Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2004
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•
Resposta em
Frequência
–
–
conceito base
filtros
•
•
•
•
Aula
AT 2004
passa-baixo
passa-alto
passa e rejeita banda
MATLAB
–
–
freqz()
butter()
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• Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a
resposta de sistemas a sinusóides
• Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas
LTI são completamente caracterizados pela sua
resposta a sinusóides
• Esta caracterização é conhecida como função de
transferência
– porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao
serem transferidos através do sistema
• Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das
suas características pelos sistemas LTI (fase e
amplitude) é conveniente dividir em duas partes
– resposta em amplitude e resposta de fase
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O conceito base
• Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides
de várias frequências
– para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa
– considerando a resposta em amplitude só temos de medir a
amplitude na saída
• Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)
Frequência
125 Hz
250 Hz
500 Hz
1000 Hz
1500 Hz
2000 Hz
3000 Hz
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Amplitude da sáida
2V
2V
1.98 V
1.42 V
0.50 V
0.18 V
0.02 V
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Problema
• E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide
de 400 Hz ou 1733 Hz ?
• Para poder prever a resposta a uma sinusóide de
qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela
com uma linha para todas as possíveis frequências
– ou seja um número infinito de entradas !!!
• A solução passa pela utilização de um gráfico,
– com frequência no eixo horizontal
– e amplitude no eixo vertical
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400 Hz  2 V
1733 Hz  0.3 V
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Passa-baixo
• Vantagem importante:
– o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta
• No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de
frequência a amplitude de saída é igual à de entrada
• Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou
atenuada
• Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da
frequência) é conhecida por passa-baixo
– devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo
sistema sem alteração
– enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas
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Respostas como quocientes
• No primeiro exemplo todas as medições
usaram a mesma amplitude (2V)
• No entanto nem sempre é possível ou
desejável essa situação
• Generaliza-se o conceito fazendo com que a
resposta seja o quociente (razão) entre o nível
do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada,
ambos função da frequência
Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)
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Aplicando ao exemplo anterior
• Tabela:
Frequência
125 Hz
250 Hz
500 Hz
1000 Hz
1500 Hz
2000 Hz
3000 Hz
AT 2004
Amplitude da sáida
2V
2V
1.98 V
1.42 V
0.50 V
0.18 V
0.02 V
Amplitude de Entrada
2
2
2
2
2
2
2
saida/entrada
1
1
0.99
0.70
0.25
0.09
0.01
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Filtros
• Sistemas que deixam passar uma gama de
frequências melhor que outras são conhecidos
em geral por filtros
• Existem dois tipos principais de filtros
– passa-baixo
– passa-alto
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Comando MATLAB freqz
• Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos
das experiências com o comando filter() )
pode obter-se facilmente a resposta em
frequência
– freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1
– freqz(b,a,N,freq_amostragem);
• N = número de pontos para calcular
– [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);
• h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores
• f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta
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Passa-baixo
• idealmente não afecta as sinusóides abaixo de
uma determinada frequência, designada por
frequência de corte
amplitude
1
0
fc
“pass band”
banda de passagem
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“stop band”
banda de corte
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• Na vida real um passa baixo será por exemplo
transição não
instantânea
em dB
frequência de corte definida pela frequência
onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo
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Passa-alto
• Deixam passar sinusóides acima de um certa
frequência
• Idealmente
amplitude
1
0
fc
“stop band”
banda de corte
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“pass band”
banda de passagem
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Filtros em paralelo
1
0
1
fc2
0
1
0
fc1
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+
Rejeita banda
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Filtros em cascata
1
1
1
0
0
f
c
1
f
c
2
0
Passa banda
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Comando MATLAB butter
• BUTTER Butterworth digital and analog filter
design.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order
lowpass digital Butterworth filter and returns
the filter coefficients in length N+1 vectors B
(numerator) and A (denominator).
– The coefficients are listed in descending powers of
z.
– The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0,
with 1.0 corresponding to half the sample rate.
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• If Wn is a two-element vector, Wn = [W1
W2], BUTTER returns an order 2N bandpass
filter with passband W1 < W < W2.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a
highpass filter.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop
filter if Wn = [W1 W2].
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Resposta de fase
• Geralmente muito menos relevante que a
resposta em amplitude
– motivações perceptuais
• Define-se como a diferença entre as fases das
sinusóides de entrada e saída
Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)
• Uma resposta de fase linear atrasa de um
mesmo valor temporal todas as sinusóides
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CLTIDemo
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DLTIDemo
AT 2004
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TPC 
• Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell
• e em especial rever os assuntos relacionados
com as 7 aulas anteriores para a primeira
avaliação (próximo Sábado, dia 4)
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