ISSN 2317-3297
Método de Euler e Runge-Kutta para solução de Equações diferenciais
ordinárias
Leonardo Gonçalves Brito,
Tatiane Reis do Amaral
Departamento de Matemática, IFNMG-Campus Januária
39480-000, Januária, MG
E-mail: [email protected],
[email protected]
Palavras-chave: Métodos Numéricos, Equações diferenciais, Método de Euler, Método de
Runge-Kutta
Resumo: Este trabalho apresenta três métodos numéricos para solução de Equações
diferenciais ordinárias (EDO): o método de Euler, Runge-Kutta de segunda ordem e RungeKutta de quarta ordem. Uma mesma EDO será resolvida com cada um dos métodos, apontando
o erro local encontrado em cada um, onde para efetuação dos cálculos será utilizado o
software MATLAB. Posteriormente será realizado uma comparação entre os métodos.
1 - Introdução
Chama-se equação diferencial uma equação em que a incógnita é uma função, e
apresenta uma relação com as derivadas desta função. As equações diferenciais são utilizadas na
resolução de problemas de modelagem matemática e quando a função desconhecida depende de
uma única variável independente, são chamadas de equações diferenciais ordinárias [4].
Cabe ressaltar que nem toda EDO pode ser resolvida analiticamente, pois os métodos
analíticos são aplicáveis apenas a certas formas especiais de funções, mas toda EDO pode ser
resolvida através da utilização de métodos numéricos [2].
Quando estes são utilizados com o auxilio de computadores propiciam uma melhor
agilidade no estudo das equações diferenciais, pois produzem tabelas e gráficos que possibilitam
fazer um estudo mais detalhado dos dados obtidos na resolução [1]. Para resolver a equação
diferencial deste trabalho utilizamos o software MATLAB ao qual foi inseridas rotinas de
resolução no mesmo. Realizaremos uma comparação entre os métodos numéricos baseados no
erro local obtido em cada resolução.
2 - Método de Euler e os métodos de Runge-Kutta
Os métodos apresentados serão utilizados para calcular uma aproximação
exata
sujeita a determinada condição inicial, nos respectivos pontos:
, onde
sendo
da solução
o número de subintervalos de
.
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muitas vezes é definido como passo, e
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O primeiro método utilizado é Método de Euler, é um método de primeira ordem, cuja
aproximação se dá por uma reta [1]. A equação principal deste método é dada por
(1)
Dada à seguinte EDO proposta por [1].
(2)
sujeita a condição
.
Para a equação (2) temos solução analítica igual a
.
(3)
Resolvendo a equação (2) por Euler, obtemos o seguinte gráfico considerando um intervalo de
solução de [0,2] com
= 50.
Figura1: Resolução pelo método de Euler
O segundo método utilizado é Runge-Kutta de 2ª e 4ª são métodos baseado nos métodos
de series de Taylor, mas que não exigem o cálculo de qualquer derivada [3]. Estes métodos
apresentam as seguintes equações principais para Runge-Kutta de segunda ordem
(4)
para o método de Runge-Kutta de quarta ordem temos
(5)
em que,
Resolvendo a equação (2) por Runge-Kutta de segunda ordem e quarta ordem obtemos
resultados melhores. Para cada método observamos as diferenças de ordem nas aproximações
das soluções conforme a Figura 2 onde comparando os três métodos.
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Figura 2: Comparação entre os métodos
A resolução numérica pode ter grau crescente de aproximação, de acordo com o método
numérico escolhido e o tamanho do passo, como coloca [1]. Observa-se que a solução da
equação (2) apresentou valores diferentes em cada método, onde uma analise mais detalhada
dos dados aponta que o erro local, diferença entre a solução exata e a solução aproximada para
cada
, foi maior no método de Euler e menor no método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Como todos os métodos apresentados neste trabalho são de fácil implementação, pela figura 4
observa-se que o método de Runge-Kutta de quarta ordem se mostra adequado para este
problema.
3 - Conclusão
Os métodos apresentados neste trabalho são métodos de implementação simples e produzem
soluções eficientes para diversos problemas envolvendo equações diferenciais.
Referências
[1]
W.E. Boyce, C.R. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de contorno”, LTC, Rio de Janeiro, 2011.
[2]
F.F. Campos, “Algoritmos Numéricos”, LTC, Rio de Janeiro, 2007.
[3]
M.A.G.
Ruggiero,
V.L.R.
Lopes,
“Cálculo
numérico:
aspectos
teóricos
computacionais”, Makron Books, São Paulo, 1996.
[4]
J. Stewart, “Cálculo – volume 1”, Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2006.
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