Capítulo 4 – Função do 2º Grau
• Prof. Daniel Keglis
• Matemática
4.1) Definição:
Uma função f: R
R chama-se função polinomial do
2º grau quando ela é do tipo f(x) = ax2 + bx + c = 0,
sendo a, b e c números reais e a  0.
Exemplos: f(x) = 2x2 - 18
f(x) = - 3x2 + 2x
f(x) = 2x2 +5x -2
a = 2 , b = 0 e c =-18
a = -3 , b = 2 e c = 0
a = 2 e b = 5 e c = -2
4.2 Zeros ou raízes da função do 2º grau:
É o valor de x para qual a função polinomial do
2º grau f(x) = ax2 + bx + c = 0, se anula, ou seja,
quando f(x) = 0.
Exemplo: Seja a função f(x) = x2 - 2x -3
O zero ou raiz da função é determinado igualando a
f(x) a zero. Através da fórmula de Bhaskara
encontramos as raízes x = 3 e x = -1
4.3.1 Gráfico da função do 2º grau:
Veja a representação gráfica da função do 2º grau
x
y
(x,y)
-2
5
(-2,5)
-1
0
(-1,0)
0
-3
(0,-3)
1
-4
(1,-4)
2
-3
(2,-3)
3
0
(3,0)
4
5
(4,5)
f(x) = x2 - 2x -3
4.3.1 Gráfico da função do 2º grau:
4.3.2 Concavidades da parábola
• O gráfico da função quadrática será sempre uma
parábola com concavidades voltadas para cima ou
para baixo. Veja:
a>0
a<0
4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau
No esboço gráfico de uma função quadrática, podem
ocorrer os seguintes casos:
4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau
4.3.3 Esboço gráfico da função do 2º grau
4.3.3 Conclusões (Esboço Gráfico):
• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ > 0, então terá
2 raízes reais e diferentes (x1  x2).
• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ = 0, então terá
2 raízes reais e iguais (x1=x2).
• Se a função do 2º grau em estudo tiver ∆ < 0, então não
haverá raízes reais.
4.5 Coordenadas do vértice da parábola
O vértice é um ponto notável da parábola muito
importante. É ele que determina a inflexão da curva, ou
seja, onde ela muda o seu sentido. Usamos as
coordenadas Xv e Yv para determinar o vértice da parábola.
Essas expressões são obtidas através dos coeficientes da
função quadrática.
b
Xv  
2a

Yv  
4a
4.6 Valor máximo e valor mínimo da função
Considere as funções do 2º grau cujos os gráficos estão
representados abaixo:
4.6 Valor máximo e valor mínimo da função
Examinando os gráficos acima, podemos concluir que:
• Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada
mínima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto mínimo
(Valor Mínimo).
• Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada
máxima. Nesse caso, o vértice é chamado de ponto máximo
(Valor Máximo).
4.7 Pontos Notáveis da Parábola
Para traçar o esboço gráfico de uma parábola, com
praticidade, usamos alguns pontos notáveis da parábola.
• Ponto de intersecção da parábola com o eixo x (Raízes da
função do 2º grau)
• Ponto de intersecção da parábola com o eixo y. (Ponto 0,c)
• O vértice da parábola. (Xv e Yv).
4.8 Conclusões:
• Observamos que o gráfico de uma função do 2º
grau é sempre uma parábola.
• Quando a > 0 a parábola tem concavidade voltada
para cima, a < 0 a parábola tem concavidade
voltada para baixo.
• O coeficiente c é a ordenada do ponto (0,c) onde a
parábola intercepta o eixo y.
• O zeros ou raízes da função são o pontos onde a
parábola intercepta o eixo x, ou seja, onde f(x) = 0.
4.9 Estudo do Sinal da função do 2º grau
O estudo do sinal de uma função do 2º grau recai sempre
em um dos casos a seguir:
Para a > 0
∆>0
∆=0
∆<0
4.9 Estudo do Sinal da função do 2º grau
Para a < 0
∆>0
∆=0
∆<0
4.9 Aplicações:
• Podemos observar nas figuras abaixo situações de
aplicação deste tipo de função: