Lista 4 - Soluções
• Às vezes, existem diversas maneiras de se resolver o mesmo exercı́cio. Qualquer
dúvida com relação as minhas soluções, me perguntem; podem haver erros.
• Geralmente, você não vai encontrar a resolução completa, só um esboço ou a
resposta final.
• No caso de proposições do tipo “se e somente se”, lembre-se de provar duas
implicações, i.e. tanto a “ida”(⇒) como a “volta”(⇐).
Problema 1:
o) Mostre que a.a − 1 = (a +
1)(a − 1) e use o ex. 1n).
a) Some (−b) à equação.
h) Use o item 1c).
b) Some (−a) à equação.
i) Comece com a + (−a) = 0 e
multiplique a equação por b. p) Multiplique por a−1 .
c) Comece
com
(−(−a)) = 0.
(−a)
+
j) Use o item 1i).
d) Comece com 0 + (−0) = 0.
k) Use 1i) e 1c).
q) Comece com 1 + (−1) = 0 e
multiplique por (−1)−1 .
e) Comece com 0+0 = 0 e multiplique a equação por a.
l) Use 1k) e 1i).
r) Prove por absurdo.
m) Escreva b − c = b + (−c) e
f) Prove por absurdo. Supouse o axioma da distributinha que a 6= 0 e −a = 0.
vidade.
s) Use o ex. 1r) e escreva
a−1 .(a−1 )−1 = 1. Multiplique por a.
g) Comece com (a+b)+(−(a+ n) Separe em duas possibilidab)) = 0.
des: a = 0 ou a 6= 0.
t) Mostre que a.b 6= 0 e escreva
(a.b).(a.b)−1 = 1.
Problema 2:
a) Não existe
inf A = 1.
supremo
b) sup B = 2 e inf B = 1.
e d) Não existe ı́nfimo e sup D = h) sup H = 2 e inf H = 1.
1.
e) sup E = 2 e inf E = 1.
√
√
f) sup F = 3 e inf F = − 3.
c) Não existe ı́nfimo e sup C =
0.
g) sup G = 1 e inf G = 0.
i) sup I = 1 e inf I = 0.
j) Não existe
inf J = 1.
supremo
e
Problema 3: Suponha que i1, i2 ∈ R são ı́nfimos de um conjunto X ⊂ R. Portanto,
i1 ≤ x, ∀x ∈ X e, se u ≤ x, ∀x ∈ X, então i1 ≥ u. Em particular, como i2 é cota inferior, i1 ≥ i2.
Com raciocı́nio análogo para i2, temos que i2 ≥ i1. Portanto, i1 = i2.
1
Problema 4:
a) Some b à primeira inequação
e some c à segunda.
b) Some (−a) + (−b) à inequação.
c) Use os ex. 4b) e 4a).
d) Multiplique por a.
e) Multiplique por a.
i) Prove por absurdo. Supo- n) Ida) Prove por absurdo: suponha que b−1 ≥ a−1 > 0
nha que 1 < 0 ou 1 = 0.
(onde usamos o ex. 4m)
No primeiro caso, multiplipara a última desigualdade).
que por 1; no segundo, mulMultiplique por b. Por outiplique por um a ∈ R qualtro lado, multiplique a < b
quer.
por a−1 .
j) Mostre que a+a = a.(1+1).
Use o ex. 4i) para mostrar o) Separe em dois casos: a > 0
ou a < 0 (i.e. −a > 0).
que 1 + 1 6= 0.
f) Multiplique a primeira inequação por c e a segunda por k) Análogo ao ex. 4j).
b.
l) Igual ao ex. 1l)
g) Use o ex. 4f).
h) Prove por absurdo.
nha que a ≥ b.
p) Ida) Prove por absurdo. Suponha que a 6= 0 ou b neq0.
Pelo ex. 4o), temos a.a > 0
ou b.b > 0 ⇒ a.a + b.b > b.b
ou a.a + b.b > b.b ⇒ 0 > b.b
Supo- m) Ida) Prove por absurdo: suou 0 > a.a.
ponha que a−1 ≤ 0.
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