Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL VII
1 – ELEMENTOS DO CONE
Observação: A seção meridiana de um cone é um
triângulo isósceles de base
e dois lados iguais a
Cone é um sólido formado por um círculo que é
a base e um ponto fora do plano da base que é o
vértice, que é ligado a todos os pontos do círculo. Ele
também pode ser obtido pela rotação de um triângulo
retângulo em torno de um eixo que contém um dos
seus catetos. O eixo é a reta que passa pelo centro da
base e pelo vértice. Além disso, o raio da base
é
denominado raio da base (claro) e o segmento de reta
que liga o vértice a um ponto da circunferência da base
é denominado geratriz
. Finalmente, a altura
do
cone é a distância entre a base e o vértice.
Na prática: o cone é uma “pirâmide” com base
circular!
Observação: Se a seção meridiana de um cone for um
triângulo equilátero, temos um cone equilátero. Nesse
caso,
3 – ÁREAS E VOLUME DO CONE
3.1 – Área lateral
Seja o raio da base de um cone e a sua
geratriz. Planificando a superfície lateral do cone, é
obtido um setor circular de raio
e ângulo , que
enxerga um arco de comprimento
. Logo a área
lateral
do cone é a área do setor circular abaixo:
Figura 3 – planificação da superfície lateral do cone
Figura 1 – elementos do cone
Na figura acima,
,
Além disso, note que o triângulo
Usando Pitágoras no triângulo
A área do círculo de raio
e
.
é retângulo.
é
A razão entre a área do setor e a área do
círculo de raio é
, que também é a razão entre
o comprimento
do arco ̂ e o comprimento
da circunferência de raio :
2 – SECÇÃO MERIDIANA
É a secção feita no cone por um plano que
contém o seu eixo.
3.2 – Área da base
Como a base do cone é um círculo de raio , a
sua área da base é:
3.3 – Área total
A área total
de um cone é a soma da área
lateral com a área da base:
3.4 – Volume
Figura 2 – secção meridiana do cone
1
O volume
área da sua base
Geometria
de um cone é
do produto da
pela sua altura :
CASD Vestibulares
4. (UEL - 09) Uma chapa com forma de um setor de
raio
e ângulo de graus é manuseada para se
transformar num cone. Se o raio da base do cone
obtido é
então o valor de é:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (ENEM - 11) A figura seguinte mostra um modelo de
sombrinha muito usado em países orientais.
a)
Esta figura é uma representação de uma superfície de
revolução chamada de
a) pirâmide.
b) semiesfera.
d) tronco de cone. e) cone.
c) cilindro.
2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Um arquiteto está
fazendo um projeto de iluminação de ambiente e
necessita saber a altura que deverá instalar a luminária
ilustrada na figura
b)
c)
d)
e)
5. (UECE - 10) A superfície lateral de um cone circular
reto, quando planificada, torna-se um setor circular de
de raio com um ângulo central de
graus. A
medida, em centímetros quadrados, da área da base
deste cone é
a)
b)
c)
d)
6. (UPE - 11) Ao se planificar um cone reto, sua
superfície lateral é igual a um quarto de um círculo e a
sua área é igual a
. Nessas condições, a área de
sua base é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
7. (ITA - 12) A superfície lateral de um cone circular
reto é um setor circular de
e área igual a
.
A área total e o volume deste cone medem, em
e
, respectivamente
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área
circular de
, considerando
, a altura
será igual a
a)
b)
c)
d)
e)
3. (UNICAMP - 11) Depois de encher de areia um
molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma
superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia
escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual
ao dobro do raio da base do cilindro.
a)
e
d)
e
√
√
b)
e)
e
e
√
c)
e √
√
8. (UPE - 14) Um torneiro mecânico construiu uma
peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma
forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir:
Considere
A altura do cone formado pela areia era igual a
a) da altura do cilindro. b) da altura do cilindro.
c) da altura do cilindro. d) da altura do cilindro.
CASD Vestibulares
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros
cúbicos?
a)
d)
Geometria
b)
e)
c)
2
Nível II
9. (UEL - 13) Considere uma lata, com o formato de
um cilindro reto de altura
e raio
(Figura 1),
completamente cheia de doce de leite. Parte do doce
dessa lata foi transferido para dois recipientes (Figura
2), iguais entre si e em forma de cone, que têm a
mesma altura da lata e o raio da base igual à metade
do raio da base da lata. Considere também que os dois
recipientes ficaram completamente cheios de doce de
leite.
11. (ENEM CANCELADO - 09) Um vasilhame na
forma de um cilindro circular reto de raio da base de
e altura de
está parcialmente ocupado por
de álcool. Suponha que sobre o vasilhame
seja fixado um funil na forma de um cone circular reto
de raio da base de
e altura de
, conforme
ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é
virado para baixo, sendo a distância da superfície do
álcool até o fundo do vasilhame.
Volume do cone:
Desprezando a espessura do material de que são
feitos os recipientes e a lata, determine quantos outros
recipientes, também em forma de cone, mas com a
altura igual à metade da altura da lata e de mesmo raio
da lata (Figura 3), podem ser totalmente preenchidos
com o doce de leite que restou na lata.
Considerando-se essas informações, qual é o valor da
distância ?
a)
Observação: Na lata e nos recipientes completamente
cheios de doce de leite, o doce não excede a altura de
cada um deles e, na transferência do doce de leite da
lata para os recipientes, não há perda de doce.
10. (UFMG - 13) Um cone circular reto de raio
√
e altura
√ é iluminado pelo sol a um ângulo de
, como ilustrado a seguir.
A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos
segmentos
e
, tangentes ao círculo da base do
cone nos pontos e , respectivamente.
Com base nessas informações,
a) DETERMINE a distância de
ao centro
do
círculo.
b) DETERMINE o ângulo
.
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.
3
b)
c)
d)
e)
12. (UNESP - 06) Um paciente recebe por via
intravenosa um medicamento à taxa constante de
. O frasco do medicamento é formado por
uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas
são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou
a medicação.
Após
de administração contínua, a medicação foi
interrompida. Dado que
, e usando a
aproximação
, o volume, em
, do medicamento
restante no frasco após a interrupção da medicação é,
aproximadamente,
a)
Geometria
b)
c)
d)
e)
CASD Vestibulares
13. (UFPB - 11) A prefeitura de certo município
realizou um processo de licitação para a construção de
cisternas de placas de cimento para famílias da
zona rural do município. Esse sistema de
armazenamento de água é muito simples, de baixo
custo e não poluente. A empreiteira vencedora
estipulou o preço de
reais por
construído,
tomando por base a área externa da cisterna. O
modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de
um cilindro com uma cobertura em forma de cone,
conforme a figura abaixo.
16. (UEMG - 14) Uma empresa deseja fabricar uma
peça maciça cujo formato é um sólido de revolução
obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno
da base menor, como mostra a figura a seguir. As
dimensões do trapézio são: base maior igual a
,
base menor igual a
e altura do trapézio igual a
.
Considerando que a construção da base das cisternas
deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o
valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na
construção das
cisternas será, no máximo, de:
Use:
a)
d)
b)
e)
Considerando-se
, o volume, em litros, da peça
fabricada corresponde a
c)
a)
14. (UFG - 13) Um chapeuzinho, distribuído em uma
festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando
planificado, fornece um semicírculo com
de raio.
Para o cone, que representa o formato do
chapeuzinho,
a) o raio da base é
b) a área da base é
c) a área lateral é
d) a geratriz mede
e) o volume é
b)
c)
d)
Nível III
17. (ITA - 05) Um dos catetos de um triângulo
retângulo mede √
. O volume do sólido gerado
pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é
. Determine os ângulos deste triângulo.
18. (UFMG - 09) Nesta figura, está representada a
região , do plano cartesiano, limitada pelo eixo e
pelas retas
e
√
15. (UFPR - 10) A parte superior de uma taça tem o
formato de um cone, com as dimensões indicadas na
figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta
quando está completamente cheia?
b) Obtenha uma expressão para o volume de líquido
nessa taça, em função da altura indicada na figura.
CASD Vestibulares
Seja
o sólido obtido pela rotação da região
em
torno do eixo . Então, é correto afirmar que o volume
de é:
a)
Geometria
b)
c)
d)
4
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Note que a base da figura é um círculo e existe um
ponto fora do círculo ligado a todos os pontos da
circunferência, que é o vértice
7. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz.
Seja
o ângulo central do setor circular. Então
. Como o raio do setor circular é a geratriz do
cone, o raio do círculo completo também é :
2.
√
3. Sejam
a altura do cilindro,
a altura do cone,
o raio do cilindro,
o raio do cone,
o volume do
cilindro e
o volume do cone. Como a quantidade de
areia é a mesma no cilindro e no cone, o cilindro e o
cone têm a mesmo volume. Então, tem-se:
√
A área total do cone é:
O volume do cone é:
√
4. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz.
Como o raio do setor circular é a geratriz do cone,
. Além disso,
. Então:
5. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz.
Como o raio do setor circular é a geratriz do cone,
. Então:
√
8. Como o cilindro tem raio da base
, o seu volume
é:
e altura
Como o cone tem raio da base
, o seu volume
é:
e altura
O volume da peça é a diferença entre o volume do
cilindro e o volume do cone:
A área da base do cone é:
6. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz.
Como a área de um quarto do círculo é
, a área do
círculo completo é
. Como o raio do setor
circular é a geratriz do cone, o raio do círculo é .
Então:
√
Como
9. O volume da lata da figua 1 é
. O volume
de cada um dos recepientes da figura 2 é:
( )
Como o setor circular é igual a um quarto de círculo, o
ângulo central do setor circular é
√
A área da base do cone é:
√
√
,
O volume do recepiente da figura 3 é:
√
O volume
5
Geometria
do doce de leite que restou na lata é:
CASD Vestibulares
10. a) O triângulo
está ilustrado abaixo:
11. Sejam
a altura do cilindro,
a altura do cone,
o raio do cilindro,
o raio do cone,
o volume do
cilindro e
o volume do cone, de acordo com a
figura 2. Então,
e
,
O volume total de álcool é
Como
̂
̂
e
. Então:
, tem-se que:
̂
̂
̂
̂
̂
Como ̂
de base
. Logo,
, o triângulo
é isósceles
b) O plano da base do cone está ilustrado abaixo:
12. Sejam
a altura do cilindro,
a altura do cone,
o raio do cilindro,
o raio do cone,
o volume do
cilindro e
o volume do cone. Então,
,
e
,
O volume total
Seja
do frasco é:
. Então, tem-se:
√
em
√
. Como o paciente recebe
, o volume recebido
em
é
. Logo o volume restante no
frasco é
c) A área do triângulo
√
√
13. Sejam
a altura do cilindro,
a geratriz do
cone,
o raio do cilindro,
o raio do cone,
a
área lateral do cilindro,
a ára lateral do cone
a
área da base do cilindro e
a área externa da
cisterna. Então, tem-se::
é:
√
A área do quadrilátero
triângulo
. Logo:
√
√
√
é o dobro da área do
√
A área da base do cone é:
(√ )
A área do setor circular de ângulo
é:
Logo, a área externa de
cisternas é
Como
custa
reais, o valor a ser gasto pela
prefeitura na construção das
cisternas é
A área da sombra é a diferença entre a área do
quadrilátero
e a área do setor circular
CASD Vestibulares
Geometria
6
14. Sejam o raio da base do cone, a sua altura e
a sua geratriz. Como o raio do setor circular é a
geratriz do cone,
.
16. A figura do problema é a seguinte:
Como o setor circular é igual a um semicírculo, o
ângulo central do setor circular é
A área da base do cone é:
A área lateral do cone é:
√
O volume do cone é:
√
√
15. a) Sejam o raio da base da taça e a sua altura
Então
. Logo o volume de
líquido da taça completamente cheia é:
b) Quando a altura do líquido é , seja
do líquido, conforme a figura abaixo
o raio da base
Note que o volume da peça fabricada corresponde à
diferença entre o volume de um cilindro e o volume de
dois cones (um embaixo e outro em cima).
Sejam
a altura do cilindro,
a altura do cone,
o
raio do cilindro,
o raio do cone,
o volume do
cilindro e
o volume do cone.
A altura do cilindro é a base maior do trapézio, logo
, e o raio da base é a altura do trapézio
. Então, o volume do cilindro é:
Como o trapézio é isósceles, tem-se que a base maior
do trapézio é igual à base menor do trapézio mais o
dobro da altura do cone. Então, tem-se:
Então, o volume do cone é:
Por semelhança de triângulos, tem-se:
O volume
da peça fabricada é:
Quando a altura do líquido é , o líquido tem a forma
de um cone de raio da base e altura . Logo:
( )
7
Note que
Geometria
CASD Vestibulares
17. Seja
hipotenusa,
,
triângulo
o triângulo retângulo, onde
é a
é a altura relativa a
,
√ ,
̂
e
. Ilustrando o
abaixo:
De
e
, tem-se:
√
√
√
Substituindo
em
, tem-se:
√
√
√
Multiplicando essaa equação por √ , tem-se:
√
√
√
Girando o triângulo
em torno de
, será gerado
um cone de raio da base
e altura
.
Logo, o volume desse cone é
;
√
√
√ ( √
√
Girando o triângulo
em torno de
, será gerado
um cone de raio da base
e altura
.
Logo, o volume desse cone é
;
√
√ √
√
Então, o volume do sólido gerado pela rotação do
triângulo
em torno da hipotenusa
(que é o
sólido formado pelos dois cones) é
:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Aplicando Pitágoras no triângulo
)
√
√
:
√
√
√
√
Os triângulos
e
possuem os ângulos iguais.
√
são semelhantes, pois
√
√
No triângulo retângulo
Escolhendo os triângulos que têm
seus lados, escolhemos os triângulos
: é oposto aos lados
)e
(no
);
: é oposto aos lados √ (no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
) e √ (no
(no
Semelhança entre
e
:
√
√
√
√
, tem-se:
como um de
e
(no
√
√
√
No triângulo
√
, tem-se:
);
Logo os ângulos do triângulo
são
,
,
√
√
√
√
√
√
CASD Vestibulares
√
√
√
Geometria
8
18. Sejam a reta
, a reta
, o ponto
em que a reta corta o eixo e o ponto em que as
retas e se cortam. Como pertence ao eixo , temse que
. Logo:
GABARITO
1. E
2. B
3. A
4. E
5. D
6. C
Logo,
e
(
7. A
)
8. A
A figura do problema é a seguinte:
9.
recepientes como o da figura 3 podem ser
totalmente preenchidos com o doce de leite que restou
na lata
10. a) A distância de
b) O ângulo
a
é
√
é
c) A área da sombra projetada pelo cone é √
11. B
12. A
13. E
14. E
Note que o sólido obtido pela rotação da região em
torno do eixo é a diferença entre um cone maior de
altura
e raio da base
e um cone
menor de altura
e raio da base
.
15. a) O volume de líquido que essa taça comporta
quando está completamente cheia é
O volume
b) O volume
de líquido nessa taça, em função da
altura indicada na figura é
do cone maior é:
( )
16. B
17. Os ângulos do triângulo são
O volume
do cone menor é:
,
e
18. A
( )
O volume
9
do sólido
é:
Geometria
CASD Vestibulares