Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2006
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• Informações sobre a
cadeira
• Sinais
Aula
AT 2006
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Informações sobre a cadeira
AT 2006
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Motivações
• Esta disciplina surge para tentar dar resposta à falta
de formação da grande maioria do público alvo deste
mestrado em conceitos relacionados com a área de
processamento de sinal,
– apesar de muitos deles usarem aplicações, mais ou menos
sofisticadas, baseadas nesses mesmos conceitos.
• Por exemplo, é habitual profissionais na área
utilizarem gravação de sinal de voz, análises
espectrais, determinação da frequência fundamental,
sem, muitas vezes, possuirem os conhecimentos
necessários para uma escolha informada entre várias
possibilidades que se lhes oferecem.
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Programa Resumido
•
•
•
•
•
•
•
Sinais
Sistemas
Análise de Fourier
Sinais através de sistemas
LPC
Cepstra
Aplicação à obtenção de F0 e das formantes
• MatLab
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Organização das Aulas
• Parte mais “teórica”
– Pode não ser necessária todas as aulas
– Tentarei que inclua exemplos e demonstrações
relacionadas com a área
• Parte prática
– Usando computadores
• Matlab (e SFS)
– Guiões
– Algumas para avaliação
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Avaliação
• Resultante da avaliação de 3 ou mais
trabalhos/guiões
– O final será maior
– Podem ser o trabalho de uma aula
• Exame para quem precisar
– 30 % da nota final
– Fazendo média com os trabalhos
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Bibliografia
• “Signals and Systems for Speech and Hearing”,
Rosen & Howell, Academic Press
• “DSP First – A Multimedia Approach”, McClellan,
Schafed & Yoder, Prentice Hall
• “Techniques in Speech Acoustics”, Harrington &
Cassidy, Kluwer
• “Signals and Systems” Simon Haykin, Barry Van
Veen. John Wiley, 1999.
– Documento parcialmente digitalizado (acesso só em ua.pt).
• “Sinais e Sistemas”, Isabel Lourtie, Escolar Editora
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Bibliografia
• MATLAB
– “Matlab 6, Curso Completo”, Duane Hanselman,
Prentice Hall
– "Notas sobre o Matlab", António Batel, Amaral
Carvalho e Ricardo Fernandes
– Matlab num Instante
• Os acetatos das apresentações das aulas
estarão disponíveis na página da disciplina
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Recursos Online
http://www.ieeta.pt/~ajst/css
Actualmente disponível a versão
relativa à primeira edição do
Mestrado
Irá sendo actualizada...
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Sinais
Fontes principais:
Cap. 2 e 3 de Rosen & Howell
Cap. 1 de Haykin & van Veen
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Variável
• Seja E um conjunto qualquer de números, finito ou
infinito, e convencionemos representar qualquer dos
seus elementos por um símbolo, por ex.: x.
• A este símbolo, representativo de qualquer dos
elementos do conjunto E, chamamos variável.
• Quando dizemos: seja E o conjunto dos números reais
do intervalo (0,1), e seja x a sua variável, que
queremos significar?
– Que o símbolo x, sem coincidir individualmente com
nenhum dos símbolos, é susceptível de os representar a
todos
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Função
• Definição:
– Sejam x e y duas variáveis representativas de
conjuntos de números; diz-se que y é função de x e
escreve-se
y=f(x),
– Se entre as duas variáveis existe uma
correspondência unívoca no sentido x y.
• a x a variável independente
• a y a variável dependente
• Usa-se escrever simplesmente y(x)
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Funções
• Modos de definição
– Analítica
• Ex: y=4.9 x2
– Geométrica
• Sistema cartesiano de referência
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Exemplos de sinais
• Os sinais são um componente básico das nossas vidas
• Exemplos:
– Uma forma comum de comunicação usa o sinal de voz
– Outra forma de comunicar, visual, baseia-se em imagens
– Temperatura e pressão arterial que transmitem ao médico
informação acerca do estado do paciente
– Flutuação diária das cotações em bolsa
– A lista é (quase) infinita
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Exemplos relacionados com a área
• Como estamos interessados essencialmente na fala
poderiamos pensar que apenas nos interessaria o sinal
conhecido como som
• No entanto,
– A produção de som por um diapasão dá-nos um exemplo de
sinal mecânico, relativo ao movimento
• Infelizmente o armazenamento e manipulação das
variações de pressão que ouvimos não é fácil
– Conversão para sinal eléctrico através de microfones
• Os sinais eléctricos não são adequados à audição
– Conversão de volta para sinal acústico
• Para ter acesso ao processo de produção podemos
socorrer-nos de técnicas como MRI obtendo imagens
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Sinal
• Um sinal representa a medida de uma grandeza
mensurável.
• Exemplos:
–
–
–
–
–
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Temperatura do ar
PSI20
Gravação de voz
Nível da água do mar (marés)
ECG (Electrocardiograma)
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Definições de sinal
• Um sinal é formalmente definido como:
– “Uma função de uma ou mais variáveis, que contêm
informação acerca da natureza de um fenómeno físico”
• Ou
– Sinais são funções de uma ou mais variáveis independentes
que contêm informação acerca do comportamento e
características de determinados fenómenos físicos. São
representados matematicamente como funções de uma ou
mais variáveis independentes
• Pg 4 de “Sinais e Sistemas” de Isabel Lourtie, Escolar Editora
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Contínuo vs Discreto
• Contínuo
– Se se puder medir o seu valor em qualquer instante de tempo
– Variável independente é contínua
• O domínio é um subconjunto dos números reais
– Representa-se como x(t)
– Ex: a temperatura ambiente é um sinal contínuo
• Discreto
– Apenas se conhecem medidas do sinal tiradas em alguns instantes de
tempo
– Variável independente é discreta
• O domínio é um subconjunto dos números naturais
– Representação: x[n]
– Ex: a temperatura ambiente medida todas as horas
• Em ambos os casos os valores de x() podem ser contínuos ou
discretos
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Digital e analógico
• Se juntarmos ao carácter discreto da variável
independente o facto de serem discretos os
valores que x(n) pode assumir
– Temos um sinal DIGITAL
• O sinal x(t) assumindo valores de um
subconjunto dos reais
– É um sinal ANALÓGICO
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Vantagens do Digital
• A abordagem digital tem vantagens
importantes sobre o analógico
– Flexibilidade
• A mesma máquina digital (hardware) pode ser usada
para implementar diferentes versões de processamento.
• No caso analógico teria de redesenhar-se a máquina
– Repetição
• Uma operação pode ser repetida exactamente as vezes
necessárias
• O caso analógico sofre de variações dos parâmetros
pela influência de factores externos como a temperatura
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Dimensionalidade
• Unidimensional
– Quando a função depende apenas de uma variável
(independente)
– Exemplo: sinal de voz, que varia com om tempo
• Multidimensional
– Quando de depende de mais do que uma variável
– Exemplo: uma imagem é um sinal bidimensional
• Com as coordenadas horizontais e verticais representando as duas
dimensões
– Pergunta: Quantas dimensões possuem as imagens de
televisão ?
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Periódico vs não periódico
• Um sinal periódico x(t) satisfaz a condição
– x(t) = x(t+T) para todo o t
• Onde T é uma constante positiva
• Sendo satisfeita a condição para T=To também será para T=2 To, 3
To, 4 To …
– O menor valor que satisfaz a condição, To, é designado por
período fundamental de x(t)
– O recíproco do período fundamental é a frequência
fundamental, f=1/T
– A frequência angular, em radianos por segundo, define-se
como =2 f
• Quando não existe um valor de T que satisfaça a
condição, o sinal é aperiódico ou não periódico
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Sinais determinísticos e aleatórios
• Um sinal determinístico é um sinal acerca do
qual não existe incerteza acerca do seu valor
em qualquer instante
• Nos outros (random signals) existe incerteza
antes da sua ocorrência
– Exemplo: O ruído gerado por um amplificador
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Sinusóides
Um sinal simples mas importante ...
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Sinusóide
• Formula geral
A cos (wot + )
A - amplitude
wo - frequência angular
 - fase
Exemplo de sinal sinusóidal: o produzido por um
diapasão
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Repetição
• Medição
– Período (ex: ms)
– Frequência (Hz)
• Número de ciclos por segundo
– Lembram-se dos 50 Hz da electricidade lá de casa ?!
• Percepção
– Gama de audição: 20-20 000 Hz
– Pitch: 100-250 (maior para crianças, canto)
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Fase
• Medida em graus
– 360 graus = 1 período
– 90 graus = ¼ período
1
0.5
0
• Pouco efeito na
percepção
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
0
-0.5
-1
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Amplitude, Intensidade
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Medidas de “amplitude”
• Uma forma de quantificar a
diferença em amplitude de
dois sinais é medir a
diferença entre os máximos
(picos) e mínimos
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
50
100
150
200
250
0
50
100
150
200
250
6
4
– Conhecido por Valor pico a
pico, Vpp
– A sinusóide de cima tem um
Vpp que é o dobro da de
baixo
2
0
-2
-4
-6
1
0.8
•Problemas:
•Só existe energia quando o sinal é
diferente de zero !
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
50
100
150
200
tempo
250
300
350
400
1
Pressão (uPa)
–Sinais com o mesmo valor pico a
pico podem ter diferentes
quantidades de energia
0.6
0.8
0.6
0.4
0.2
0
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Medidas de “amplitude” II
• Como o que é importante é a variação da pressão
– Somar apenas os desvios do valor de pressão ambiente
– Problema:
• Nas sinusóides a soma dos desvios positivos e negativos daria zero
para uma sinusóide (de duração infinita ou contendo períodos
completos)
• Seria óptimo para quem paga electricidade ! Péssimo para
empresas como a EDP !
– Tem que arranjar-se uma forma de lidar com os desvios
positivos e negativos em simultâneo ...
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Valor RMS
• A solução passa por calcular o quadrado dos
desvios (relativamente à pressão atmosférica)
• Ficando apenas com valores positivos
• Todos os desvios são somados
• Efectuada a média, dividindo pelo período
• Finalmente, para compensar o elevar ao
quadrado inicial, efectua-se a operação inversa
- raiz quadrada
• Temos assim o valor “root mean square” ou
RMS
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Relação amplitude intensidade
• O valor RMS pressupõe uma grandeza relacionada, a
intensidade
• Para uma onda sonora, a intensidade em campo
(“field”) livre ou completamente difuso é
proporcional ao quadrado da amplitude
• Pode converter-se uma medida de pressão (num
instante ou valor médio como o RMS) em
intensidade) em intensidade aplicando o quadrado e
multiplicando por uma constante apropriada
– A operação inversa envolve a divisão pela constante e a
aplicação da raiz quadrada
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Escalas
• Todas as escalas necessitam de:
– Um ponto de início/referência
– O tamanho da unidade
– Exemplo: Medição de temperatura
• O ponto de início da escala em graus centígrados é
definido como o ponto de (des)congelamento
– Sendo 0oC
• A unidade oC é dada pela divisão em 100 partes da
diferença entre o início e a temperatura de ebulição
(100oC)
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Escala para a Intensidade – o dB
• A escala usual de intensidade usada em
acústica é o Bel
– Define-se como o logaritmo base 10 do quociente
entre duas intensidades
Bel= log (I / Iref)
• 1 Bel é demasiado grande
– Usa-se 1 décimo, ou seja o deciBel (dB)
• Como I=k p2 , temos:
• dB=10 log(p/pref )2
• dB=20 log(p/pref )
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Valores de referência
• O valor de referência mais importante para a
pressão é de 20 micro Pascal
20 x 10-6
• Neste caso temos Sound Pressure Levels (SPL)
– Exemplo: 39 dB SPL
» Qual a pressão correspondente ?
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Características da escala
• Compressão
– log(10)=1, log(100)=2, log(1000000)=6
• 0 dB não significa ausência de som
– O que significa ?
• “Não se pode” expressar ausência de som
– A que valor corresponderia ?
• Não se adiciona/subtrai directamente
• A soma de dois sinais de 94 dB SPL não resulta em um
de 188 dB SPL
– Qual é o resultado ?
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94 dB + 94 dB= ?
• Temos de converter para pressões, somar e converter de volta
94 dB SPL  20 log( p / 20 Pa)
94 / 20  log( p / 20 Pa)
1094 / 20  10log( p / 20 Pa)
1094 / 20  p / 20 Pa
com o1094 / 20  50118.7
50118.7  p / 20 Pa
20 Pa(50118.7)  p
p  10000000Pa  1Pa
som andoos dois tem os
1Pa  1Pa  2 Pa
20 log(2 Pa / 20Pa)  20 log(105 )  100dB
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x+x =
2*x dB
=> + 6
dB
38