Conservação de Massa
Esvaziamento de um tanque de
água
Características do Tanque
• Base retangular com 13,9cm por 32,0cm de dimensões
internas, e profundidade máxima de 25,0cm.
Característica Experimental
•
•
•
•
ho nível inicial da água;
hf é o nível final é ;
h é o nível da água no instante genérico t;
m é a massa correspondente de água contida no
reservatório nesse mesmo instante;
• A, uma constante neste caso, é a área da superfície
livre da água.
Resultados Experimentais
Primeira etapa da Modelagem – Lei
fundamental de conservação
• Em um instante t e um pequeno intervalo de tempo t, tem-se:
– No instante t a massa de água contida no tanque é m e esse valor sofre
uma redução de m durante o intervalo de t, pois uma pequena
quantidade de água abandona o reservatório.
• m = - aQt, onde a é a massa específica da água e Q a vazão de
efluxo.
• Dividindo-se por t, chega-se a m/t = - aQ, ou, no limite, com t
tendendo a zero,
dm
   aQ
dt
dm
   aQ
dt
• Substituindo-se m pelo produto aA(h-hf) obtém-se a equação
diferencial seguinte:
d (h  h f )
dt
Q

A
com a condição inicial, h=ho quanto t=0
Segunda Etapa da Modelagem – lei
particular
Conhecimento de como a Vazão (Q)
depende da diferença de potencial (h-hf)
Primeira hipótese
•
Supõe-se inicialmente, que a vazão de saída da água pelo orifício seja
constante, igual a Qo, o seu valor observado no ínicio do processo, ou seja, na
vizinhança de t=0.
d (h  h f )
dt
•
Qo

A
Como hf é uma constante
Qo
dh

dt
A
Qo
dh

dt
A
h  ho
dh
 lim
dt t  0 t
h  ho
Qo

t
A
Qo
h  ho  .t
A
Resultado
20
Dados
equ. (3.5a)
h - hf (cm)
15
10
5
0
0
100
200
300
t (s)
400
Segunda hipótese
•
Supõe-se que Q seja linearmente proporcional ao potencial (h–hf)
Q  Cb(h  h f )
•
em que Cb é uma constante.
•
Substituindo-se este valor de Q na equação:
d(h  h f )
dt
•
Q

A
Resulta uma nova equação diferencial:
d(h  h f )
dt

Cb(h  h f )
A
•
O valor de Cb pode ser estimado a partir da condição inicial:
Qo  Cb(ho  hf )
ou:
Qo
Cb 
(ho  h f )
•
Resulta na equação diferencial:
d(h  h f )
dt

Qo(h  h f )
A(ho  h f )
Equação Diferencial Ordinária Linear de 1ªOrdem
Resultado da Integração
Qo t
h  h f  (ho  h f )exp( 
)
A(ho  h f )
Gráfico
h - h f (cm)
20
Dados
1ªEqu.
Hipótese
(3.5a)
15
2ªEqu.
Hipótese
(3.8)
10
5
0
0
100
200
t (s)
300
400
Terceira Hipótese
•
Supõe-se agora que Q = Cc (h – hf)1/2, em que Cc é uma nova constante.
d(h  h f )
dt
1/ 2

Cc(h  h f )
A
Q0 = Cc (h0 – hf)1/2
Equação Separável não Linear
Resultado da Integração


Q0
h  h f  (h0  h f ) 1 
t
 2A(h0  h f ) 
2
Gráfico
20
h - h f (cm)
Dados
15
3ª
Hipótese
(3.10)
Equ.
10
5
0
0
100
200
t (s)
300
400
Outra Alternativa
• Uma outra alternativa, igualmente válida, poderia ser a de um maior
investimento na linha dedutiva ao se construir o modelo matemático
• Deixando-se menos espaço para a busca de relações particulares
como foi feito neste caso, no qual foi preciso pesquisar-se a relação
entre a vazão de saída Q e a carga hidráulica (h – hf).
Imagine...
•
Um reservatório com nível constante (condição para regime permanente)
descarrega água (supostamente um fluido incompressível) por um orifício
circular na sua base.
•
Por hipótese, o escoamento não tem perdas (fluido hipoteticamente não
viscoso).
•
Nestas condições, pode-se aplicar a equação de Bernoulli (que resulta do
princípio de conservação da quantidade de movimento linear) entre dois
pontos da mesma linha de corrente, digamos, os pontos 1 e 2 na Figura
abaixo:
Relação entre Q e (h-hf)
• Equação de Bernoulli
1
1
2
2
p1   gh1   V1  p 2   gh2   V2
2
2
• Como p1 e p2 são iguais à pressão atmosférica e V1 é igual a zero,
resulta que a vazão de saída Q é proporcional à raiz quadrada da
carga hidráulica.
V2  2g (h1  h2 )
Nova Situação
m = a (Qe - Qs).t
dm
 ρa (Qe  Qs )
dt
m = aA(h–hf)
d(h  h f )
dt
Qe  Qs

A
Note que Qe é constante e Qs é regido pela mesma lei particular
observada nos experimentos anteriores.
d(h  h f )
dt
Qe C s


(h  h f )1 / 2
A
A