MAT1157 – Cálculo a uma Variável A
GABARITO RESUMIDO DO G1 – Va
em 10 setembro de 2012
Questão 1.
Fazendo “ >plot([f(x), g(x)], x=-8..10); ” vemos que, para cada x ∈ R, o comprimento do segmento P Q é g(x) − f (x).
Precisamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da função h
dada por h(x) = g(x) − f (x) = 4 x2 − 44 x + 115 − (−7 x2 − 70 x − 63) = 11 x2 + 26 x + 178.
y=178
26
11
> h:=x->11*x^ 2+26*x+178;
> solve(h(x)=178);
−26/11 + 0
13
xv =
=−
2
11
> h(-13/11);
13
11
Resposta:
1789
11
Questão 2.
µ
(a) B =
9
,g
2
µ ¶¶ µ
¶
9
9
=
, −2
2
2
A = (x, f (x)) = (x, −2)
Ã√
!
70
A=
, −2 .
10
“ > solve(f(x) = -2) ; ”
7
(b) Coordenadas de C: g(x) = f (x) ⇔ x =
2
µ ¶¶ µ
¶
µ
7
7
7
,f
,5 .
C=
=
2
2
2
Assim,
|AB| · altura
1
Área =
=
2
2
“ > g(9/2) ; ”
Ã
“ > solve(g(x) = f(x)) ; ”
“ > f(7/2) ; ”
à √ !!
Ã
√ !Ã µ ¶
√ !
70
70
70
9
7
1 9
−
−
f
−f
=
(5 + 2).
2
10
2
10
2 2
10
Questão 3.
√
√
√
√
3, 7 3 − 2 3) = (2 3, 5 3).
√
Dom(f ) = [xc − raio, xc + raio] = [0, 4 3]
√
√
Im(f ) = [yc , yc + raio] = [5 3, 7 3], pois o gráfico de f é o semicı́rculo superior.
(a) Raio = 2
√
3 e (xc , yc ) = (2
√
√
√
√
(b) Equação do cı́rculo: (x − 2 3)2 + (y − 5 3)2 = (2 3)2
q
√
√
Equação do semicı́rculo superior: y − 5 3 = 12 − (x − 2 3)2
q
√
√
Resposta: f (x) = 5 3 + 12 − (x − 2 3)2
(c)
q
f (3) − f (0)
TM =
=
3−0
12 − (3 − 2
√
3)2
3
p
=
√
−9 + 12 3
3
Questão 4.
Seja h(x) a altura do triângulo em termos de x. Temos
x h(x)
24
= 12 e h(x) = .
2
x
24
(a) Domı́nio: x ≤ 21 (= medida da base do retângulo). Como h(x) =
≤ 36 (=altura
x
24
2
do retângulo), temos e x ≥
= . Dom(P ) = [2/3, 21].
36
3
Seja l(x) a medida do lado AC em
de x. Temos (l(x))2 = x2 + (h(x))2 e
s termos
µ ¶2
24
24
P (x) = x + h(x) + l(x) = x +
+ x2 +
.
x
x
(b)
> P:=x->x + 24/x + sqrt( x^ 2 + (24/x)^ 2);
Com “ >plot(P(x), x=2/3..21); ” vemos onde P tem mı́nimo global.
Escolhendo x = 4, 898979 em “>plot(P(x), x=4.88..4.91); ” temos
erro < 4, 91 − 4, 88 = 0, 03.
Resposta: x = 4, 898979
MAT1157 – Cálculo a uma Variável A
GABARITO RESUMIDO DO G1 – Vb
em 10 setembro de 2012
Questão 1.
Fazendo “ >plot([f(x), g(x)], x=-8..10); ” vemos que, para cada x ∈ R, o comprimento do segmento P Q é g(x) − f (x).
Precisamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da função h
dada por h(x) = g(x) − f (x) = 4 x2 − 44 x + 115 − (−7 x2 − 77 x − 126) = 11 x2 + 33 x + 241.
y=241
> h:=x->11*x^ 2+33*x+241;
> solve(h(x)=241);
−3 + 0
3
xv =
=−
2
2
> h(-3/2);
3
2
3
Resposta:
865
4
Questão 2.
µ
(a) B =
9
,g
2
µ ¶¶ µ
¶
9
9
=
, −6
2
2
A = (x, f (x)) = (x, −6)
Ã√
!
70
A=
, −6 .
10
“ > solve(f(x) = -6) ; ”
7
(b) Coordenadas de C: g(x) = f (x) ⇔ x =
2
µ ¶¶ µ
¶
µ
7
7
7
,f
, 15 .
C=
=
2
2
2
Assim,
|AB| · altura
1
Área =
=
2
2
“ > g(9/2) ; ”
Ã
“ > solve(g(x) = f(x)) ; ”
“ > f(7/2) ; ”
à √ !!
Ã
√ !Ã µ ¶
√ !
70
70
70
9
7
1 9
−
−
f
−f
=
(15 + 6).
2
10
2
10
2 2
10
Questão 3.
√
√
√
√
5, 7 5 − 2 5) = (2 5, 5 5).
√
Dom(f ) = [xc − raio, xc + raio] = [0, 4 5]
√
√
Im(f ) = [yc , yc + raio] = [5 5, 7 5], pois o gráfico de f é o semicı́rculo superior.
(a) Raio = 2
√
5 e (xc , yc ) = (2
√
√
√
√
(b) Equação do cı́rculo: (x − 2 5)2 + (y − 5 5)2 = (2 5)2
q
√
√
Equação do semicı́rculo superior: y − 5 5 = 12 − (x − 2 5)2
q
√
√
Resposta: f (x) = 5 5 + 20 − (x − 2 5)2
(c)
q
f (5) − f (0)
TM =
=
5−0
√
20 − (5 − 2 5)2
5
p
=
√
−25 + 20 5
5
Questão 4.
Seja h(x) a altura do triângulo em termos de x. Temos
x h(x)
20
= 10 e h(x) = .
2
x
20
(a) Domı́nio: x ≤ 15 (= medida da base do retângulo). Como h(x) =
≤ 34 (=altura
x
20
10
do retângulo), temos e x ≥
= . Dom(P ) = [10/17, 15].
34
17
Seja l(x) a medida do lado AC em
de x. Temos (l(x))2 = x2 + (h(x))2 e
s termos
µ ¶2
20
20
P (x) = x + h(x) + l(x) = x +
+ x2 +
.
x
x
(b)
> P:=x->x + 20/x + sqrt( x^ 2 + (20/x)^ 2);
Com “ >plot(P(x), x=10/17..15); ” vemos onde P tem mı́nimo global.
Escolhendo x = 4, 4721359 em “>plot(P(x), x=4.46..4.49); ” temos
erro < 4, 49 − 4, 46 = 0, 03.
Resposta: x = 4, 4721359