Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL VI
1 – TETRAEDRO REGULAR
são
2 – ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO
REGULAR
É uma piramide regular triangular, cujas faces
triângulos equiláteros de lado
2.1 – Área lateral
A área lateral
do tetraedro regular é a soma
das áreas dos triângulos equiláteros que são faces
laterais do tetraedro
√
2.2 – Área da base
A área da base do tetraedro regular é a área
do triângulo equilátero da sua base
√
Figura 1 – tetraedro regular
A figura mostra um tetraedro regular
.
Sejm
o polígono da base, o seu vértice e
a
projeção ortogonal de sobre o plano
.
Como
, vale
.
Logo,
é o centro do triângulo equilátero
(isto é,
é baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro).
O ponto está no segmento
e é o centro
do tetraedro. Então
Na figura ,
é o ponto médio de
. Assim,
é mediana. Logo, pela propriedade do baricentro,
se
,
e
.
Como o triângulo
é equilátero, a mediana
também é altura. Logo
. Então:
√
√
√
√
√
√
2.4 – Volume
O volume do tetraedro regular é
da área da sua base pela sua altura:
√
√
√
do produto
√
√
√
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
√
A área total
do tetraedro regular é a soma
da área lateral com a área da base:
√
√
(
2.3 – Área total
:
)
√
√
Como
é a projeção ortogonal de sobre o
plano da base, a altura do tetraedro regular é
√
1
Geometria
CASD Vestibulares
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (MACKENZIE - 14) Se um tetraedro regular tem
arestas de comprimento
, então podemos afirmar
que
a) a altura é igual a √
b) a altura é igual a
c) a altura é igual a
9. (UFPE - 12) Um joalheiro fabricou um pingente
maciço de prata banhado a ouro, no formato de
tetraedro regular com
de aresta. O custo com
material para confeccionar o pingente foi
(
em prata e
em ouro). Quanto o
joalheiro gastará com material para confeccionar outro
pingente do mesmo tipo com aresta
? Considere
que a espessura do banho de ouro permanece
constante nos pingentes.
Nível II
√
d) o volume é igual a
10. (UNIFESP - 07) Quatro dos oito vértices de um
cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro
regular. As arestas do tetraedro são diagonais das
faces do cubo, conforme mostra a figura.
√
e) o volume é igual a
2. Atividade para Sala nº 1, Geometria Espacial VI
3. (UFSJ - 12) Se o volume de um tetraedro regular é
a medida de sua aresta é, em centímetros:
√
a)
b)
c)
d)
4. (UEPB - 12)
A área de uma circunferência
circunscrita à base de um tetraedro regular de aresta
é:
a)
b)
c)
d)
e)
5. (UFRGS - 11) A superfície total do tetraedro regular
representado na figura abaixo é √ . Os vértices do
quadrilátero
são os pontos médios de arestas do
tetraedro, como indica a figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é
igual a dois terços da diagonal do cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume
do tetraedro.
11. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial VI
12. (UNIFESP - 13) Na figura,
é um
paralelepípedo reto-retângulo, e
é um tetraedro
regular de lado
, conforme indica a figura. Sabe-se
ainda que:
—
pertencem, respectivamente, às faces
e
;
— pertence à aresta ̅̅̅̅
—
é baricentro do triângulo
e pertence à
diagonal ̅̅̅̅ da face
;
— ̂ é um arco de circunferência de centro .
O perímetro do quadrilátero é
a)
b) √
d) √
c)
e) √
e
6. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial VI
7. (ITA - 05) Em relação a um sistema de eixos
cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um
tetraedro regular são dados por
,
e
√
√ . O volume do tetraedro é
a)
b)
c)
√
d)
√
e)
8. (UEPB - 13) A altura de um tetraedro regular que
possui área total e volume numericamente iguais, é:
a) √
b)
CASD Vestibulares
c)
d) √
e)
a) Calcule a medida do arco ̂ em centímetros.
b) Calcule o volume do sólido
, em
Geometria
2
13. (FUVEST - 12) Em um tetraedro regular de lado ,
a distância entre os pontos médios de duas arestas
não adjacentes é igual a
a) √
b) √
c)
√
√
d)
e)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
do tetraedro vale
√
√
2. Sabe-se que a aresta
15. (ITA - 10) Sejam , , e
os vértices de um
tetraedro regular cujas arestas medem
. Se é o
ponto médio do segmento ̅̅̅̅ e e o ponto médio do
segmento ̅̅̅̅, então a área do triangulo
, em
,
é igual a
√
1. Sabe-se que a aresta
√
14. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial VI
a)
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
√
√
do peso vale
√
Aplicando uma regra de três simples, tem-se que:
√
16. Atividade Proposta nº 7, Geometria Espacial VI
17. (FGV - 12) Arestas opostas de um tetraedro são
arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda
sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta
partindo do ponto médio de uma aresta e indo
para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de
onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais
curto possível, então o inseto percorreu a distância, em
centímetros, igual a
a)
√
b)
c)
√
d)
3. Seja
a aresta do tetraedro. Então, tem-se:
√
√
√
√
4. A base de um tetraedro regular é um triângulo
equilátero, como o triângulo
da figura 1. O raio
da circunferência circunscrita é o valor de
. Como a
aresta vale
, tem-se:
e) √
√
18. (UERJ - 11) Um artesão retirou, de uma pedra com
a forma inicial de um prisma triangular reto de base
, um tetraedro regular
. Observe a figura
abaixo:
√
√
( √ )
A área do círculo é
5. A figura do problema é a seguinte:
Seja
a aresta do tetraedro. Como a área total é √ :
√
√
√
Considere os seguintes dados:
- ∙ os vértices
prisma;
e
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Determine o volume inicial da pedra.
3
Logo,
.
No triângulo
,
é base média de
, logo
No triângulo
,
é base média de
, logo
No triângulo
,
é base média de
, logo
No triângulo
,
é base média de
, logo
pertencem a duas faces laterais do
Geometria
CASD Vestibulares
6. A aresta
do tetraedro é
√
. A área lateral é:
√
√
Como o preço do ouro é
ouro será
√
10. a) A figura do problema é a seguinte:
√
por
, o custo do
√
A área da base do tetraedro é:
√
√
√
Como o preço da prata é
ouro será
√
√
√
por
, o custo do
Logo, o custo total do recobrimento, em reais, é
√
√
√
7. Como
e
√
, tem-se:
√
√
√
√ . Então, o seu
do tetraedro é
( √ ) √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
11. O sólido em questão é um octaedro regular. Seja
o lado do octaedro. Em cada face do tetraedro, o lado
do octaedro é base média da aresta do tetraedro. Logo
. Sejam
a pirâmide
√
√
que representa uma das metades do octaedro,
a sua base,
o centro da base e o seu vértice. A
figura do problema é:
√
√ √
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
9. Como o pingente é maciço de prata e é banhado a
ouro, o seu volume é feito de prata e a sua superfície
(área total) é feita de ouro. Assim, a quantidade de
prata é proporcional ao cubo da aresta (pois
) e a quantidade de ouro é proporcional
√
ao quadrado da aresta (pois
√ ). Assim,
quando a aresta passa de
para
, a aresta
duplicou. Logo, o volume foi multiplicado por e a área
total foi multiplicada por . Assim, a quantidade de
prata foi multiplicada por e a quantidade de ouro foi
multiplicada por . Então o custo com a prata foi
multiplicado por e o custo com o ouro foi multiplicado
por
. Assim, o novo custo com a prata é
e o novo custo com o ouro é
. O novo custo total é
CASD Vestibulares
√
√
8. Seja a aresta do tetraedro. Como a sua área total
e o seu volume são numericamente iguais, tem-se:
√
√
√
√
√
√
b) Sejam
o volume do cubo e
o volume do
tetraedro. Então,
. Além disso, tem-se:
√
√
√ √
Lembre-se que a diagonal do cubo é
√
Logo, a aresta
volume é:
O tetraedro é formado pelos vértices , , , . Note
que a a aresta do cubo é (aresta unitária). Usando
Pitágoras no triângulo retângulo
, tem-se que
√ . Então, a aresta do tetraedro é
√ .
Seja a altura do tetraedro. Então, tem-se:
:
(
√
)
( √ )
( √ )
Note que o volume do octaedro é o dobro do volume
da pirâmide superior.
Geometria
4
12. a) O retângulo
Como
e
está ilustrado abaixo:
13. Seja
o tetraedro, onde é o ponto médio de
e é o ponto médio da aresta oposta
. Seja a
sua aresta. A figura do problema é a seguinte:
é um tetraedro regular de lado
.
,
Uma circunferência de raio
teria um comprimento
. Como ̂ é um arco de
(que é
de
), o seu comprimento é
do
comprimento da circunferência, isto é, é
Como
é ponto médio de
, as medianas
(no
triângulo equilátero
)e
(no triângulo equilátero
) também são alturas, logo
√
Assim, o triângulo
é isósceles de base
.
Portanto, a mediana
é a altura relativa ao lado
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
b) Como
é baricentro do triângulo
(que é
equilátero),
também é o incentro (encontro das
bissetrizes). Logo
Como ̂ é um arco de circunferência de centro
No triângulo retângulo
√
√
do sólido
)
( )
√
√
é a altura do tetraedro, cuja aresta é
√
14. Seja
. Note que a figura é exatamente a
mesma da questão 13. Dos cálculos da questão 13:
, tem-se:
√
O volume
,
(
√
√
15. A figura do problema é a seguinte (com
):
. Então:
√
é:
√
√
√ √
√
Como
é ponto médio de
, as medianas
(no
triângulo equilátero
)e
(no triângulo equilátero
) também são alturas, logo
√
Assim, o triângulo
é isósceles de base
.
Portanto, a mediana
é a altura relativa ao lado
√
Dos cálculos da questão 13:
√
5
Geometria
√
CASD Vestibulares
16. A figura do problema é a seguinte:
18. A figura do problema é a seguinte:
Sejam
o centro da face
e
o centro da face
. Então
e
são os baricentros dos triângulos
e
, respectivamente. Seja o ponto médio de
. Então
e
são medianas dos triângulos
e
, respectivamente. Logo,
√
(altura do triângulo equilátero). Além disso, pela
propriedade do baricentro,
e
Como
, tem-se que
.
√
Então, os triângulos
e
são semelhantes
(pelo caso L.A.L), onde a razão de semelhança é
. Logo,
, isto é, a aresta do
tetraedro exterior é o triplo da aresta do tetraedro
interior. Como o volume do tetraedro é proporcional ao
cubo da aresta, se a aresta é multiplicada por , o
volume do tetraedro é multiplicado por
. Então:
17. Seja
o tetraedro, onde é o ponto médio de
(que é o ponto de partida do inseto) e é o ponto
médio da aresta oposta
(que é o ponto de chegada
do inseto). A figura do problema é a seguinte:
Seja o ponto médio da aresta
. Como
é um
tetraedro regular,
. Como
e
são
alturas dos triângulos equiláteros
e
,
respectivamente, tem-se que
√
Usando a Lei dos cossenos no triângulo
̂
√
( )
√
( )
√
√
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Usando a relação fundamental da trigonometria:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
( )
√
̂
( )
Como pertence à face lateral
e
são paralelos, logo ̂
Planificando esse tetraedro, obtemoso losango
:
̂
, tem-se que
̂ . Assim:
̂
√
̂
:
√
̂
√
Como
e
são pontos médios de
e
,
respectivamente, então
e
são paralelos. Logo,
, que é a aresta do tetraedro.
CASD Vestibulares
O prisma possui base
e altura
prisma é reto), logo o seu volume é:
Geometria
(pois o
√
6
GABARITO
1. E
2. E
3. D
4. D
5. C
6. C
7. A
8. E
9. O joalheiro gastará
10. a) A altura do tetraedro é
com material
√
b) A razão entre o volume do cubo e o volume do
tetraedro é
11. C
12. a) O arco ̂ mede
b) O volume do sólido
é
√
13. D
14. D
15. B
16. E
17. D
18. O volume inicial da pedra é
7
√
Geometria
CASD Vestibulares