Aula Teórica 14
Revisões
Princípios de conservação
• Massa:
– Equação da continuidade
– Volume de controlo
u j
d
 
dt
x j
A1V1  A2V2
• Quantidade de movimento
dui
p





– Equação de Navier-Stokes
dt
xi x j
– Balanço Integral
 u i

 x
j

• Energia
– Equação de Bernoulli (conservação da Energia
Mecânica)
1


2
te
 P  V
2

 gz   C


  g i


Conservação da massa
• Por continuidade podemos ter uma ideia de
como varia a velocidade de uma secção para
outra..
• Pela variação da velocidade entre duas
secções sabemos a aceleração,
• Pela aceleração poderemos inferir sobre a
resultante das forças.
• Um exemplo típico é o escoamento numa
expansão ou numa contracção.
Conservação da QM
• A conservação da QM (ou lei de Newton)
relaciona-nos as forças e a aceleração.
• As linhas de corrente complementam as
informações da Continuidade em termos de
aceleração: Curvatura implica aceleração e
consequentemente gradiente de pressão.
• Quando a QM não varia ou quando é fácil
calcular a sua variação, poderemos calcular a
resultante das forças.
Difusão
• Existe nos fluidos desde que existam
gradientes.
• No caso da quantidade de movimento, só
pode haver difusão se existirem gradientes de
velocidade. Nesse caso o fluxo difusivo por
unidade de área é igual à tensão de corte.
Equação de Evolução
dC C
C


uj

dt
t
x j x j
 C

 x
j


  S o  S i 


Esta equação só pode ser resolvida analiticamente em casos
muito particulares (simples).
Numericamente pode ser resolvida numa boa parte dos
problemas de engenharia.
No caso limite pode ser resolvida recorrendo a balanços
integrais,
No caso de ausência de solução analítica, pode ser resolvida em
laboratório utilizando modelos reduzidos e análise
adimensional.
Equação de Bernoulli Generalizada
• É a equação que mais uso faz dos resultados
de laboratório e da análise adimensional.
1
1




2
2
P


V


gz

P


V


gz



  E
2
2

1 
2
• A energia dissipada em cada região do
escoamento pode ser adimensionalizada e
determinada a partir de ensaios de
laboratório.
Dissipação de energia
1
2
E  k  V 
2

k  f ( geom etria, Re)
k
À medida que Re
aumenta as forças
viscosas perdem
importância em
relação às forças de
inércia e as soluções
adimensionais
tendem para valores
constantes.
Re
Coeficientes de perda de Energia
• Estão compilados em livros de tabelas para o
cálculo de instalações.
• Exemplos:
–
–
–
–
Curva de uma canalização (k = 0.4 a 0.8)
Válvula de globo (k = 1.6)
Expansão súbita (K=1, toda a energia cinética é perdida)
Entrada de um reservatório (k = 0.2 a 0.8)
• E num tubo?
– A perda energia tem que depender do comprimento
do tubo e por isso só a tensão de corte é que pode ser
adimensionalizada.
Balanço de Energia e de QM a um
troço de um tubo
P2
P1
A
τw
• Balanço de forças:
P1  P2 A   w Aw
P1  P2 D 2 / 4   wDL
4 w
P1  P2  
D
• Balanço de Energia:
1
P1  P2  k V 2
2
Coeficiente de dissipação de energia
num tubo
4 L w
1
2
P1  P2  k V 
2
D
1 2
w  f V
2
4 fL
k
D
Equação de Bernoulli Generalizada
1
1
4 fL 1
1

 


2
2
2
2
P


V


gz

P


V


gz

*

V


k

V

 



i
i
k
2
2
D 2
2

1 
2

