Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS
I LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA MATEMÁTICA
Questão 1
Sejam 3 vetores ~a, ~b e ~c dados por
~b = (−1, 1, 0)
~a = (2, −1, 3),
e
~c = (0, 2, −1).
Determine:
a) ~a + ~b + ~c;
b) ~a · ~b, ~a · ~c e ~b · ~c;
c) um vetor
d~ tal que ~a · d~ = ~c · d~ = 1 e ~b · d~ = −2.
d) ~a × ~b × ~c
Questão 2
Mostre que
~ − B)
~ · (A
~ + B)
~ = A2 − B 2 .
a) (A
~ − B)
~ × (A
~ + B)
~ = 2A
~ × B.
~
b) (A
Questão 3
~ é definido pela expressão
O campo de indução magnética B
~
F~ = q(~v × B),
no Sistema Internacional de unidades (S.I.). Realizando 3 experimentos, encontramos que se
~v = ı̂
~v = ̂
~v = k̂
F~
= 2k̂ − 4̂.
q
F~
= 4ı̂ − k̂.
→
q
F~
→
= ̂ − 2ı̂.
q
→
Usando os resultados desses três experimentos isolados, calcule o vetor campo de indução magnética
~
B.
Questão 4
Verifique a expansão do produto vetorial triplo
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − C(
~ A
~ · B)
~
A
pela expansão direta em coordenadas cartesianas.
Questão 5
~ de uma partı́cula de massa m é dado por
O momentum angular orbital L
~ = ~r × p~ = m~r × ~v ,
L
onde p~ = m~v é o momentum linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por
~v = ω
~ × ~r,
mostre que,
~ = mr2 [~ω − r̂(r̂ · ω
L
~ )].
Aqui, r̂ representa um vetor unitário na direção de ~r. Para r̂ · ω
~ = 0, a expressão acima se reduz
~ = I~ω , com o momento de inercia I dado por I = mr2 .
aL
Questão 6
Se ϕ(x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )−3/2 encontre
a) ∇ϕ no ponto (1, 2, 3),
b) a magnitude do vetor gradiente de ϕ, |∇ϕ|, no ponto (1, 2, 3).
Questão 7
Se um vetor F~ depende tanto das coordenadas espaciais (x, y, z) quanto do tempo t, mostre que
dF~ = (d~r · ∇)F~ +
∂
∂t
F~ dt.
Questão 8
~ × B)
~ =B
~ · (∇ × A)
~ −A
~ · (∇ × B).
~
Prove que ∇ · (A
Questão 9
O campo eletrostático de uma carga puntiforme q, centrada na origem de um sistema de coordenadas, é
~ =
E
q r̂
.
4π0 r2
~ O que acontece na origem?
Calcule o divergente de E.
Questão 10
~eB
~ são dois vetores constantes, mostre que
Se A
~ · (B
~ × ~r)] = A
~ × B.
~
∇[A
Questão 11
Verifique a identidade
~ · ∇)A.
~
~ × (∇ × A)
~ = 1 ∇(A2 ) − (A
A
2
Questão 12
Usando o teorema de Gauss, mostre que
1I
~r · n̂da = V,
3 S
onde V é o volume contido dentro da superfı́cie fechada S.
Questão 13
~ puder ser escrito como B
~ = ∇ × A,
~ onde A
~ é chamado de vetor
Se o vetor indução magnética B
potencial magnético, mostre que
I
~ · n̂da = 0.
B
S
~ = 0 (Lei da Gauss para o vetor B
~ na forma diferencial).
e que ∇ · B
Questão 14
Dado o vetor ~a = −yı̂ + x̂, com a ajuda do teorema de Stokes, mostre que a integral de linha
num caminho fechado C no plano xy do vetor ~a é
1I
1I
~a · d~l =
(xdy − ydx) = A,
2 C
2 C
onde A é a área contida dentro do caminho C.
Questão 15
Da lei de indução de Faraday na forma integral
Z
~ · d~l = − d ΦM = − d
~ · n̂da,
B
E
dt
dt S
C
I
com a ajuda do teorema de Stokes, mostre que
~
~ = − ∂ B.
∇×E
∂t
Questão 16
Mostre que a transformação de um sistema cartesiano para o sistema de coordenadas cilı́ndricas,
x = ρ cosϕ,
y = ρ senϕ,
z = z
é uma transformação ortogonal.
Questão 17
Mostre que a transformação de um sistema cartesiano para o sistema de coordenadas esféricas,
x = r senθ cosϕ,
y = r senθ senϕ,
z = r cosθ
é uma transformação ortogonal.
Questão 18
O operador de divergência, em coordenadas curvilı́neas pode ser obtido através do teorema de
Gauss ou através da definição
~ 1 , q2 , q3 ) = R lim
∇ · A(q
H
dV →0
S
~ · n̂da
A
,
dV
R
com um volume diferencial h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 . Usando a equação acima (veja o livro texto,
também), mostre que
"
~ 1 , q2 , q3 ) =
∇ · A(q
Questão 19
Calcule e escreva o resultado em coordenadas polares:
√
√
a) 2 − i − i(1 − 2);
b) (2 − 3i)(−2 + i);
c)
(3+i)(3−i)
;
5+10i
d)
1+2i
3−4i
e)
5
;
(1−i)(2−i)(3−i)
+
2−i
;
5i
f) (1 − i)4 .
Questão 20
Resolva as equações abaixo:
a) z 2 + z + 1 = 0;
b) z 2 + 4 = 0;
c) z 2 + 2z + 5 = 0;
d) z 2 + z + 4 = 0.
#
1
∂
∂
∂
(A1 h2 h3 ) +
(A2 h1 h3 ) +
(A3 h1 h2 ) .
h1 h2 h3 ∂q1
∂q2
∂q3
Questão 21
Calcule, usando a fórmula integral de Cauchy, as integrais abaixo sobre o contorno delimitado
pelos
lados de um quadrado ao longo das linhas x ± 2 e y = ±2 e no sentido anti-horário:
R
e−z
dz;
a) C z−πi/2
R
cos z
b) C z(z2 +8) dz;
R
z
c) C 2z+1
dz.