Conservação da Massa – Equação da continuidade
A conservação da massa é uma das leis fundamentais da Mecânica Clássica e estabelece que a
massa se conserva. Analiticamente esta lei escreve-se:
dm
0
dt
Usando a definição de massa volúmica:

dm
dVol
Poderemos escrever o princípio de conservação da massa como:


d   dVol 
 vol
 0
dt
E o teorema de Reynolds poderemos relacionar o que se passa num volume fixo do espaço:

d
d
dVol   dVol    v .n dS

dt sistema
dt VC
SC
E dizer que a “taxa de acumulação de massa num volume de controlo é igual à massa que
entra menos a massa que sai”. Se o fluido for incompressível, então a massa que entra é igual
à massa que sai.
Se definirmos um volume de controlo com uma entrada e uma saída:
A1
A2
Figura 1: Volume de controlo com uma entrada e uma saída


 v.n dA   v.n dA  Q
A1
A2
E poderemos definir velocidade média como a velocidade uniforme na área que produziria o
mesmo caudal:
Q  UA  U 
Q
A
A Equação da continuidade aplicada num volume com uma entrada e uma saída permite
relacionar as velocidades médias nas duas secções:
Q  U1 A1  U 2 A2
Em termos diferenciais a equação da continuidade seria obtida aplicando o principio de
conservação a um volume infinitesimal, no interior do qual a massa volúmica é uniforme e em
cujas faces a velocidade e a massa volúmica é uniforme:



V    v.n Aentrada   v.n Asaida
t

  x2 x3 v1 x1  x2 x3 v1 x x 
t
x1x3 v2 x 2  x1x3 v2 x  2  x1x2 v3 x 3  x1x2 v3 x x
x1x2 x3
1
2
1
1
3
3
Dividindo pelo volume e fazendo-o convergir para zero (para um ponto) obtém-se:


v j 

t
x j
E usando a definição de derivada total (ou material), obtém-se:


v j     v j  v j 

t
x j
x j
x j
v
d 


 vj
  j
dt t
x j
x j
Que, em escoamento incompressível (massa volúmica constante) estabelece que a divergência
da velocidade é nula.
vk
 0    const
xk
No escoamento da Figura 1 a conservação da massa permite então dizer que a velocidade
média tem que aumentar da entrada para a saída. Como consequência a velocidade aumenta
em todo o perfil e por isso temos aceleração convectiva naquela contracção. Se o escoamento
for estacionário, a aceleração do fluido é igual à aceleração convectiva e por isso a resultante
das forças tem que apontar para a saída. Isso significa que a pressão tem que baixar. A mesma
conclusão poderia ser obtida através da equação de Bernoulli. O aumento de velocidade
implica o aumento da energia cinética e por isso a de pressão tem que baixar. Veremos mais
adiante, que a equação de conservação da quantidade de movimento permite também chegar
à mesma conclusão, o que não admira porque (a) quando dizemos que a resultante das forças
tem que ser positiva por a aceleração o ser estamos a usar o princípio da conservação da
quantidade de movimento e (b) a equação de Bernoulli resultou também de um balanço de
força e quantidade de movimento, i.e. do princípio de conservação da quantidade de
movimento.