GAN 00167 – Matemática Discreta
Professores Renata de Freitas e Petrucio Viana
Lista 14 – Ordens
1. Prove que Z não possui primeiro elemento segundo ≤.
2. Prove que, se a e b são primeiros elementos de A segundo R, então a = b.
3. (a) Prove que, se A possui um único elemento minimal a segundo R, então
a é o primeiro elemento de A segundo R, quando R é uma ordem total.
(b) Encontre um exemplo de uma ordem que possui um único elemento minimal, mas que não possui primeiro elemento.
4. Encontre um exemplo de uma ordem que possui vários elementos minimais.
5. Prove que, se A possui dois elementos minimais distintos segundo R, então A
não possui primeiro elemento, segundo R.
6. Encontre um exemplo de uma ordem que não possui elementos minimais.
7. Prove que, se A não possui elementos minimais segundo R, então A não possui
primeiro elemento, segundo R.
8. Considere o conjunto de alunos de MD A = {a, b, c, d, e, f, g, h} e a ordem R
dada pela posição em que os alunos estão sentados na escadaria do IME-UFF
(cf. slides da Aula 14):
R:
/().f*-,+ j/().h*-,+
oojoj jjjtjtt
o
o
t
j
ojojojjj ttt
o
j
o
t
j
o
'!&e%"#$TjTT
/().*-,+
TTTT g JJJ
TTTT JJJ
TTTTJJ
T/().*-,+
jjd
j
j
j
jjj 
jjjj

j
j
j
'!&c%"#?$
'!&b%"#$TjTT
TTTT
?
TTTT ???
TTTT ?
T/().*-,+
a
Considere o subconjunto X = {b, c, d} ⊆ A.
(a) A possui elementos minimais, segundo R?
(b) A possui primeiro elemento, segundo R?
(c) A possui elementos maximais, segundo R?
(d) A possui último elemento, segundo R?
(e) X é limitado inferiormente em A, segundo R?
(f) X é limitado superiormente em A, segundo R?
(g) X possui ı́nfimo em A, segundo R?
(h) X possui supremo em A, segundo R?
9. Prove que ≤ não é densa em N.
10. Prove que ≤ é densa em Q.
11. Resolva os exercı́cios propostos nos slides da Aula 14.
2