São Paulo, McGraw-Hill, 1987.
• DANTE, Luis Roberto. Matemática – Contexto &
Aplicações – Volume Único. 1.ª edição – São Paulo,
Ática, 2003.
• http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf
• www.geometriaanalitica.com.br