Carmen P. Cintra do Prado
Universidade de São Paulo, Instituto de Física
Depto de Física Geral
prado @ if.usp.br
1
No dia-a-dia, a palavra CAOS está associada
com desordem...
Essa cozinha está
um caos...
Em Física, tem um significado bem preciso.
Sistemas dinâmicos caóticos são sistemas que tem
uma regra de evolução temporal bem definida e,
ainda assim, se tornam imprevisíveis com o tempo.
Como é possível?
2
Propriedades matemáticas das equações que governam a
evolução temporal do sistema tem
“dependência sensível às condições
iniciais”.
Mesmo equações muito simples podem ter “caos”
Mapa Logístico
dinâmica de populações
xn1   xn 1  xn 
3
Por exemplo: suponha  = 3.9 e
x0 = 0.75
x0 = 0.750
x2 = 0.77
x1 = 0.73
x3 = 0.70
xn1   xn 1  xn 
x5 = 0.57 
x4 = 0.82
inicio
caso (b)
n
x(n)
n
x(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,7500
0,73
0,77
0,70
0,82
0,57
0,96
0,17
0,54
0,97
0,12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,7501
0,73
0,77
0,70
0,82
0,57
0,96
0,16
0,53
0,97
0,10
30
31
32
33
34
35
0,44
0,96
0,15
0,48
0,97
0,10
x
caso (a)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Seqüênci a1
Seqüênci a2
0
5
10
iteracao
mas depois de certo tempo...
30
31
32
33
34
35
0,88
0,40
0,94
0,22
0,67
0,86
4
Divergência exponencial das
trajetórias
Mecanismo de “dobra” que
mistura as trajetórias
et
B
A
B
A
C
B
A
C
Estiramento + dobra (dissipativos) = caos
5
Mapa do gato de Arnold’s
http://math.gmu.edu/~sander/movies/arnold.html
6
Como descrever?
Oscilador harmônico
(periódicas)
Retrato no espaço de fase
V
V(t)
V0
X0
X(t)
X
7
Diagramas de fase

A equação que descreve o movimento do pêndulo
é:

m 2  mg  sen  0
Não é possível obter uma solução para esta
equação em termos de funções elementares.
m


p  mg
No entanto, é possível identificar-se as principais
características de suas soluções e compreender
de modo qualitativo os possíveis movimentos
desse sistema utilizando-se um diagrama de fase
Se definirmos uma nova variável
  ,
  
então
E temos então
    f ( ,  )
  ( g / ) sen   g ( ,  )
8
Mesmo no mapa logístico, muitas situações diferentes podem ocorrer:
Ponto fixo: depois
de um transiente,
todas as trajetórias
convergem para ele.
x
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
iteracao
n
x(n)
x(n)
x(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,7500
0,47
0,62
0,59
0,61
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,2000
0,40
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,9000
0,23
0,44
0,61
0,59
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
x(n)
0,0200
0,05
0,12
0,26
0,48
0,62
0,59
0,61
0,60
0,60
0,60
xn1   xn 1  xn 
 = 2.5
9
Órbita periódica: depois de um
transiente, todas as trajetórias
convergem para uma seqüência de
n pontos x1, x2, ..., xn (período n).
x(n)
x(n)
x(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,7500
0,58
0,75
0,57
0,76
0,57
0,76
0,56
0,76
0,56
0,76
0,0200
0,06
0,18
0,45
0,77
0,55
0,77
0,56
0,77
0,56
0,77
0,9000
0,28
0,62
0,73
0,61
0,73
0,60
0,74
0,59
0,75
0,59
x(n)
0,2000
0,50
0,77
0,54
0,77
0,55
0,77
0,55
0,77
0,56
0,77
1,0000
x
n
Órbita de período 2
0,5000
0,0000
0
2
4
6
8
10
iteracao
10
Órbita de período 4
x
1,0000
0,5000
0,0000
0
5
10
iteracao
15
20
n
x(n)
x(n)
x(n)
x(n)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,9000
0,31
0,75
0,65
0,79
0,58
0,85
0,46
0,86
0,41
0,84
0,46
0,86
0,41
0,84
0,47
0,87
0,40
0,84
0,48
0,87
0,75
0,65
0,79
0,58
0,85
0,45
0,86
0,42
0,85
0,45
0,86
0,41
0,84
0,46
0,86
0,41
0,84
0,47
0,87
0,40
0,84
0,02
0,07
0,22
0,60
0,84
0,48
0,87
0,40
0,83
0,48
0,87
0,40
0,83
0,49
0,87
0,40
0,83
0,49
0,87
0,40
0,83
0,30
0,73
0,68
0,75
0,65
0,79
0,57
0,85
0,44
0,86
0,42
0,85
0,44
0,86
0,42
0,85
0,45
0,86
0,42
0,85
0,45
11
Na região caótica...
EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA NO VALOR DE Xn
Mapa logístico,  = 3,6
X0 = 2.00000 e x0* = 2.00001
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
12
Para representar o atrator podemos fazer um
MAPA DE PRIMEIRO RETORNO
( xn, xn+1)
Xn+1
Se xn+1 = xn (ponto fixo), o
resultado é um único ponto na
diagonal...
( xn+1, xn+2)
( xn+2, xn+3)
xn
Mapa de Primeiro Retorno
mu = 2.5
0,7
2
4
0,6
3
5
1
2
3
4
5
6
7
x
0,30
0,53
0,62
0,59
0,61
0,60
0,60
y
0,53
0,62
0,59
0,61
0,60
0,60
0,60
x(n+1)
0,5
1
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
x(n)
13
No caso de uma órbita de período 2, depois de certo número de iterações
(depois do transiente...)
... x1, x2, x1, x2, x1, x2, ...
Portanto teremos 2 pontos em nosso mapa de primeiro retorno:
1,00
Mapa de Primeiro Retorno
mu = 3.2
0,90
0,80
y
0,51
0,80
0,51
0,80
0,51
0,80
0,51
Já sem o transiente...
0,70
(x1,x2)
0,60
x(n+1)
20
21
22
23
24
25
26
x
0,80
0,51
0,80
0,51
0,80
0,51
0,80
0,50
(x2,x1)
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
x(n)
14
Qual é o atrator de um sistema caótico?
Mapa de Primeiro Retorno
mu = 3.8
1,00
o mapa de primeiro
retorno nos dá uma idéia
da função F(x).
0,90
0,80
0,70
0,60
x(n+1)
Como xn+1 = F ( xn),
Mas nem todos os
pontos aparecem!
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
x(n)
O atrator de um sistema caótico é um conjunto fractal
(atrator estranho)
15
O que é um conjunto fractal ?
Fractais são figuras geométricas, como retângulos ou triângulos
• Dimensão não-inteira (fracionária)
• Auto-similaridade
= 0
Se  é uma unidade de
medida,
=2
=1
ponto   0
linha   1
superfície   2 e
=3
????? = fracionária
volume   3
um fractal   d , onde d é a
dimensão fractal...
16
Exemplo: Conjunto de Cantor
Como construir um objeto
geométrico com dimensão
fracionária ...
Conjunto de Cantor
No limite, temos um objeto de
dimensão fractal: “mais que um ponto”
e “menos” que uma linha..
17
Como calcular ....
log N  
D0  lim
 0 log1  
log N  
D0 ~ 
log 
log N   ~  D0 log 
N   ~ 
N() = número de
unidades de medida
 = tamanho linear da
unidade de medida
L
L/2
1 unidade
N() = 1
4 unidades
N() = 4
 D0
18
Para o conjunto de Cantor:
Para n = 0,  = 1 e N() =1
Para n = 1,  = 1/ 3 e N() =2
Para n = 2,  = 1/ 9 e N() =4
Para n ,  = 1/ 3 n e N() = 2 n
log 2n log 2
D0 

 0,63
n
log3
log3
19
Curva de Kock

Perímetro infinito, mas área
finita!
Mesmo tipo de conta do
conjunto de Cantor..
D0 = log 4 / log 3 ~1,26
20
21
Estudando as propriedades estatísticas
dos atratores fractais,
e/ou as propriedades matemáticas de
estiramento e dobra das equações
desses sistemas dinâmicos...
Podemos apreender muitas coisas sobre
os sistemas caóticos
• controle do caos
• reconstrução de dinâmica
• eliminação de ruídos
•etc...
Caos, uma introdução
Nelson Fiedler-Ferrara &
Carmen P. C do Prado, Ed
Edgard Blucher, 1994 / 95
22