Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 3ª Série
Geometria Analítica: Estudo das
cônicas: Elipse
MATEMÁTICA, 3º Ano
Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse
Definição:
Uma elipse é o lugar geométrico formado pelas posições ocupadas por um ponto
que se move em um plano de maneira que a soma de suas distâncias a dois
pontos fixos no referido plano é sempre igual a uma constante maior do que a
distância entre os dois pontos fixos.
y
B1
A1
(-a;0)
(0;b)
P(x;y)
a
A2
0
F1(-c;0)
B2
F2(c;0)
(a;0)
(0; -b)
Ilustração baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometriaanalitica-elipse.htmlari
x
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Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse
OBSERVAÇÃO
Os pontos fixos são denominados focos da elipse. A definição de uma elipse não
exclui o caso em que o ponto móvel se encontra sobre o segmento retilíneo
delimitado pelos focos.
F1
F2
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A reta que passa pelos focos é chamada
eixo focal.
O eixo focal intercepta a elipse em dois
pontos, A1 e A2, denominados vértices.
A porção do eixo focal delimitada pelos
vértices, o segmento A1A2, é denominado
eixo maior.
O ponto sobre o eixo focal, equidistante
dos focos, é denominado centro.
A reta que passa pelo centro
perpendicularmente ao eixo focal é
chamada de eixo normal.
O eixo normal intercepta a elipse em dois
pontos, B1 e B2, e o segmento B1B2 é
denominado eixo menor.
y
B1
(0;b)
P(x;y)
A1
(-a;0)
a
A2
F1(-c;0)
0
B2
F2(c;0)
(a;0)
x
(0; -b)
Imagem baseada em:
www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html
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y
B1
(0;b)
P(x;y)
A1
(-a;0)
a
A2
F1(-c;0)
0
B2
(0; -b)
F2(c;0)
(a;0)
x
Imagem baseada em:
www.algosobre.com.br/matematica/g
eometria-analitica-elipse.html
EQUAÇÃO PADRÃO DA ELIPSE
Consideremos a elipse cujo centro está na origem e cujo eixo focal é coincidente
com o eixo X.
Uma vez que o centro O é o ponto médio do segmento retilíneo F1F2, atribuímos
a F1 e F2 as coordenadas (-c, 0) e (c, 0), respectivamente, sendo c uma constante
positiva.
Seja P(x, y) qualquer ponto sobre a elipse. Então, segundo a definição de
elipse, o ponto P deve satisfazer a condição geométrica |F1P| + |F2P| = 2a, onde
a é uma constante positiva maior do que c.
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Dessa forma:
√(x-c)²+y² + √(x+c)² +y²=2a
y
B1
(0;b)
P(x;y)
A1
(-a;0)
a
A2
F1(-c;0)
0
B2
F2(c;0)
(a;0)
x
(0; -b)
Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html
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A fim de simplificar a equação transpomos ao segundo membro o segundo
radical, elevamos ao quadrado, simplificamos e reduzimos os termos semelhantes; isto nos dá
cx + a² = a√(x + c)² + y²
Novamente elevando ao quadrado e simplificando chegamos a
(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²)
y
B1
(0;b)
P(x;y)
A1
(-a;0)
a
A2
F1(-c;0)
0
B2
(0; -b)
Imagem baseada em:
www.algosobre.com.br/matemat
ica/geometria-analiticaelipse.html
F2(c;0)
(a;0)
x
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Visto ser 2a > 2c, a² > c² e (a² − c²) é um número positivo que podemos substituir
pelo número positivo b². Obtemos:
b²x² + a²y² = a²b²
que, dividido por a²b² assume a forma
x² + y² = 1
a²
b²
̇
y
b
x
F2
a
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OBSERVAÇÃO 1
Para elipses com focos no eixo Y e centro em O(0, 0) a equação é
x² + y² = 1
b²
a²
̇
y
F2
a
x
F1
b
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OBSERVAÇÃO 2
Para elipses com centro C(x’, y’) em que x’ e/ou y’ é diferente de zero, temos
(x – x’)² + (y – y’)² = 1 ou (x – x’)² + (y – y’)² = 1
a²
b²
b²
a²
̇
elipse de eixo maior horizontal
elipse de eixo maior vertical .
y
y
F2
b
F1
C(x’, y’)
a
F2
x
C(x’, y’)
x
a
F1
b
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Excentricidade
A excentricidade de uma elipse é dada pela expressão:
e= c
a
Onde 0 < e < 1.
e = 0,8
e = 0,6
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OBSERVAÇÃO 1
e = 0 → circunferência
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OBSERVAÇÃO 2
e = 1 → parábola
Obs: e = 1 neste caso corresponde a y^2=0 (reta dupla) mas que de modo geral
será a excentricidade de uma parábola (a ser visto em outra aula).
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OBSERVAÇÃO 3
e > 1 → hipérbole
Obs: corresponde à excentricidade de uma hipérbole.
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Propriedades da elipse
1. A tangente à elipse b²x² + a²y² = a²b² em qualquer ponto P1(x1, y1) sobre a curva
tem por equação
b²x1x + a²y1y = a²b².
y
P(x1, y1)
x
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Propriedades da elipse
2. As equações das tangentes de declividade m à elipse b²x² + a²y² = a²b² são
y = mx ± √ a²m² + b²
y
x
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Propriedades da elipse
3. A normal a uma elipse em qualquer ponto sobre a curva é a bissetriz do ângulo
formado pelos raios focais daquele ponto.
normal
P
tangente
a
a
F
F’
Imagem baseada em: http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo0501.htm
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Com base, então, nas propriedades da elipse, podemos determinar a equação
da reta normal à elipse que passa por um ponto P(x’, y’) pertencente a ela
mesma.
Sabemos que a reta normal é perpendicular à elipse no ponto P e, portanto,
perpendicular à reta tangente à elipse nesse mesmo ponto P.
y
Reta normal
P(x’,y’)
Reta tangente
x
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Da primeira propriedade concluímos que o coeficiente angular da reta
tangente à elipse que passa pelo ponto P(x’, y’) pertencente à elipse é dado
por:
mtg = ‗ b2x’
a2y’
Portanto:
mnormal = a2y’
b2x’
Logo, a equação da reta normal será dada por:
y – y’ = a2y’ (x − x’)
b2x’
Que, simplificando, resulta em:
a2y’x − b2x’y = x’y’(a2 − b2)
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CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE
Em um plano cartesiano podemos
construir uma elipse a partir de duas
circunferências concêntricas, C(0, 0), e
raios distintos.
Primeiro traçamos raios da
circunferência maior. Em seguida, a
partir de cada ponto da circunferência
maior determinado pelo respectivo raio
traçamos segmentos paralelos ao eixo
menor da elipse, tendo como outro
extremo um ponto do eixo maior e, a
partir dos pontos de interseção dos
raios com a circunferência menor,
traçamos segmentos paralelos ao eixo
maior até interceptar o segmento
anterior, esses pontos determinam a
elipse, como mostra a figura.
x
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CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE
Determinados os focos da elipse e o valor de a constroem-se pares de
circunferências, centradas nos focos da elipse, de tal forma que a soma de
seus raios seja igual a 2a. Assim, os pontos de interseção desses pares de
circunferências determinam a elipse, como mostra a figura.
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CURIOSIDADE
O alemão Johannes Kepler (1571-1630) realizou contribuições a
diversas áreas do conhecimento, como na Matemática e na
Astronomia. Em seus estudos sobre os movimentos dos planetas,
Kepler formulou três leis que são consideradas marcos na história da
Astronomia, entre elas a que descreve como elíptica a trajetória orbital
dos planetas, tendo o Sol como um dos focos.
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Atividades resolvidas
1.Determine as coordenadas dos focos das elipses cujas equações estão
indicadas:
a)(x + 2)2 + (y – 8)2 = 1
100
64
Dados: a2 = 100
c 2 = a 2 – b2
b2 = 64
c2 = 100 – 64
C(−2, 8)
c2 = 36 → c = 6
Como o eixo maior é paralelo ao eixo X, temos:
F1(xc – c, yc) e F2(xc + c, yc)
Logo: F1(−2 – 6, 8) e F2(−2 + 6, 8) → F1(−8, 8) e F2(4, 8)
b) 9y2 + 25x2 + 18y = 216
25x2 + 9y2 +18y +9 = 216 + 9
25x2 + 9(y2 + 2y + 1) = 225
Dividindo os dois membros por 225, obtemos:
x2 + (y + 1)2 = 1
9
25
Daí, resulta: C(0, −1)
a2 = 25 → c2 = 16 → c = 4
b2 = 9
Como o eixo maior é vertical, teremos:
F 1(xc, yc – c) e F2(xc, yc + c)
Portanto: F1(0, −5) e F2(0, 3)
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Atividades resolvidas
2. Escreva a equação da elipse de focos F1(−4, −1) e F2(−4, 5) que passa
pelo ponto P(0, 2).
Calculando as distâncias do ponto P aos focos, temos:
dPF1 =
dPF2 =
dPF1 =
dPF2 =
dPF1 = 5
dPF2= 5
Portanto: 2a = 5 + 5 → 2a = 10 → a = 5
Como o eixo maior é vertical, temos:
2c = yF2 – yF1 → 2c = 5 – (−1) → 2c = 6 → c = 3 e C −4, −1 + 5 → C(−4, 2)
2
Assim: b2 = a2 – c2 → b2 = 25 – 9 → b2 = 16
Logo, teremos:
(x + 4)2 + (y – 2)2 = 1
16
25
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Atividades propostas
1. Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices é o ponto (0, 7). Se
a elipse passa pelo ponto ( , 14/3), determinar sua equação e excentricidade.
2. Os focos de uma elipse são (3, 8) e (3, 2) e o comprimento de seu eixo menor é
8. Determinar a equação da elipse, as coordenadas de seus vértices e sua
excentricidade.
3. Escreva a equação da elipse de centro C(4, 3) e que passa pelos pontos (4, 6) e
Q(8, 3). Qual é a excentricidade dessa elipse?