Primeira Lista de Exercı́cios de Análise na Reta I
1. Dados os naturais a e b, prove que existe um número natural m tal que
ma > b.
2. Seja a ∈ N. Se um conjunto X é tal que a ∈ X e, além disso, n ∈ X ⇒
n + 1 ∈ X, então X contém todos os números naturais maiores que ou
iguais a a.
3. Um elemento a ∈ N chama-se antecessor de b ∈ N quando se tem a < b
mas não existe c ∈ N tal que a < c < b. Prove que, exceto 1, todo
número natural possui um antecessor.
4. Seja X um conjunto com n elementos. Use indução para provar que o
conjunto das bijeções f : X → X tem n! elementos.
5. Mostre que: se m < n, então, de qualquer modo como se guardem
n objetos em m gavetas, haverá sempre uma gaveta, pelo menos, que
conterá mais de um objeto.
6. Quantos subconjuntos com p elementos possui um subconjunto X,
sabendo-se que X tem n elementos?
7. Prove que se A tem n elementos, então o conjunto das partes de A,
P(A), tem 2n elementos.
8. Prove que se X é infinito enumerável, o conjunto das partes finitas de
X também é (infinito) enumerável.
9. Prove que o conjunto P de todos os polinômios
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
com coeficientes inteiros é enumerável.
10. Um número real r é chamado algébrico se é raı́z de um polinômios
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto A dos números algébricos
é enumerável.
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