QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS
Tópicos de Álgebra
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
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Transformações Lineares, Hiperplanos e
Dualidade
(Entregar os exercı́cios [02], [08], [10], [12], [14] e [18] até 14/10/2003)
[01] Sejam T uma transformação linear de R3 para R2 e S uma transformação linear de R2 para R3 . Mostre que a transformação ST não é
inversı́vel. Generalize o teorema.
[02] Encontre dois operadores lineares S e T em R2 tais que T S = 0 mas
ST = 0.
[03] Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja T um operador
linear em V . Suponha que T e T 2 tenham o mesmo posto. Demonstre
que a imagem e o núcleo de T são disjuntos, isto é, eles possuem apenas
o vetor nulo em comum.
[04] Seja K um corpo. Mostre que M (m × n, K) e Kmn são isomorfos construindo um isomorfismo explicitamente.
[05] Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo K.
Mostre que U e V são isomorfos se, e somente se, dim U = dim V .
[06] Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e seja T um isomorfismo entre U e V . Prove que S → T ST −1 é um isomorfismo entre
L (U, U ) e L (V, V ).
[07] Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K e sejam
S e T operadores lineares definidos em V . Demonstre que existem bases
ordenadas B e B de V tais que [S]B = [T ]B se, e somente se, existe
um operador linear R definido em V tal que T = RSR−1 .
[08] Prove que se S é um operador linear em R2 tal que S 2 = S, então S = 0,
S = I ou
1 0
[S]B =
0 0
1
para alguma base ordenada B de R2 .
[09] Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K, e seja
B = {v1 , v2 , . . . , vn } uma base ordenada de V .
(a) Sabemos que existe uma única transformação linear T : V → V tal
que
j = 1, . . . , n − 1,
T (vn ) = 0.
T (vj ) = vj+1 ,
Qual é a matriz A de T na base B?
(b) Prove que T n = 0 mas T n−1 = 0.
(c) Seja S um operador linear em V tal que S n = 0 mas S n−1 = 0.
Prove que existe uma base ordenada B de V tal que a matriz de S
na base ordenada B é a matriz que você encontrou na parte (a).
(d) Prove que se M e N são matrizes n × n com entradas num corpo K
tais que M n = N n = 0 mas M n−1 = 0 = N n−1 , então M e N são
similares.
[10] Mostre que matrizes similares possuem o mesmo traço.
[11] Seja K um subcorpo do corpo C dos números complexos. Defina n
funcionais lineares em Kn (n ≥ 2) por
ϕk (x1 , . . . , xn ) =
n
(k − j) · xj ,
1 ≤ k ≤ n.
j=1
Qual é a dimensão do subespaço anulado por ϕ1 , . . . , ϕn ?
[12] Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V de dimensão finita.
(a) Prove que (W1 + W2 )◦ = W1◦ ∩ W2◦ .
(b) Prove que (W1 ∩ W2 )◦ = W1◦ + W2◦ .
[13] Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K e seja W
um subespaço de V . Se ϕ é um funcional linear em W , mostre que existe
um funcional linear ψ em V tal que ϕ(v) = ψ(v) para todo v ∈ W .
[14] Seja K um subcorpo do corpo C dos números complexos e seja V um
espaço vetorial sobre K. Suponha que ϕ e ψ sejam funcionais lineares
sobre V tal que a função h : V → K definida por h(v) = ϕ(v) · ψ(v)
também seja um funcional linear sobre V . Prove que ϕ = 0 ou ψ = 0.
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[15] Seja K um corpo de caracterı́stica zero e seja V um espaço vetorial de
dimensão finita sobre K. Sejam v1 , . . . , vm vetores em V , todos não
nulos. Prove que existe um funcional linear ϕ em V tal que
ϕ(vi ) = 0,
para todo i = 1, . . . , m.
[16] Uma vez que matrizes similares possuem o mesmo traço, podemos definir o traço de um operador linear T : V → V definido em um espaço
vetorial V de dimensão finita como o traço da matriz de T com relação
a qualquer base ordenada B de V . Seja V = M (2 × 2, K) e seja P uma
matriz 2 × 2 fixa. Defina o operador linear T : V → V por T (A) = P A.
Prove que tr(T ) = 2 · tr(P ).
[17] Seja V = M (n × n, K). Mostre que se ϕ : V → K é tal que
ϕ(AB) = ϕ(BA),
para todo A, B ∈ M (n × n, K),
então ϕ é um múltiplo do funcionar linear traço
tr : M (n × n, K) → K
.
A → tr(A) = ni=1 Aii
Mais ainda, mostre que se ϕ(I) = n, então ϕ = tr.
[18] Seja V = M (n × n, K) e seja W o subespaço de V gerado pelas matrizes C da forma C = AB − BA. Prove que W é exatamente o subespaço
das matrizes que têm traço zero.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 06/10/2003.
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