EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DINÂMICOS – LISTA 1
(DATA LIMITE ENTREGA: 19 MAR)
(Comentários e/ou correcções para [email protected]) A colaboração entre colegas é encorajada, mas
cada estudante deve escrever as suas próprias soluções, compreendê-las e dar crédito aos seus
colaboradores.
(1) Um homeomorfismo de R é (estritamente) crescente sse x < y implica que f (x) < f (y). Por outro lado, é (estritamente) decrescente
sse x < y implica que f (x) > f (y).
(a) Prove que qualquer homeomorfismo de R é crescente ou decrescente (não há 3a opção).
(b) Prove que um homeomorfismo de R não pode ter pontos periódicos
com perı́odo maior que 2.
(2) Seja f : R → R contı́nua. Mostre que se a órbita de x0 é uma sucessão
monótona e limitada, então converge para um ponto fixo.
(3) Considere a função “tenda”:
(
2x,
T (x) =
2 − 2x,
x ≤ 12
x ≥ 12 .
(a) Esboce o gráfico de T e T 2 em [0, 1]. Como seria o gráfico de
T n para n > 2? Justifique que T n tem exactamente 2n pontos
fixos.
(b) Demonstre que o conjunto dos pontos periódicos de T é denso
em [0, 1] (em qualquer vizinhança de um ponto em [0, 1] encontramos pelo menos um ponto periódico de T ).
(4) Considere a função quadrática fµ (x) = µx(1 − x) em [0, 1].
(a) Esboce o gráfico de f4 e conclua que f4n tem exactamente 2n
pontos fixos.
(b) Para µ > 1 determine os pontos de perı́odo 2 e as suas estabilidades.
(c) Encontre os pontos de perı́odo 4.
(d) Restringindo µ aos valores para os quais a órbita de perı́odo
2 é atractiva, mostre que o conjunto ω-limite de qualquer x ∈
]0, 1[\{ µ−1
µ } é essa órbita periódica.
(5) A função “tenda generalizada” é definida por
(
sx,
x ≤ 21
Ts (x) =
s(1 − x), x ≥ 21 .
1
2
Se s > 2 será que
Λ=
+∞
\
Ts−k ([0, 1])
k=0
é um conjunto de Cantor?
(6) Considere em Σ2 = {1, 2}N0 uma métrica (distância) dada por
d(s, t) =
+∞
X
|sj − tj |
,
3j
j=0
onde s = (s0 , s1 , s2 , . . . ) e t = (s0 , s1 , s2 , . . . ) são elementos de Σ2 ,
i.e. sj , tj ∈ {1, 2}.
(a) Dados t ∈ Σ2 e n ≥ 0, prove que
{s ∈ Σ2 : sj = tj , 0 ≤ j ≤ n} = {s ∈ Σ2 : d(s, t) ≤ 3−n 2−1 },
e que este conjunto é simultaneamente fechado e uma bola
aberta.
(b) Dados t ∈ Σ2 e n ≥ 1, prove que
{s ∈ Σ2 : sj = tj , 1 ≤ j ≤ n}
é aberto (mas não é uma bola).
(7) Mostre que o p-shift σp é topologicamente mixing em Σp para qualquer inteiro positivo p ≥ 2.
(8) Considere a função tenda T : [0, 1] → [0, 1] como no exercı́cio 3.
Sejam I1 = [0, 12 ] e I2 = [ 12 , 1]. Defina a aplicação : Σ2 → [0, 1] dada
por
+∞
\
H(s) =
T −k (Isk ).
k=0
(a) Mostre que H está bem definida, i.e. que a intersecção é um
único ponto.
(b) Prove que H é uma semi-conjugação de σ : Σ2 → Σ2 para
T : [0, 1] → [0, 1].
(c) Quais as sucessões que correspondem a x = 0, 1, 12 ? I.e. calcule
H −1 (0), H −1 (1) e H −1 ( 21 ).
(d) Quais as sucessões que têm a mesma imagem por H? I.e. onde
H não é injectiva.
(e) Mostre que T é topologicamente transitiva.
(9) Decida quais os sistemas topologicamente conjugados, construindo
a conjugação:
x
f (x) = , g(x) = 2x, h(x) = −2x, i(x) = x3 , j(x) = 5x.
2
(10) Prove que f (x) = x3 +
x
2
é estruturalmente estável.