SMEE - DECivil
Dinâmica Estrutural e Engenharia Sísmica – MEC – 2007/2008
Métodos de integração numérica
Estes métodos pretendem a integração numérica das equações
diferenciais de movimento. Para tal, assumem que a excitação (e,
indirectamente, a resposta) se encontram discretizadas no
domínio do tempo, procurando satisfazer as equações de
movimento nos instantes de integração, ou seja (i=1, 2, .., N)
Mqi + Cq i + Kq i = Qi
Os métodos de integração numérica distinguem-se relativamente
às hipóteses que assumem relativamente ao andamento da
excitação e/ou resposta no passo de integração. Nestas
circunstâncias vão ser apresentados os seguintes dois métodos:
•
Método de integração linear por troços (piecewise linear,
no original);
•
Método de integração da aceleração média constante.
O primeiro método pressupõe que a excitação, discretizada no
tempo, varia linearmente entre os instantes de discretização, ou
seja:
Q (t ) = Qi +
Qi +1 − Qi
Δ
t
com
t i < t < t i +1
a resposta em cada instante é então determinada através da
solução exacta do método correspondente à excitação linear por
troços.
A qualidade do método depende - única e exclusivamente - da
validade da hipótese de assumir que a excitação varia
linearmente no passo de integração.
Jorge Miguel Proença
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O método da aceleração média constante assume que a
aceleração (resposta) se mantem constante no passo de
integração, ou seja:
q =
qi + qi +1
2
Neste caso, a velocidade e deslocamento no fim do passo de
integração são determinados através das equações do
movimento uniformemente acelerado, ou seja:
q i +1 = q i +
Δ (qi + qi +1 )
2
iΔ +
qi +1 = qi + q
Δ2 ( qi +1 + q i )
4
Explicitando a equação anterior relativamente a qi +1 e
i +1 consegue-se exprimir a
substituindo na equação de q
velocidade e aceleração no fim do passo de integração em
função do deslocamento no mesmo instante. Substituindo na
equação de movimento referente ao fim do passo de integração,
chega-se a uma equação do tipo
~
~
Kq i +1 = Qi +1
Que é utilizada para determinar o deslocamento no fim do passo
eQ
de integração. Os termos K
i +1 são designados por rigidez e
força efectiva, sendo determinados através de:
2C 4 M
~
+ 2
K =K +
Δ
Δ
4
~
⎛2
⎞
⎛ 4
⎞
Qi +1 = Qi +1 + C ⎜ q i + q i ⎟ + M ⎜ 2 q i + q i + qi ⎟
Δ
⎝Δ
⎠
⎝Δ
⎠
Assim, o deslocamento no instante i+1 é determinado através da
equação efectiva anterior. A velocidade é determinada através
Jorge Miguel Proença
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das equações do movimento uniformemente acelerado enquanto
a aceleração é calculada de forma a satisfazer a equação de
equilíbrio dinâmico no passo i+1, ou seja:
q i +1 = −q i +
qi +1 =
2
Δ
q i +1 −
2
Δ
qi
1
(Qi +1 − Cq i +1 − Kqi +1 )
M
A análise da adequabilidade dos métodos de integração numérica
é habitualmente (Bathe&Wilson) conduzida em termos da
estabilidade e fiabilidade. A estabilidade traduz a possibilidade
de a solução numérica divergir com o tempo, devido à
acumulação tendenciosa de erros numéricos. Mesmo nos casos
em que o algoritmo é estável, questiona-se a possibilidade da
solução numérica se afastar da solução analítica, o que traduz a
fiabilidade.
No que se refere à estabilidade o método da aceleração média
constante é incondicionalmente estável, ou seja é estável
independentemente de Δ.
Quanto à fiabilidade, os erros numéricos manifestam-se no
alongamento do período e no decaímento da amplitude,
relativamente à solução analítica (caso exista). Estes erros são
tanto mais pronunciados quanto maior a relação T/Δ, em que T
designa o menor período (associado à maior frequência) de
interesse. Observe-se, para o efeito, a figura seguinte:
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Os estudos realizados apontam para erros crescentes com o
aumento de Δ/T. Recomendam-se valores de Δ/T inferiores a
1/100-1/50.
Bathe&Wilson – Numerical Methods in Finite Element Analysis, McGraw-Hill, 1976
Jorge Miguel Proença