1a Lista de Exercı́cios de Cálculo - Números Reais
04/03/2010
1. Resolva as inequações:
(a) |(5 − 2x)/3| ≤ 3
(b) |2x − 5| < |x + 3|
(c) |3x + 5| > |2x − 1|
(d) |x2 − 4x − 5| ≥ |x − 1|
(e) |x2 − 4x − 5| ≤ |2x + 1|
2. Indique sup, inf, max e min dos seguintes conjuntos:
√
(a) A = [−1, 1) ∪ ( 3, 4)
(b) A = {n ∈ Z | |n| ≤ 10}
√
(c) A = {x ∈ Q | |x| ≤ 3}
(d) A = {x ∈ R | |x| = m + n1 , m, n = 1, 2, 3, · · · }
(e) A = {x ∈ R | |x| =
1
m
+ n1 , m, n = 1, 2, 3, · · · }
(f) A = {x ∈ R | x2 − 4x + 4 > 0 e x2 − 3x < 0}
√
(g) A = {x ∈ Q | |x − 2| < 2}
3. Dado um conjunto A ⊂ R, denota-se com A0 o conjunto de todos os
pontos de acumulação de A. Em cada um dos casos a seguir, indique
o conjunto A0 :
√
(a) A = [−1, 1) ∪ ( 3, 4)
(b) A = {n ∈ Z | |n| ≤ 10}
√
(c) A = {x ∈ Q | |x| ≤ 3}
(d) A = {x ∈ R | |x| = m + n1 , m, n = 1, 2, 3, · · · }
(e) A = {x ∈ R | |x| =
1
m
+ n1 , m, n = 1, 2, 3, · · · }
(f) A = {x ∈ R | x2 − 4x + 4 > 0 e x2 − 3x < 0}
√
(g) A = {x ∈ Q | |x − 2| < 2}
4. (Seção áurea de um segmento.) Considere um segmento AB de comprimento AB, e seja C o ponto de AB que determina a seção áurea
2
de AB, isto é, AB AC = BC . Mostre que AC/AB é um número
irracional.
Sugestão:
Denote por a o comprimento AC e b o comprimento de BC.
A seção áurea é algebricamente definida como o número
ϕ=
a
.
a+b
Agora mostre que ϕ é irracional.
5. Seja A um subconjunto de R não vazio. Um número l ∈ R é uma
cota inferior se l ≤ x, para todo x ∈ A. Um A um subconjunto de
R se diz limitado inferiormente se ele possui cota inferior. O ı́nfimo
de um conjunto limitado inferiormente A, que denotamos por inf A, é
definido como a maior das cotas inferiores.
(a) Prove que se um subconjunto não vazio A de R tem uma cota
inferior, então A tem ı́nfimo.
(b) Sejam x ∈ R e A = {r ∈ Q | r > x}. Mostre que x = inf A.
(c) Seja A = { n1 | n ∈ N}. Prove que inf A = 0.
(d) Seja A, B conjuntos não-vazios de números reais tais que Prove
que A ⊂ B. Prove que
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.
6. Sejam A ⊂ R, A 6= ∅, limitado superiormente, e L = sup A. Mostre
que L ∈ A ou L é um ponto de acumulação de A.
7. Considere o polinômio do segundo grau ax2 + bx + c, onde a 6= 0, b, c
são reais dados.
(a) Mostre que
b 2
∆
ax + bx + c = a (x + ) − 2
2a
4a
2
onde ∆ = b2 − 4ac.
(b) Conclua de (a)
que se ∆ > 0, as raı́zes de ax2 + bx + c são dadas
√
∆
por x = −b±
.
2a
(c) Conclua de (a) que se ∆ < 0 e a > 0, então ax2 + bx + c > 0 para
todo x.
(d) Conclua de (a) que se ∆ < 0 e a < 0, então ax2 + bx + c < 0 para
todo x.
8. Elimine o módulo nas expressões
(a) |x + 1| + |x|
(b) |x − 2| − |x + 1|
(c) |x| + |x − 1| + |x − 2|
9. Prove que se para todo > 0, real, |a − b| < , então a = b.
10. Sejam x, y números reais positivos. Prove que
√
xy <
x+y
2