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4. Funções Mensuráveis
Questão 27. Defina função mensurável de um espaço mensurável (X, A) na recta acabada.
Mostre que uma função definida em X e tomando valores em R é mensurável se e só se se
verificar uma das propriedades equivalentes seguinte.
(1)
(2)
(3)
(4)
∀α ∈ R
∀α ∈ R
∀α ∈ R
∀α ∈ R
{x ∈ X
{x ∈ X
{x ∈ X
{x ∈ X
: f (x) > α} ∈ A.
: f (x) ≥ α} ∈ A.
: f (x) < α} ∈ A.
: f (x) ≤ α} ∈ A.
Questão 28. Defina função mensurável de um espaço de medida (X, F) num espaço de
medida (Y, G). Mostre que se f for mensurável de (X, F) em (Y, G) e se g for mensurável
de (Y, G) em (Z, H) então g ◦ f é mensurável de (X, F) em (Z, H).
Questão 29. Mostre que a soma e o produto de funções mensuráveis de (X, F) em (R, B(R))
são mensuráveis de (X, F) em (R, B(R)).
Questão 30. Mostre que a função indicatriz IA com A ⊆ X é mensurável de (X, F) em
(R, B(R)) se e só se A ∈ F. Dê um exemplo de um espaço mensurável e de uma função
definida sobre esse espaço que não seja mensurável.
Questão 31. Mostre que as funções contı́nuas de R em R, (relativamente à topologia usual,
por exemplo), são Borel mensuráveis. Dê um exemplo de uma função mensurável que não
seja contı́nua em todo os pontos do seu domı́nio.
Questão 32. Seja f uma função mensurável de (X, F) em (R, B(R)) tal que para qualquer
x ∈ X se tenha f (x) 6= 0. Mostre que 1/f é mensurável de (X, F) em (R, B(R)).
Questão 33. Mostre que o limite pontual de uma sucessão de funções mensuráveis de (X, F)
em (R, B(R)) é também mensurável de (X, F) em (R, B(R)).
Questão 34. Defina a parte positiva e a parte negativa de uma função tomando valores na
recta acabada. Mostre que uma função tomando valores na recta acabada é mensurável se e
só forem mensuráveis a sua parte positiva e a sua parte negativa.
Questão 35. Defina função simples e representação canónica de uma função simples.
Enuncie e demonstre uma condição necessária e suficiente para que uma função simples
na sua representação canónica seja mensurável.
Questão 36. Mostre que toda a função mensurável positiva se pode representar como limite
pontual de uma sucessão não decrescente de funções simples mensuráveis não negativas.
Mostre que se a função for limitada então a convergência é uniforme.
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5. Independência
Questão 37. Defina álgebras-σ independentes, variáveis aleatórias independentes e acontecimentos independentes. Mostre que os eventos (En )n∈N sãao independentes se e só se as
variáveis aleatórias (IEn )n∈N o forem.
Questão 38. Sejam G e H sub-álgebras-σ de A e I e J sistemas-π tais que σ(I) = G e
σ(J) = H. Mostre que G e H são independentes se e só se I e J o forem, isto é se e só se,
∀I ∈ I ∀J ∈ J P[I ∩ J] = P[I] · P[J] .
Questão 39. Enuncie e demonstre os lemas de Borel-Cantelli.
Questão 40. Seja (Xn )n∈N uma sucessão de variáveis aleatórias. Defina álgebras-σ de
cauda. Mostre que
{ω ∈ Ω : (Xn (ω))n∈N converge }
é mensurável relativamente à álgebra-σ de cauda.
Questão 41. Enuncie e demonstre a lei do 0 − 1 de Kolmogorov.
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6. Integração
Questão 42. Defina o integral de Lebesgue de uma função indicatriz mensurável, de uma
função simples mensurável, de uma função mensurável positiva e de uma função integrável.
Mostre que se:
!
Z
M
M
X
X
αi IAi dµ :=
αi µ(Ai )
X
n=1
n=1
e se para f mensurável positiva qualquer:
Z
Z
f dµ := sup
s dµ : s simples, mensurável, positiva, s ≤ f
X
então se f =
M
X
X
PM
n=1 αi IAi
com os conjuntos Ai mensuráveis tem-se que:
Z
s dµ : s simples, mensurável, positiva, s ≤ f
αi µ(Ai ) = sup
.
X
n=1
Questão 43. Mostre que f é Lebesgue integrável se e só se | f | for Lebesgue integrável.
Questão 44. Sejam s e r duas funções simples mensuráveis positivas. Mostre que
Z
Z
Z
(s + r)dµ =
s dµ +
r dµ .
X
X
X
e conclua que o integral de uma função simples não depende da representação desta função
como combinação linear de indicatrizes.
Questão 45. Sejam s e r duas funções simples mensuráveis positivas tais que s ≤ r. Mostre
que
Z
Z
s dµ ≤
r dµ .
X
X
Sejam f e g duas funções mensuráveis positivas tais que f ≤ g. Mostre que
Z
Z
f dµ ≤
g dµ .
X
X
Questão 46. Seja (X, A, µ) um espaço de medida. Seja E ∈ A tal que µ(E) = 0. Mostre
que se f ∈ L1 então
Z
f dµ = 0 .
E
Questão 47. Enuncie demonstre o teorema da convergência monótona de Lebesgue.
Questão 48. Enuncie demonstre o lema de Fatou.
Questão 49. Enuncie demonstre o teorema da convergência dominada de Lebesgue.
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7. Esperança Matemática
Questão 50. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Seja X uma variável aleatória
integrável. Defina esperança matemática de X. Seja (Xn )n∈N uma sucessão de variáveis
aleatórias não negativas. Mostre que:
E[lim inf Xn ] ≤ lim inf E[Xn ] .
n→+∞
n→+∞
Questão 51. Enuncie e demontre o resultado relativo à desigualdade de Markov. Defina
V[X], a variância de uma variável aleatória X de quadrado integrável. Mostre que se X ∈ L2
entáo:
1
P [|X − E[X]| ≥ ] ≤ 2 V[X] .
Questão 52. Seja (Xn )n∈N uma sucessão de variáveis aleatórias não negativas. Mostre
que:
" +∞
# +∞
X
X
E
Xn =
E [Xn ]
n=1
n=1
Questão 53. Defina função convexa. Mostre que para θ ∈ R a função eθx é convexa.
Mostre que se X é uma variável aleatória tal que E[|X|] < +∞ e E[eθX ] < +∞ então
eθE[X] ≤ E[eθX ]
Questão 54. Defina os conjuntos de funções integráveis Lp para p ∈ [1, +∞[. Mostre que
se 1 ≤ p ≤ r < +∞ então kXkp ≤ kXkr e portanto, Lr ⊂ Lp .
Questão 55. Mostre que se X, Y ∈ L2 então
|E[X · Y ]| ≤ kXk2 · kY k2
e que portanto X · Y ∈ L1 .
Questão 56. Defina sucessão de Cauchy e sucessão convergente em Lp . Mostre que em Lp
uma sucessão é convergente se e só se for de Cauchy.
Questão 57. Defina a soma de funções em Lp . Considere a relação R definida sobre Lp
por:
XRY ⇔ X = Y P q.c. .
Mostre que R é uma relação de equivalência sobre Lp . Seja
Lp := Lp /R = {[f ] : [f ] = {g ∈ Lp : gRf }, f ∈ Lp } .
Mostre que Lp é um espaço de Banach quando munido de uma norma adequada.
Questão 58. Enuncie e demonstre o resultado relativo à melhor aproximação em L2 no
sentiddo dos mı́nimos quadrados.
Questão 59. Enuncie e demonstre os resultados relativos às desigualdades de Hölder e
Minkowski.
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Questão 60 (Lei de uma variável aleatória - continuação). Seja (Ω, F, P) um espaço de
probabilidade e X uma variável aleatória tomando valores reais. Seja h uma função Borel
mensurável de R em R. Mostre que (h ◦ X) ∈ L1 (Ω, F, P) se e só se h ∈ L1 (R, B(R), LX ) e
que, nessas condições,
Z
h(x)dLX (x) .
E[h(X)] =
R
Questão 61. Com as notações das questões 21, 23 e 24 mostre que:
Z
Z
E[h(X)] =
h(x)dLX (x) =
h(x)dµFX (x) .
R
R
Observação 1. O integral de Lebesgue-Stieltjes de uma dada função h - suficientemente
integrável - relativamente à função FX pode ser definido por:
Z
Z
h(x)dµFX (x) ,
h(x)dFX (x) :=
R
R
sendo o último integral um integral de Lebesgue usual.
Questão 62 (Uma lei discreta - continuação). Para a resolução desta questão deve rever
a resolução da questão 26. Seja X uma variável aleatória com lei de Bernoulli, sendo
P[X = 1] = p e P[X = 0] = 1 − p.
(1) Seja f ∈ L1 (R, B(R), δa ), mostre que:
Z
f (x) dδa (x) = f (a).
R
(2) Mostre que E[h(x)] = ph(1) + (1 − p)h(0).
(3) Calcule o valor médio, a variância e o momento de ordem n em relação à origem
da variável aleatória X.
Questão 63 (Uma lei contı́nua). Seja X uma variável aleatória tal que, para f : R −→ R
contı́nua,
Z
∀B ∈ B(R) P[X ∈ B] =
f (x) dx .
B
(1) Mostre que FX , a função de distribuição de X, é derivável em R e que:
∀x ∈ R,
F 0 (x) = f (x) .
(2) Seja h : R −→ R tal que E[| h(x) |] < +∞. Mostre que:
Z
E[h(X)] =
h(x) f (x) dx.
R
(3) Considere a variável aleatória X com lei normal reduzida. Calcule E[X].
8. Leis dos Grandes Números
Questão 64. Defina convergência em probabilidade de uma sucessão de variáveis aleatórias.
Mostre que se (Xn )n∈N for uma sucessão de variáveis aleatórias independentes mas não
necessariamente identicamente distribuı́das mas tais que
E[Xn ] = µ ∈ R , ∃K ∈ R ∀n ∈ N V(Xn ) ≤ K ,
então ((1/n)(X1 + · · · + Xn ))n∈N converge em probabilidade para µ.