Lista 4
Analise I
MA-502
24/8/2015
1. Para cada uma das a rmac~oes a seguir diga se e verdadeira ou falsa.
Justi que sua resposta.
(a) Um subconjunto A K de um corpo ordenado e limitado superiormente se satisfaz: 8x 2 A; 9L 2 K; x L.
(b) Um subconjunto A K de um corpo ordenado e limitado superiormente se satisfaz: 9L 2 K; 8x 2 A; x L.
(c) O supremo de um subconjunto A e o maior de seus elementos.
(d) O n mo de um subconjunto A e o menor de seus elementos.
(e) Se A
sup A.
R e um conjunto limitado superiormente ent~ao existe
2. Sejam K um corpo ordenado e A um subconjunto limitado superiormente. Mostre que A admite no maximo um supremo. Faca o mesmo
para o n mo de um subconjunto A limitado inferiormente.
3. Sejam a < b elementos em corpo ordenado K. Seja A um intervalo qualquer com extremidades em a e b (o intervalo pode ser tanto
fechado quanto aberto em cada extremidade). Mostre, com detalhes,
que sup A = b e inf A = a.
4. Sejam K um corpo ordenado e A um subconjunto que admite supremo.
Mostre que s = sup A se, e so se, valem as duas condic~oes: (i) s e um
majorante de A e (ii) para todo " > 0 existe x 2 A tal que s " < x s.
5. Sejam K um corpo ordenado e A um subconjunto que admite in mo.
Mostre que i = inf A se, e so se, valem as duas condic~oes: (i) i e um
minorante de A e (ii) para todo " > 0 existe x 2 A tal que i x < i+".
6. D^e, se poss vel, exemplo de um conjunto n~ao vazio A K limitado
superiormente de tal forma que s = sup A e para algum " > 0 n~ao
existe x 2 A com s " < x < s.
7. Sejam K um corpo ordenado e A
K um subconjunto limitado superiormente para o qual existe sup A. Considere o conjunto A =
f x 2 K : x 2 Ag. Mostre que A e limitado inferiormente, que
existe inf ( A) e que inf ( A) = sup A.
1
8. Sejam A e B subconjuntos n~ao vazios e limitados superiormente de um
corpo ordenado K. De na o conjunto
A + B = fx + y : x 2 A e y 2 Bg:
Mostre que A + B e limitado superiormente. Mostre tambem que se
sup A e sup B existem ent~ao sup(A+B) existe e sup (A + B) = sup A+
sup B.
9. O mesmo que o exerc cio anterior, substitu ndo \limitado superiormente" por \limitado inferiormente" e sup por inf.
10. Tome A e B subconjuntos n~ao vazios e limitados superiormente de um
corpo ordenado K. De na o conjunto
A B = fxy : x 2 A e y 2 Bg:
Esse conjunto e limitado superiormente?
11. Com a notac~ao do exerc cio anterior mostre que se os elementos de A e
B s~ao positivos ent~ao sup (A B) = (sup A) (sup B). (Se os supremos
existem.)
12. Sejam A e B subconjuntos n~ao vazios e limitados superiormente. Mostre
que A [ B e A \ B s~ao limitados superiormente. Mostre tambem que
sup(A [ B) = maxfsup A; sup Bg onde maxf g denota o maior elemento do conjunto f g. D^e exemplos de conjuntos A e B tais que
sup(A \ B) n~ao existe.
13. Enuncie e demonstre resultados semelhantes ao exerc cio anterior com
inf no lugar de sup.
14. Seja K um corpo ordenado. D^e, se poss vel, exemplos de subconjuntos de K satisfazendo as propriedades abaixo. Caso n~ao exista um
subconjunto com a propriedade enunciada, demonstre a n~ao exist^encia.
(a) A
(b) A
(c) A
K tal que A tem exatamente dois elementos e sup A 2
= A.
K, n~ao vazio e limitado inferiormente tal que inf A 2
= A.
K limitado superiormente, mas que n~ao admite supremo.
2
(d) Dois subconjuntos A; B
e inf A = inf B.
K tais que A \ B = ;, sup A = sup B
(e) Dois subconjuntos A; B K tais que A \ B = ;, sup A = sup B,
inf A = inf B, para todo x 2 A existe y 2 B tal que x < y e (por
m) para todo x 2 B existe y 2 A tal que x < y.
(f) A
K, n~ao vazio e limitado superiormente tal que sup A 2 A e
sup (A n fsup Ag) < sup A:
15. Seja A um subconjunto n~ao vazio de R (corpo ordenado completo).
Suponha que A e limitado superiormente e denote por MA o conjunto
dos majorantes de A. Mostre que MA 6= ;, limitado inferiormente e
que inf MA = sup A.
16. Seja A um subconjunto n~ao vazio de R (corpo ordenado completo).
Suponha que A e limitado inferiormente e denote por MA o conjunto
dos minorantes de A. Mostre que MA 6= ;, limitado superiormente e
que sup MA = inf A.
17. Mostre que se um corpo ordenado n~ao e arquimediano ent~ao existe
a 2 K tal que a < 1=n para todo n 2 N.
18. Seja K um corpo ordenado. Mostre que K e arquimediano se, e so se,
o conjunto dos racionais Q K n~ao e limitado superiormente.
19. Mostre que num corpo arquimediano K a seguinte a rmac~ao e satisfeita:
dado a 2 K existe n 2 N tal que 2n > a. (Sugest~ao: compare n e 2n ).
20. Seja K um corpo ordenado. Mostre que ele e arquimediano se e so se
p
para todo a; b 2 K com a < b existe um racional entre a e b, isto e,
q
a<
p
< b:
q
21. Seja A R um subconjunto n~ao vazio e limitado superiormente. Mostre
que s 2 R coincide com sup A se, e so se, para todo n 2 N, n > 0, existe
1
x 2 A tal que s
< x s.
n
3
22. Enuncie e demonstre um resultado semelhante ao exerc cio anterior,
substituindo limitado superiormente e sup A por limitado inferiormente
e inf A.
23. Enuncie e demonstre um resultado semelhante aos exerc cios anteriores,
1
1
substituindo por n .
n
2
1
24. Considere o seguinte subconjunto de R: A = f 2 R : n 2 N, n > 0g.
n
Mostre que A e limitado inferiormente e que inf A = 0.
25. Seja K um corpo n~ao arquimediano. E verdade que se A = f
n 2 N, n > 0g ent~ao inf A = 0?
1
2K:
n
26. Dado o conjunto Q+ = fx 2 R : x 2 Q e x > 0g, mostre que inf Q+ = 0.
p
27. Dados a; b 2 R com a < b, mostre que existe um racional 2 Q tal
q
pp
que a <
2 < b. Conclua que todo intervalo aberto de R contem um
q
elemento irracional.
28. Seja p
" 2 R com " > 0. Mostre que existem a; b 2 Q tal que 0 <
a + b 2 < ".
29. Dado o conjunto A = f21=n 2 R : n 2 N, n
1g, pergunta-se: (i)
A e limitado superiormente? Se sim o que e sup A? (ii) A e limitado
inferiormente? Se sim o que e inf A?
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