VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 2000
2ª ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ____________________
TURMA: ____________________
MATEMÁTICA - 2
01. Uma embarcação está presa ao cais por um cabo horizontal de comprimento
2,9m. Quando a maré baixar 2,0m, qual será a distância (em decímetros),
medida na horizontal, da embarcação ao cais?
02. Duas cidades têm a mesma latitude e suas longitudes diferem de 3o. Qual a
diferença de horários, em minutos, do nascimento do sol nas duas cidades?
(Suponha que a Terra executa uma volta completa em torno de seu eixo em 24
horas).
03. Num mapa duas cidades distam 4 cm e a distância real entre elas é de 144 km.
Se duas outras cidades distam entre si 2,5 cm no mapa, qual a distância real
em km entre elas?
04. Leite em pó integral contém 352 calorias e 17,6 gramas de proteína por xícara.
Leite em pó desnatado contém 87 calorias e 8,6 gramas de proteína por xícara.
Utilizando-se uma mistura dos dois tipos de leite, pretende-se obter um terceiro
tipo, contendo 153,25 calorias por xícara. Calcule o número N de gramas de
proteína por xícara do terceiro tipo de leite . Assinale 20N/7.
05. A população de insetos numa plantação é inversamente proporcional à
quantidade de agrotóxicos utilizada para combatê-la. Quando se utilizou 10" de
agrotóxico a população restante foi estimada em 2000 insetos. Quantos litros
de agrotóxicos deveriam ter sido utilizados para que a população de insetos
fosse reduzida a 400?
06. Qual o inteiro mais próximo do volume máximo obtido pela interseção de um
paralelepípedo retângulo cujas arestas medem 6, 10 e 10 com um cilindro que
tem raio da base 1 e altura 11?
07. O hexágono regular ABCDEF da figura tem área 60. Qual a área do hexágono
interior GHIJKL?
E
D
K
L
J
F
C
G
I
H
A
B
08. Determine p, q reais tais que
[[ [ [ [ S[ T ,QGLTXH S T 09. Analise as afirmações seguintes sobre os ângulos das faces de um tetraedro:
o
0-0) A soma dos ângulos de todas as faces do tetraedro é 720 .
1-1) Existe tetraedro onde a soma dos ângulos em cada vértice do tetraedro é
o
180 .
2-2) Um ângulo de um vértice do tetraedro tem medida menor que a soma das
medidas dos outros dois ângulos do mesmo vértice.
3-3) Qualquer tetraedro possui um vértice onde todos os ângulos são agudos.
4-4) Existe tetraedro que possui todas as faces congruentes a um mesmo
triângulo escaleno.
10. Três pontos A, B e C estão numa superfície esférica de raio 20 e centro O. Os
o
ângulos AOB , AOC e BOC medem 90 . Considerando as regiões em que fica
dividida a superfície esférica pelos círculos de raio 20 passando por
A e B, A e C e B e C, calcule a área da parte da superfície limitada pelos arcos
AB, AC, BC (em vermelho na figura abaixo) e indique sua divisão por 20π.
C
B
A
11. Seja R a região obtida pela interseção de um quadrado Q de lado 10 com um
triângulo T com lados medindo 10, 10 e 12. Analise as seguintes afirmações:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
R pode ser um triângulo retângulo.
R pode ser um retângulo.
R pode ser um trapézio.
R pode coincidir com T.
O maior valor possível para área de R é 60.
12. Considere 6 pontos numa reta e 8 pontos em outra reta reversa a esta.
Escolhendo ao acaso 4 dentre estes 14 pontos, calcule a probabilidade p de
estes serem vértices de um tetraedro. Indique o inteiro mais próximo de 100p.
13. Seja AOB um ângulo medindo 36o e C o pé da perpendicular a OB por A.
Construa a reta r perpendicular a AC passando por A. Determine o ponto D,
situado entre A e C tal que a reta por O e D intercepta r em E com ED = 2AO.
Qual a medida de AOE ?
14. Um satélite em órbita em torno da terra completa uma volta em um número
inteiro de horas e em menos que um dia. Iniciando no momento em que um
relógio de 24 horas marca 0 horas, o satélite completará 11 voltas quando o
mesmo relógio marcar 17 horas. Quantas horas são necessárias para o satélite
completar uma volta em torno da terra?
15. A figura abaixo foi construída de forma que:
¾ $% ¾ $& %& ¾ 0 SRQWR PpGLR GH $%
¾ $ SRQWR PpGLR GH &'
¾ ( LQWHUVHomR GD SDUDOHOD j $% TXH SDVVD SRU & FRP D UHWD
TXH
'H%
¾ ) SRQWR
SDVVD
GH
%(
WDO TXH
SRQWR
& ) H *
GD
$ H % WDO TXH )*
VmR FROLQHDUHV VHQGR
UHWD
C
SRU
*
SRU
E
F
A
M
B
G
D
$QDOLVH DV DILUPDo}HV
0-0) CE=1
1-1) CF.BG=1
2
2
2-2) (CF+1) =(BG+1/4) + 15/16
4
3
3-3) BG é raiz da equação 2x + x – 4x – 2 = 0
3
4-4) BG =
2.
16. Um poliedro convexo é formado de faces pentagonais e hexagonais regulares.
Cada pentágono é adjacente a cinco hexágonos e cada hexágono é adjacente
a três pentágonos e três hexágonos que se alternam conforme a ilustração
seguinte. Quantas são as faces do poliedro?
17. Pretende-se construir um triângulo com um lado medindo 24 e a soma dos
outros dois lados medindo 26. Qual a área do triângulo de área máxima que
pode ser construído?
18. Na ilustração abaixo DEF (GHI respectivamente), são os triângulos tendo por
vértices os pontos onde as circunferências inscritas nos triângulos ABC (DEF
o
respectivamente) tangenciam o triângulo. Se o ângulo BAC mede 37 , em
o
quantos minutos a medida do ângulo HGI excede 53 ?
C
E
I
D
H
G
A
F
B
19. Na figura abaixo, a circunferência maior tem raio 5, o arco ACB, de uma
o
circunferência de raio 5, mede 90 . A circunferência menor é tangente à maior e
ao arco ACB no seu ponto médio. Qual a área da região colorida?
B
A
C
20. Sejam ABC e DEF triângulos tais que AB, BC são paralelos a DE, EF
respectivamente e as retas passando por B e E; A e D; C e F são concorrentes
em V conforme a ilustração abaixo. Analise as sentenças seguintes:
B
A
D
E
C
F
V
0-0) VED e VBA são triângulos semelhantes.
VE ED VD
1-1)
=
=
VB BA VA
2-2) Error! Not a valid link.
VD VF
=
e os triângulos VDF e VAC são semelhantes
VA VC
4-4) AC e DF são paralelos.
3-3)
21. Um paralelepípedo reto de dimensões 3, 4, 5 é decomposto em cubos de
aresta 1 como ilustrado na figura a seguir. Calcule o número n de formas
distintas que se pode ir de A até B, utilizando um menor caminho possível, e
mantendo-se sempre sobre as arestas dos cubos de aresta 1 construídos.
Indique a soma dos dígitos de n.
B
A
22. Seja P um ponto na circunferência inscrita num triângulo equilátero ABC de
2
2
2
lado 4. Indique PA + PB + PC .
23. Na figura abaixo temos 3AD = AC e 3CF = CB. Se a área de ABC é 63, qual a
área de ADE?
C
F
D
E
A
B
24. Analise as afirmações abaixo sobre a figura seguinte:
A
φ
θ
c
B
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
b
h
H
C
A área do triângulo ABC é 1/2.b.c.sen (θ + φ).
A área do triângulo ABH é 1/2.c.h.senθ.
b.c.sen (θ + φ) = b.h.senθ + c.h.senφ.
sen (θ + φ) = h/c.senθ + h/b.senφ.
sen (θ + φ) = cosφ.senθ + cosθ.senφ.
25. O dodecágono regular da figura abaixo tem lado 3. Qual a soma dos dígitos do
inteiro mais próximo de sua área?
26. Acerca da área de um quadrilátero convexo com diagonais medindo 5 e 12 e
formando entre si um ângulo θ estude as afirmações a seguir:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
A área mede 30
A área depende da posição do ponto de interseção das diagonais.
o
A área é máxima quando θ = 90 .
A área é 30senθ.
–10
A área pode ser menor que 10 .
27. Um ponto P é escolhido num segmento AB e são formados os triângulos
equiláteros APC e PBD com C, D escolhidos no mesmo semiplano (relativo a
reta por A e B). Se AB mede 10 qual o inteiro mais próximo da área do
triângulo de área máxima CPD?
28. Um paralelepípedo reto ABCDEFGH é decomposto em 4 paralelepípedos
menores por planos paralelos às faces ABFE e BCGF. Os paralelepípedos
menores contendo os vértices F, G, H têm volumes 231, 385 e 110
respectivamente. Qual a soma dos dígitos do volume do paralelepípedo
ABCDEFGH?
29. O contorno da figura abaixo é formado por oito semicircunferências de raio 2
cujo centros são vértices de um octógono regular. Qual o inteiro mais próximo
da área delimitada pelo contorno?
30. A figura abaixo ilustra os gráficos das funções
¦[ D[ E[ F H J[
g
D [ E [ F f
$QDOLVH DV DILUPDo}HV
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
a1 < a2
b1 < b2
c1 < c2
b1 b2 > 0
a1 c1> a2 c2
31. Se a curva abaixo representa o gráfico da função y = log2x, x > 0 e a é o valor da área
a2
sombreada, quando vale (2 ) ?
1
2
3
4
32. Seja α uma raiz complexa de x3 – x – 1 =0. Estude as afirmações:
0-0)
α=
5
1 

1 −

1− α 

−1
α = 2 α +1
2-2) α não é racional
–1
2
3-3) (α +1) = α – α
4-4) α é raiz de uma equação quadrática com coeficiente inteiros.
1-1)