MTM 5512 | Prova 2
Vetores, retas e planos
23/10/15
Professor: Sergio Tadao Martins
~
INSTRUC
OES
(1) Preencha todas as folhas que voc^e utilizar com seu nome completo e numero de matrcula, utilizando caneta azul
ou preta.
(2) Cuide da organizac~ao e legibilidade de suas respostas, ja que respostas ilegveis ser~ao desconsideradas. A prova
pode ser feita a lapis ou a caneta (azul ou preta).
(3) Indique explicitamente as quest~oes ao resolv^e-las. As quest~oes podem ser resolvidas em qualquer ordem.
(4) Seja preciso e completo nas suas respostas, justicando todas as passagens.
~o 1 Decida se o conjunto A ⊂ R4 dado por
I Questa
A = {(1, 2, 1, 0), (3, −1, 1, 4), (−2, 0, 0, −3), (0, −5, 2, 0)}
e linearmente independente ou linearmente dependente. Se for linearmente dependente, escreva um dos vetores
de A como combinac~ao linear dos demais vetores do mesmo conjunto.
~o 2
I Questa
a) Mostre que as retas
x = 3 + 2t
L1 : y = 2 + t
z=1+t
e
x=1−s
L2 : y = 1 + s
z=0
s~ao concorrentes e determine seu ponto de intersecc~ao.
b) Sendo P o ponto de intersecc~ao encontrado no item anterior, determine a equac~ao de uma reta r que passa
por P e e simultaneamente perpendicular a L1 e L2 .
~o 3
I Questa
a) Se u e v s~ao vetores de Rn , mostre que
ku + vk2 + ku − vk2 = 2kuk2 + 2kvk2 .
b) Suponha que um paralelogramo tenha lados de comprimento 3 e 4. Se uma das diagonais do paralelogramo
tem comprimento 6, calcule a medida da outra diagonal do paralelogramo.
~o 4 Considere os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (2, 6, 2) e seja α o plano de equac~ao 3x − y + 2z = 0.
I Questa
a) Calcule a dist^ancia do ponto P ao plano α.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos P e Q e paralela ao plano α.