MTM 5512 | Lista 4
Vetores: Parte 2, retas e planos
16/10/15
Professor: Sergio Tadao Martins
1) Use vetores para provar que os pontos medios dos lados de um quadrilatero s~ao vertices de um paralelogramo.
2) Prove que as diagonais de um paralelogramo s~ao perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo e um
losango.
3) Use projec~ao ortogonal para mostrar que a dist^ancia de um ponto P = (x0 , y0 ) a reta cuja equac~ao e
ax + by + c = 0 e
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b2
4) Determine a equac~ao da reta que passa por (2, 1, 0) e que e perpendicular simultaneamente aos vetores
(1, 1, 0) e (0, 1, 1).
5) Determine a equac~ao da reta que passa pelo ponto (5, 1, 0) e e perpendicular ao plano de equac~ao 2x−y+z = 1.
6) Determine uma equac~ao parametrica para a reta obtida pela intersecc~ao dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0.
7) Em cada um dos itens abaixo, decida se as retas L1 e L2 dadas s~ao concorrentes, paralelas ou reversas.
L : x = 2 + t, y = 2 + 3t, z = 3 + t
a) 1
L2 : x = 2 + t, y = 3 + 4t, z = 4 + 2t
L : x = 1 + 7t, y = 3 + t, z = 5 − 3t
b) 1
L2 : x = 4 − t, y = 6, z = 7 + 2t
L : x = 2 + 8t, y = 6 − 8t, z = 10t
c) 1
L2 : x = 3 + 8t, y = 5 − 3t, z = 6 + t
8) Mostre que as retas com equac~oes parametricas x = 1 + t, y = 1 + 6t, z = 2t e x = 1 + 2t, y = 5 + 15t,
z = −2 + 6t s~ao reversas e calcule a dist^ancia entre elas.
9) Calcule o ^angulo entre os planos α e β:
a) α : x + 4y − 3z = 1, β : − 3x + 6y + 7z = 0
c) α : x + y + z = 1, β : x − y + z = 1
b) α : 2z = 4y − x, β : 3x − 12y + 6z = 1
d) α : 2x − 3y + 4z = 5, β : x + 6y + 4z = 3
10) Determine a equac~ao do plano que contem a reta x = 3t, y = 1 + t, z = 2t e e paralelo a intersecc~ao dos
planos 2x − y + z = 0 e y + z + 1 = 0.
11) Determine a equac~ao do plano cujos pontos s~ao equidistantes de (2, −1, 1) e (3, 1, 5)