Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
(EPGE/FGV)
Análise II
Professor: Rubens Penha Cysne
Monitor: David Turchick
05 de Maio de 2006
Lista de Exercícios 4 - Parte 2
Otimização Dinâmica
Data de Entrega: Terça Feira, dia 16 de Maio, em sala de aula.
Obs - Apenas os exercícios asteriscados, de…nidos em sala até a última
aula antes da data de entrega, precisam ser entregues por escrito.
Problema básico de horizonte …nito:
Seja f (x; y; t) uma função real de três variáveis reais, tal que:
a) f é de…nida para a t b e (x; y) 2 C; C um subconjunto convexto
aberto do R2 :
b) As derivadas parciais de f existem e são contínuas
c) Para cada t, f é côncava nas duas primeiras variáveis
Deseja-se encontrar uma função x(t) de…nida para a
t
b tal que
0
x(0) = x0 ; x(1) = x1 , x existe e é contínua para todo t, (x; x0) 2 C para todo
t e x(t) maximiza:
Z b
f (x; x0 ; t)dt
a
1- Prove o seguinte teorema:
Suponha que g(t) é uma função contínua de…nida em a
1
t
b e que:
Z
b
g(t)h(t)dt = 0
a
para qualquer função contínua h(t) em [a; b] com h(a)=h(b)=0. Então g(t)
é identicamente nula em [a,b].
2 ) Assumindo a existência de dtd fx0 , mostre como o teorema acima pode
ser usado para deduzir a equação de Euler que soluciona o Problema básico
de horizonte …nito.
3) Prove os teoremas abaixo:
3.1- Seja g(t) uma função contínua no intervalo [a,b] tal que
0: Então, g(t) é identicamente nula em [a; b].
Z
b
(g(t))2 dt =
a
3.2- Seja g(t) uma função contínua no intervalo [a,b] tal que para toda
função h(t) com h(a) = h(b) = 0 se tenha:
Z b
_
g(t)h(t)dt
=0
a
Então g(t) = c, c uma constante.
3.3- Sejam g(t) e s(t) duas funções contínuas no intervalo [a,b] tais que,
para toda função h(t) com h(a)=h(b)=0 se tenha:
Z
b
_
g(t)h(t) + s(t)h(t)dt
=0
a
Então s(t) é continuamente diferenciável e se tem s(t)
_ = g(t):
4 ) Sem assumir a existência de dtd fx0 ; mostre como o teorema acima pode
ser usado para deduzir a equação de Euler que soluciona o Problema básico
de horizonte …nito.
5) Dê cinco exemplos, em ordem crescente de di…culdade, de problemas
do tipo apresentado ao início desta lista e resolva-os, detalhando cada uma
de suas passagens.Z Comece com:
T
x02 (t)dt com condições x(0) = 0, x(T ) = B.
a) Minimizar
a
2