PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
Tópicos de Álgebra
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
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Corpos
(Entregar os exercı́cios [02], [03] e [07] até o dia 27/08/2003)
√
[01] Mostre que o conjunto F = {x + y · 2 | x ∈ Q e y ∈ Q} é um subcorpo
do corpo C dos números complexos.
[02] Mostre que o conjunto F = {♦, ♣} junto com as operações de soma
+ : F × F → F e multiplicação • : F × F → F definidas por
+ ♦ ♣
♦ ♦ ♣
♣ ♣ ♦
e
• ♦ ♣
♦ ♦ ♦
♣ ♦ ♣
é um corpo. Mais ainda: mostre que F tem caracterı́stica 2.
[03] Mostre que qualquer subcorpo do corpo C dos números complexos sempre contém o corpo Q dos números racionais.
[04] Mostre que qualquer corpo de caracterı́stica 0 sempre contém uma cópia
do corpo Q dos números racionais.
[05] Seja A um conjunto com uma operação + que seja associativa, que
tenha um elemento neutro, tal que todo elemento tenha um oposto com
relação ao elemento neutro (um tal conjunto é chamado grupo). Mostre
que
(a) O elemento neutro é único.
(b) O oposto de um dado elemento é único.
(c) Vale a lei do cancelamento, isto é, se a + b = a + c então b = c.
Se a operação + em um tal conjunto for também comutativa, então
dizemos que A é um grupo abeliano.
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[06] Seja K um corpo. Definimos a caracterı́stica car(K) de K da seguinte
maneira:
(a) Se a soma m
i=1 1 for sempre diferente de zero para todo número
natural m, então car(K) = 0.
(b) Se a soma m
i=1 1 = 0 para algum número natural m ≥ 2, então
car(K) é o menor número m com esta propriedade.
Mostre que se car(K) = m = 0, então m é um número primo.
[07] Dizemos que um corpo é primo se ele possui um único subcorpo (qual?).
Mostre que Q é um corpo primo enquanto que
√
√
Q( 2) = {x + y · 2 | x ∈ Q e y ∈ Q}
não o é. Justifique sua resposta.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 20/08/2003.
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