UNIVASF
Prof. Felipe Wergete Cruz
Geometria Analı́tica - 2013.1
2a Lista de Exercı́cios
Assuntos envolvidos: Produtos escalar, vetorial e misto.
Questões
Questão 1. No que segue, suponha que os vetores são não-nulos (do contrário, “não haverá graça
alguma”). Prove que:
(a) k~u + ~v k2 + k~u − ~v k2 = 2 (k~uk2 + k~v k2 ) (“Lei do Paralelogramo”);
(b) a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma
dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados;
(c) a maior diagonal de um paralelogramo é maior do que cada um dos quatro lados;
(d) k~u + ~v k2 − k~u − ~v k2 = 4 ~u · ~v ;
(e) k~u + ~v k2 = k~u − ~v k2 ⇐⇒ ~u ⊥ ~v ;
(f) as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo
é um retângulo.
Questão 2. Os lados do triângulo equilátero ABC têm medida 2. Mostre que
−→
−→
−→
−→
−→
−→
AB · BC + BC · CA + CA · AB = −6.
√
√
√
Questão 3. Considere os vetores ~u = ( 3/2, 1/2, 0) e ~v = ( 3/2, 1/2, 3). Prove que a medida
π
angular, em radianos, entre ~u e ~v é .
3
√
Questão 4. Determine os vetores de norma 2, que são ortogonais a (1, 1, 0) e tais que sua
medida angular com o vetor (1, −1, 0) seja 45◦ .
Questão 5. Considere os pontos A = (1, 2, −1), B = (−1, 0, −1) e C = (2, 1, 2).
(a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo em A;
(b) Calcule a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC;
(c) Determine o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A;
(d) Calcule a área do triângulo ABC.
Questão 6. Sendo {~i, ~j, ~k} a base canônica de R3 , calcule (2~k − ~i + 5~j) × (3~i − 2~k + ~j).
Questão 7. Sabendo que o lado do quadrado ABCD mede 2 e que M é ponto médio de BC,
−→
−→
mostre que k DM × DB k = 2.
Questão√8. Sendo {~i, ~j, ~k} a base canônica de R3 , determine ~u tal que ~u × (~i + ~k) = 2(~i + ~j − ~k)
e k~uk = 6.
Questão 9. Se ~u = (−1, −3, 1), ~v = (1, 0, 1) e w
~ = (2, 1, 1), mostre que [~u, ~v , w]
~ = −1.
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Questão 10. Prove que o produto vetorial de dois vetores unitários ortogonais é também um
vetor unitário (Dica: use a identidade de Lagrange).
Questão 11. Dados os vetores ~u = (x, 5, 0), ~v = (3, −2, 1) e w
~ = (1, 1, −1), determine os valores
de x para que o volume do paralelepı́pedo determinado por ~u, ~v e w
~ seja 24 unidades de volume.
Questão 12. Prove que |[~u, ~v , w]|
~ ≤ k~uk k~v k kwk,
~ quaisquer que sejam os vetores ~u, ~v e w.
~ Dê
uma interpretação geométrica para este resultado.
√
Questão 13. Dados os vetores ~u = (1, 2, −1), ~v = (0, 3, −4), w
~ = (1, 0, 3) e ~r = (0, 0, 2), calcule
−→
−→
o volume do tetraedro ABCD, sabendo que AB = Proj~v ~u, que AC é o vetor oposto do versor de
−→
−→
−→
w
~ e que BD = Proj~r (AB × AC).
OBS.: O versor de um vetor não-nulo w
~ é, por definição, o vetor
2
1
w.
~
kwk
~