TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
Álgebra III
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
A Função de Euler e a Ordem de um Grupo
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 30/04/2004)
[01] Considere a função de Euler
Φ : N − {0} → N − {0}
.
n → Φ(n) = #U (n) = número de elementos de U (n)
(a) Mostre que Φ(n) = n − 1 se, e somente se, n é um número primo.
(b) Mostre que se p > 0 é um número primo e n é um número natural
positivo, então Φ(pn ) = pn−1 · (p − 1).
Solução. Observe que mdc(k, pn ) = 1 se, e somente se, p não divide k, isto é, k não é múltiplo de p. Agora, os múltiplos inteiros
não-negativos de p são da forma m = k · p, com k ≥ 0. A fim de
que
0 · p = 0 ≤ m ≤ pn − 1 = pn−1 · p − 1,
devemos ter
0 ≤ k ≤ pn−1 − 1.
Sendo assim, existem pn−1 múltiplos inteiros não-negativos de p entre 0 e pn −1. Como existem pn números entre 0 e pn −1, concluı́mos
que
Φ(pn ) = pn − pn−1 = pn−1 · (p − 1).
(c) Mais geralmente, se n > 0 é um número natural e
n = pe11 · pe22 · · · · · pel l
é a decomposição em fatores primos de n, mostre que
Φ(n) = (p1 − 1) · pe11 −1 · (p2 − 1) · pe22 −1 · · · · (pl − 1) · plel −1 .
Solução. Basta contar o número de números m entre 0 e n − 1 e
subtrair do número total de números entre 0 e n − 1 (no caso, n).
1
Observe que se m tem um fator comum com n, então m tem um
primo comum com n. Existem exatamente n/pi números entre 0 e
n−1 que são divisı́veis por pi , pois os múltiplos de pi neste intervalo
são 0, pi , 2 · pi , . . . , (n/pi − 1) · pi . Somos então tentados a concluir
que o número de números sem fatores em comum com n no intervalo
de 0 a n − 1 seria
n
n
n
n − − − ··· − .
p1 p2
pl
Contudo, isto não está correto em geral, pois contamos os números
divisı́veis por dois primos diferentes duas vezes e, assim, devemos
adicionar todos os termos da forma n/(pi1 · pi2 ), com i1 = i2 . Mas,
fazendo isto, colocamos de volta parcelas demais: devemos subtrair
todas as expressões da forma N/(pi1 · pi2 · pi3 ), com i1 , i2 e i3 ı́ndices
dois a dois distintos. Prosseguindo com este raciocı́nio, concluı́mos
que
n
n
n
+
−
− ···
Φ(n) = n −
p
p
·
p
p
·
p
·
p
i
i
i
i
i
i
1
1
2
1
2
3
i1
i1 =i2
i1 ,i2 ,i3 distintos
1
1
1
· 1−
· ··· · 1 −
= n· 1−
p1
p2
pl
1
1
1
e1
e2
el
= p1 · 1 −
· p2 · 1 −
· · · · · pl · 1 −
p1
p1
p1
= (p1 − 1) · pe11 −1 · (p2 − 1) · pe22 −1 · · · · (pl − 1) · plel −1 ,
como querı́amos.
(d) Mostre que se r > 0 e s > 0 são inteiros primos entre si, isto é, se
mdc(r, s) = 1, então Φ(r · s) = Φ(r) · Φ(s).
[02] Quantos geradores tem (Z12 , +)? E (Z45 , +)? Justifique a sua resposta!
[03] Considere o grupo das permutações de 3 elementos (S3 , ◦). Sejam
f : {1, 2, 3}
1
2
3
→
→
→
→
{1, 2, 3}
2
3
1
e
g : {1, 2, 3}
1
2
3
→
→
→
→
{1, 2, 3}
2
.
1
3
Mostre que S3 = f, g, isto é, que S3 é gerado pelas bijeções f e g.
2
[04] Seja Un = {z ∈ C | z n = 1} o conjunto das raı́zes n-ésimas da unidade
e seja S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}. Com a multiplicação usual de números
complexos, mostre que
Un <
Por que
∞
∞
Un < S 1 < C − {0}.
n=1
n=1 Un
S 1?
[05] Seja (G, ∗) um grupo e seja a ∈ G, com a = e. Mostre que a tem
ordem 2 se, e somente se, a = a−1 .
[06] Seja (G, ∗) um grupo e seja a ∈ G. Mostre que O(a) = mq implica
O(am ) = q.
[07] Seja (G, ∗) um grupo abeliano e considere o subconjunto
T (G) = {a ∈ G | O(a) < ∞}.
Mostre que T (G) é um subgrupo de G (chamado subgrupo de torção
de G). Em particular, tomando (G = C − {0}, ·), temos que
T (C − {0}) = {z ∈ C | O(z) < ∞} = {raı́zes da unidade}.
[08] Mostre que U (24) é um grupo abeliano de ordem 8 que não é cı́clico.
[09] Seja (G, ∗) um grupo em que todo elemento diferente de e tem ordem 2.
Mostre que G é abeliano.
[10] Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que se a ∈ G, então O(a) = O(a−1 ) =
O(b ∗ a ∗ b−1 ) para todo b ∈ G.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 18/04/2004.
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